微积分（第三版）课件：函数

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分一、实数集二、实数的绝对值三、区间与邻域预备知识函数3一、实数集整数集

无理数

这种无限不循环小数称为无理数.有理数集有理数与无理数统称为实数，实数集记为R.4正无理数负无理数

(无限不循环小数)正有理数零负有理数实数有理数无理数正整数正分数负整数负分数

实数的全体充满了整个数轴，即实数不但是稠密的，而且是连续的.实数与数轴上的点形成了一一对应的关系.实数系统可表示为：5二、实数的绝对值|x|的几何意义为数轴上点x到原点的距离.实数x的绝对值，记为|x|，它是一个非负实数.即|x|=实数的绝对值的性质：(1)对于任意的，有.

当且仅当x=0时，才有|x|=0.6(5)设，则|x|<a

的充要条件是–a<x<a.(6)设

，则的充要条件是.(7)设，则|x|>a的充要条件是x<–a或者x>a.(8)设，则的充要条件是或者.(2)对于任意，有|–x|=|x|.(3)对于任意，有.(4)对于任意，有.7关于四则运算的绝对值，有以下的结论:对任意的，恒有8三、区间与邻域1.区间：区间包括四种有限区间和五种无限区间，它们的名称、记号和定义如下9表示分别以为左、右端点的开区间，区间长度为.

2.邻域

称实数集为点a的邻域，记作a称为邻域的中心，称为邻域的半径.由邻域的定义知在中去掉中心点a得到的实数集称为点a的去心邻域，记作.10线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分函数第一节函数的概念第二节反函数与复合函数第三节初等函数第四节函数模型一、函数的概念二、具有特性的几类函数第一节函数的概念函数

变量：如果一个量在某个过程中是变化的,即可以取不同的数值,则称这种量为变量.变量通常用x,y,t,表示．常量：如果一个量在某过程中保持不变,总取同一值,则称这种量为常量.常量通常用a,b,c，表示.

例变速运动物体的速度、某地区的温度、某产品的产量和成本等均为变量．一、函数的概念第一节函数的概念

变量与变量之间的依赖关系是微积分研究的主要问题．先看下面的例子.

例自由落体运动.设物体下落的时间为t,下落的距离为s，假定开始下落的时刻为t=0，那么s与t之间的依赖关系式为:其中g是重力加速度，假定物体着地时刻为t=T，那么当时间t在闭区间[0,T]上任取一值时，由上式就可以确定相应的s值.1.函数的概念

例设有半径为的圆,考虑内接与圆的正边形的周长.可得内接正边形的周长与边数之间的依赖关系式为:当边数在3,4,5,等自然数中取任意一个确定值时,由上式都有周长的已相应值对应.

上述例子都表达了两个之间的依赖关系,这种依赖关系确定了一种对应法则,这种这种对应法则所反映的关系称为函数关系.

定义1

设D是实数集上的一个非空子集，如果有D到R上的一个映射（对应规则）f，使得对于每个，通过映射f都有惟一确定的数与之对应，则称f为定义在D上的函数，x称为f的自变量，y

称为因变量，函数记作其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个根据映射f对应于一个y，记作y=f(x)，称为函数f在x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域设函数y=f(x)的定义域为D.在平面直角坐标系Oxy中,对于任意的,通过函数y=f(x)都可确定一个点M(x,y),当x取遍定义域D中的所有值时，点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形.一个函数的图形通常是一条曲线.因此,又称函数y=f(x)的图形为曲线y=f(x).xxyyy=f(x)

2.函数的两个要素

(1)函数的定义域函数定义域的确定就是确定使得函数有意义的自变量的取值范围．对于实际问题的定义域，通常由实际问题的性质而定.例求函数的定义域.所以函数的定义域为

.解要使函数y有定义，应满足

例

已知存款的月利率为k%，现存入银行a元本金，按复利计算，记第n个月后的存款余额为C（n）则它给出了存款余额与存款时间的函数关系.其定义域为

(2)函数的对应关系例解

两个函数相等的充分必要条件是其定义域、对应规则分别相同.若函数和则

例

说明函数与是否相同?

解

函数的定义域为函数的定义域为所以，函数与不相同.3.函数的表示法函数的表示法通常有表格法,图象法,公式法三种.

(1)表格法自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出，这样函数关系就用表格法来表示出来.如对数表和三角函数表等都是用表格法来表示函数的.

例某地区8天的最高气温可以由下面表格表示.

此表格反映温度与日期之间的对应关系.

(2)图象法用函数y=f(x)的图形直观地表达自变量x与因变量y之间的关系的方法为图象法.例某河道的断面图形如图所示.此图形反映了河道深度y与岸边到测量点的距离x之间的函数关系.

这里河道深度y与岸边到测量点的距离x之间的函数关系是用图形表示的.其定义域为区间[0,b].xyy=f(x)

(3)公式法用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.

例设半径为x的圆的面积为S,则面积S与半径x之间的函数关系可由公式表示.函数的定义域为例

f(x)的定义域是[-1,1].其对应关系为

用两个或两个以上的公式来表示一个函数,这类函数称为分段函数

.分段函数是公式法表达函数的一种方式.在理论分析和实际应用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函数是用几个公式合起来表示一个函数,而不是表示几个函数.

用公式法来表示一个函数,通常表达为y=f(x)的形式称为显函数;有时可以用方程F(x,y)=0来表达称为隐函数;有时也可用参数方程来表达.

例半径为r的上半圆其方程分别可以由下述形式表达.显函数形式隐函数形式参数方程形式1.函数的有界性三、函数的特性定义设函数y=f(x)的定义域为D,数集，如果存在正数M,使得对于任意的,都有不等式成立,则称f(x)在X上有界,如果这样的M不存在,就称函数f(x)在X上无界.

注:如果M为f(x)的一个界,易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.如果f(x)在X上无界,那么对于任意给定的正数M,X中总有相应的点,使

有界函数图象特征:当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时,函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y=–Ｍ之间.

例函数f(x)=sinx在内有界.这是因为对于任意的都有(Ｍ=1)成立.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y=–1之间.注:

函数的有界性与自变量的变化范围Ｘ相关.2.函数的单调性

定义设函数y=f(x)在区间I上有定义.如果对于任意的,当时,均有成立,则称函数y=f(x)在区间Ｉ上单调增加

(或单调减少).如果对于区间I上任意两点，当均有则称函数y=f(x)在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).严格单调增加的函数的图形是沿x

轴正向上升的；严格单调减少的函数的图形是沿x

轴正向下降的；单调函数图形特征:xxyy例函数内严格单调增加.

例函数内是严格单调减少的，在区间上是严格单调增加的,而在区间内则不是单调函数.xyxy

定义设函数y=f(x)在关于原点对称的区间I上有定义.如果对于任意的,均有成立.则称f(x)为偶函数.偶函数的图形关于y轴对称.3.函数的奇偶性

如果对任意的,均有成立,则称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.例讨论下列函数的奇偶性:解

若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常周期函数的周期是指其最小周期.4.函数的周期性

定义设函数y=f(x),如果存在正常数

T,使得对于定义域内的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，T为f(x)的周期.例函数y=sinx及y=cosx都是以为周期的周期函数；函数y=tanx及y=cotx都是以为周期的周期函数.例函数的周期为函数第二节反函数和复合函数一、反函数二、复合函数37第二节反函数与复合函数一、反函数

定义设函数y=f(x)的定义域为D,值域为W,如果对每一个,都有确定的且满足的使得与之对应,其对应法则记为.这个定义在W上的函数称为函数的反函数.或称其为互为反函数.反函数的定义域为W值域为D.习惯上将改写为38函数与其反函数的关系是变量x与y互换,所以它们的图形是关于直线y=x对称的.

例设函数y=2x–3，求它的反函数.解39二、复合函数

定义设y是u的函数y=f(u)，,而u是x的函数并且的值域包含f(u)的定义域,即,则y通过u的联系也是x的函数,称此函数是由y=f(u)及复合而成的复合函数，记作并称x为自变量,称u为中间变量.变量之间关系为因变量中间变量自变量40所以可以复合,复合函数为的定义域为值域为所以使可以复合,应满足其复合函数为例求下列函数的复合函数解

(1)由于的定义域为

(2)由于的定义域为的定义域为值域为41例下列函数是由哪几个函数复合而成.解所讨论的复合函数由下列函数复合而成复合函数的复合与分解关系函数复合函数分解函数由里到外函数由外到里42例解函数第三节初等函数一、基本初等函数二、初等函数44一、基本初等函数(一)常函数y=C(C为常数)常函数的定义域为,无论x取何值，y都取值常数C.第三节初等函数常函数的图象为平行于x轴且与x轴间距为C的水平直线.y=C45(二)幂函数幂函数的定义域随的不同而不同.46指数函数的定义域为.当a>1时，它严格单调增加；当0<a<1时，它严格单调减少.对于任何的a,的值域都是，函数的图形都过(0,1)点.在高等数学中，常用到以e为底的指数函数这里e=2.7182818，是一个无理数.47对数函数是指数函数的反函数,它的定义域为.当a>1时,它严格单调增加;当0<a<1时,它严格单调减少.对于任何限定的a，的值域都是,函数的图形都过(1,0)点.在微积分中,常用到以e为底的对数函数(记作lnx),lnx称为自然对数.48(五)三角函数正弦函数

y=sinx;余弦函数y=cosx;y=sinx与y=cosx

的定义域均为，它们都是以为周期的函数,都是有界函数.sinx

是奇函数，cosx是偶函数.49正切函数y=tanx;余切函数y=cotx;50(六)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数51二、初等函数定义由基本初等函数经过有限次四则运算经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数，称为初等函数

.函数第四节函数模型一、实际问题函数模型举例二、几种常用的经济函数模型53

第四节函数模型函数模型是一种反应变量之间相依关系的数学模型．它是一种最基本的数学模型形式.

一、实际问题函数模型举例函数模型通常可以通过解析式进行表示，用解析式表示实际问题的过程是：

(1)分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；

(2)根据所给条件，运用数学、物理等知识规律确定等量关系；

(3)具体写出解析式，并指明定义域．54

例欲建一个容积为V的长方体游泳池，它的底面为正方形，如果所用材料单位面积的造价池底是池壁的3倍，试将总造价表示为底面边长的函数.

解设底面边长为x，总造价为P

，池壁单位面积的造价为a

，底面单位面积造价为3a，则游泳池的高为，侧面积为，故总造价函数模型为55例某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内每公里k元;超过a公里,超出部分每公里为0.8k元,秋运价P与里程s之间的函数关系.解根据题意可列出函数关系为这里运价与里程之间的函数关系为分段函数.定义域为56

例指数函数模型是实际问题中广泛应用的一类模型，很多自然现象可以通过指数函数模型进行描述.

（1）衰减记忆模型假设t周后你能记住所学知识的百分比是P（t），则其中Q是难以忘记的百分比，k是一个常数，它依赖于所要记忆的知识.

（2）赫尔学习模型一个打字员学习打字，t周后每分钟打的英语单词数W的函数模型为57二、几种常用的经济函数模型

1．需求函数与供给函数设商品的需求量与供给量分别用Q和S表示，商品价格为p，若忽略市场其它因素的影响，只考虑反映该商品的价格因素，则Q和S分别为p的函数，即有（价格取非负值），称为需求函数.（价格取非负值），称为供给函数.通常需求函数是价格的单调减少函数，商品供给函数是商品价格的单调增加函数.5