微积分（第三版）课件：数项级数的概念及性质

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分无穷级数数项级数概念及性质一、数项级数概念二、数项级数及其性质无穷级数

导言：无穷级数是研究无限个离散量之和的数学模型.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具.

本章主要介绍数项级数的概念、性质与敛散性判别法；幂级数的收敛性及将函数展开为幂级数.数项级数概念及性质

求和运算是数学的最基本运算，从初等数学到高等数学随时都可以遇到，这些求和主要是有限项之和.如：数值相加、函数相加、数列求和等.如：等比数列求和

实际问题中,除了要遇到有限项求和外,经常还要遇到从有限个数量相加到无穷个数量相加的问题.

圆的面积问题:半径为的圆的面积为.在圆内作圆的内接正六边形其面积为；以正六边形边为底顶点在圆周上作三角形其面积和为；以此类推有则有这里就出现了无穷个数量相加问题.设数列将数列的所有项按照给定的次序相加，得到表达式用表示上式的前n项和，即这样就得到一个数列

由数列极限概念，可知数列在时的极限，可以看成（1）式的和.由等比数列求和公式得于是所以

此例说明为了解决无穷项相加问题，按照有限与无限之间的辨证转化关系，可以通过数列极限给出其和的概念，即数项级数概念.一、数项级数的概念

定义1

若数列u1,u2,···,un,···，按其给定次序用加号将其连接起来所得和式简记为.称其为数项级数,称其第n项un为通项或一般项.级数的前n项和称为级数的前n项部分和.数列称为部分和数列.若存在,则称级数收敛,并称此极限值S为级数的和,记为.若不存在,则称级数发散.

定义2

设级数的前n项部分和数列为若收敛，则称为级数的余项.例判定级数的收敛性.解所给级数的前n项和可知故所给级数收敛，且和为1.例判定级数的收敛性.解由得可知由级数的敛散定义知，级数发散.

例判定等比级数的敛散性.

解若时,当|r|<1时,因,所以,即级数收敛.当|r|>1时,因,所以即级数发散.当时,因所以即级数发散.当时,因不存在,级数发散.综上,当|r|<1时,当|r|≥1时发散.

例(芝诺悖论)乌龟与阿基里斯赛跑问题:芝诺(古希腊哲学家)认为如果先让乌龟爬行一段路程后,再让阿基里斯(古希腊神话中的赛跑英雄)去追它,那么阿基里斯将永远追不上乌龟.

芝诺的理论根据是：阿基里斯在追上乌龟前,必须先到达乌龟的出发点,这时乌龟已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必须赶上这段路程,可是乌龟此时又向前爬行了一段路程如此下去,虽然阿基里斯离乌龟越来越接近,但却永远追不上乌龟.

该结论显然是错误的,但从逻辑上讲这种推论却没有任何矛盾这就是著名的芝诺悖论.在此,我们用数学的方法进行分析反驳.

设乌龟与阿基里斯起跑时的间距为,乌龟的速度为,阿基里斯的速度是乌龟的100倍,则由乌龟爬行到的时间与阿基里斯到达的时间相等有以此类推所以,阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为即由计算可知当阿基里斯追到离起点处时已经追赶上了乌龟.二、数项级数的基本性质

性质1

若级数收敛,其和为S,则对任意常数

，则级数也收敛,且其和为kS.证设级数与的部分和分别为与由于，于是极限与同时收敛或同时发散，从而级数与的敛散性相同.且

性质2

若收敛,其和为S；收敛,其和为T

则必收敛,其和为.证设，，的部分和为，与因为，，所以于是所以，级数收敛于

性质3

在级数中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.

性质4

收敛级数添括号后所得级数仍收敛且和不变例

判定的收敛性.解

因为等比级数与均收敛所以由级数收敛性质知收敛.(1)若收敛，发散,则必定发散.(2)若发散，也发散,则不一定发散.(4)若发散,则添括号的新级数不一定发散.思考与练习：以下命题请给出证明或反例.(3)若级数发散,则级数(k≠0)必定发散.

定理(收敛必要条件)

若收敛,则必有又由极限的运算法则可知证由于收敛，因此.注意：这个定理的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零，并不一定能保证收敛.推论若或不存在,则必定发散.例证明调和级数发散.

证明一构造几何图形，由图可知级数的部分和等于图形中矩形面积之和此部分和大于曲边梯形的面积即因所以故调和级数发散.1234nn+1

证明二假设级数收敛其和为S,即