等差数列前项和公式

关于等差数列前项和公式复习回顾(1)等差数列的通项公式:

已知首项a1和公差d,则有:

an=a1+(n-1)d

已知第m项am和公差d,则有:

an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）

(2)等差数列的性质:

在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq第2页,共11页，2024年2月25日，星期天问题1：1+2+3+…+100=？

这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）

这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。假设1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100个101所以x=5050.第3页,共11页，2024年2月25日，星期天设等差数列a1,a2,a3,…它的前n项和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差数列的性质

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

因为

an=a1+（n-1）d所以

Sn=na1+n(n-1)d/2下面将对等差数列的前n项和公式进行推导即前n项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？第4页,共11页，2024年2月25日，星期天由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二第5页,共11页，2024年2月25日，星期天例1

如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中a1=1,a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得答：V形架上共放着7260支铅笔。第6页,共11页，2024年2月25日，星期天例2

等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得

n1=9，n2=-3(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。第7页,共11页，2024年2月25日，星期天练一练已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3

已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=（16/2）×18=144

答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n项和公式第8页,共11页，2024年2月25日，星期天例4

已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.解：

S10=310，S20=1220第9页,共11页，2024年2月25日，星期天1：在a，b之间插