2024年凉山州高三数学（理）3月二模检测试卷附答案解析

2024年凉山州高三数学（理）3月二模检测试卷全卷满分150分.考试用时120分钟.2024.03注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数，则（

）A． B．1 C． D．22．已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（

）A． B． C． D．4．已知，且，则在的展开式中，的系数为（

）A．5 B．10 C．15 D．205．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．6．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（

）A． B． C． D．7．已知正数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．若曲线在处的切线与圆C：交于A，B两点，则为（

）A． B． C． D．9．若实数x，y满足不等式，则的概率为（

）A． B． C． D．10．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．11．若，，则函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．312．已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列的前n项和为，若，，则．14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则．15．如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为．

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在C上，点B在y轴．，，则C的渐近线方程为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．设等比数列的前n项和为，，．(1)求；(2)设，求数列的前n项和．18．常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家．“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立．某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论．现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分）物理成绩x636874768590数学成绩y9095110110125130(1)经过计算，得到学生的物理学习成绩x与数学学习成绩y满足回归方程．若某位学生的物理成绩为95分，请预测他的数学成绩；(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于100分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．

(1)求证：平面；(2)求二面角的正切值．20．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知是椭圆C：的左焦点，且椭圆C的面积为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点，，以为直径的圆与椭圆C在x轴上方交于M，N两点，求的值21．已知函数．(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；(2)设，若，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；(2)若与直线垂直的直线交曲线C于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求的最小值．1．B【分析】根据给定条件，利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模.【详解】复数，则，，所以.故选：B2．B【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.【详解】集合，而，由，得，则，所以的取值范围为.故选：B3．D【分析】由抛物线上点可求得，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果.【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：，由抛物线定义知：点到的焦点的距离为.故选：D.4．B【分析】先根据正态分布的对称性求出，在利用二项式定理求的系数.【详解】因为，且，则，得，则，其含的项为，即的系数为.故选：B.5．B【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.【详解】命题“，”是假命题，则“，”是真命题，所以有解，所以，又，因为，所以，即.故选：B.6．D【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.故选：D.7．C【分析】先求出得到，然后代入，利用基本不等式求最值即可.【详解】，则，则，当且仅当，即时等号成立.故选：C.8．D【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得.【详解】由，求导得，依题意，切线的斜率为，方程为，即，圆C：的圆心，半径，点到直线的距离，所以.故选：D9．A【分析】画出不等式表示的平面区域，同时画出，根据面积关系求概率.【详解】，作出其表示的平面区域如下图阴影部分：

，则的概率为.故选：A.10．B【分析】根据给定条件，证得平面，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1，则，即有，同理，而平面，于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，而，则四边形是矩形，，所以球半径，表面积.故选：B11．C【分析】求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.【详解】,当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，，，，则的草图如下：由图象可得函数的零点个数为.故选：C.12．D【分析】判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可.【详解】依题意，，令直线，显然过点，由，得，显然，即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，过作于，则，而，因此，令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，则此切线斜率，解得，即切点为，而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，此时，，所以的最大值为.故先：D【点睛】关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.13．27【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出的值.【详解】等差数列中，由，得，解得，而，则，于是数列的公差，，所以.故答案为：2714．【分析】根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.【详解】在中，由及正弦定理得：，而，则，整理得，即，又，因此，而，所以.故答案为：15．【分析】延长与的延长线交于，求出的面积，并探讨与面积的关系即可求出结果.【详解】在中，延长与的延长线交于，连接，由E，F分别是AD，CD的中点，得，则，由，得是的中点，且，，，于是，所以的面积.故答案为：

16．【分析】先通过向量的运算得到，设，然后利用勾股定理得到，然后在直角三角形和三角形中同时表示，然后列方程求即可.【详解】由得，即，所以，设，则由得共线，且，又，所以，在直角三角形中，，所以，解得，所以，，，所以，又，整理得，所以，即，所以，即C的渐近线方程为.故答案为：.17．(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项公式.（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，则，即，而，因此，解得，所以.（2）由（1）知，，则，则，于是，两式相减得，即.18．(1)；(2)分布列见解析，2.【分析】（1）根据给定条件，求出样本点中心，再求出并作出预测.（2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）依题意，，，于是，解得，因此，当时，，所以物理成绩为95分，预测他的数学成绩为.（2）依题意，数学学习成绩低于100分的有2人，数学学习成绩不低于100分的有4人，因此X的可能值为1，2，3，，，所以X的分布列为123数学期望.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，由中位线性质可得，根据线面平行的判定可得结论；（2）由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令，结合可构造方程求得，进而得到点坐标，利用二面角的向量求法可求得余弦值，进而得到正切值.【详解】（1）连接交于点，连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，平面，平面，平面.（2），平面平面，平面平面，平面，平面，又，以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，设，则，，，，解得：，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；轴平面，平面的一个法向量，由图形可知：二面角为锐二面角，设其为，则，，即二面角的正切值为.20．(1)(2)【分析】（1）由题意可得出：，解方程求出，即可得出答案.（2）求出以为直径的圆的方程，联立椭圆的方程得到，表示出，将韦达定理代入即可得出答案.【详解】（1）由题意可得出：，解得：，所以椭圆C的标准方程为：.（2）因为，，所以以为直径的圆的方程为，即，设，则由，得：，所以，又，同理，，所以.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用导数结合单调性，列出不等式求解即得.（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即得.【详解】（1）函数，求导得，依题意，对任意实数，恒成立，而，因此，解得：，所以的取值范围为.（2）函数的定义域为，由，得，由（1）知，函数在上是增函数，不妨令，则，即，亦即，则，于是，则，下面证明：，即证：，即证：，令，即证：，设，求导得，则函数在上单调递减，于是，即，所以.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.22．(1)；(2)【分析】（1）将曲线C的参数方程中的参数消去即可得普通方程，利用可将极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线方程为，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式及韦达定理求最值