中考数学拉分压轴题专题14 与圆有关的证明和计算（含答案与解析全国通用）

第第页专题14与圆有关的证明和计算（1）切线判定：=1\*GB3①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线=2\*GB3②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）=3\*GB3③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．1．如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．(1)求证：EH=CH；(2)求证：是圆的切线；(3)若，求圆的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）先判断出是等腰三角形，即可得出结论；（2）连接OD，先判断出是等腰三角形，进而得出，进而判断出，即可得出结论（3）设的半径为r，即，先判断出，进而得出，得出，，进而得出，再判断出，得出比例式建立方程求解，即可求出答案．（1）证明：，，在⊙中，，∴，是等腰三角形，∵，∴（2）证明：连接，如图1，，是等腰三角形，，，，，∴，，，∵是的半径，是圆的切线；（3）连接，如图1，，设⊙的半径为，即，，，∵，，则，，，∵是等腰三角形，∴，，∴是等腰三角形，∵是⊙的直径，∴，∴，，在⊙中，，，在中，，，，，，，，解得：，舍，综上所述，⊙的半径为．【我思故我在】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解（3）的关键．2．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在中，是劣弧的中点，直线于点，则．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，，组成的一条折弦．是劣弧的中点，直线于点，则．可以通过延长、相交于点，再连接证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，，组成的一条折弦，若是优弧的中点，直线于点，则，与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）连接，，易证为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得．（2）根据圆内接四边形的性质，先，再证为等腰三角形，进一步证得，从而证得结论．（3）根据，从而证明，得出，然后判断出，进而求得．【详解】证明：（1）如图1，连接，，是劣弧的中点，，，，，，，为等腰三角形，，；（2）如图2，延长、相交于点，再连接，是圆内接四边形，，是劣弧的中点，，，为等腰三角形，，，，，（3）．连接，，，、相交于点，弧弧，，，，，，，，，，，，，，．【我思故我在】本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握垂径定理在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．3．如图，AB是的直径，AC是的切线，连接OC，弦，连接BC，DC．求证：DC是的切线；若，求的值．【分析】连接OD，如图，利用切线的性质得，再利用平行线的性质证明，则可判定≌，从而得到，然后根据切线的判定方法得到结论；作于E，如图，在中由于，则可设，，所以，则，再在中利用正弦可表示出，利用勾股定理可得到，于是得到，从而在中根据正切定义得到，然后根据平行线的性质即可得到的值．【详解】证明：连接OD，如图，为切线，，，，，，，，，在和中，≌，，，是的切线；解：作于E，如图，在中，，设，，，，在中，，，，，在中，，，，的值为．【我思故我在】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了解直角三角形．4．图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，过点A作，垂足为点E．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求的半径以及线段的长．【答案】(1)是的切线，理由见解析(2)3；【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，即，根据平行线的判定方法得出，根据，得出，根据即可得出结论；（2）设，在中，由勾股定理列出关于x的方程即可；先求出，然后再根据，得出，代入数据即可得出答案．【详解】（1）：是的切线，理由如下：连接OD，如图所示：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，∵是半径，∴是的切线；（2）解：设，在中，由勾股定理得，，即，解得，即半径为3；∵，∴，根据解析（1）可知，，∴，即，解得：．【我思故我在】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是根据平行线的性质得出．5．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为，，求的长．【详解】（1）证明：如图，连接，∵，

∴．∵，

∴，∴，∴．∵，∴，即，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：如图，连接，∵是的直径，

∴．∵，

∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴∴．【我思故我在】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识．连接常用的辅助线是解题关键．6．如图，在中，，以为直径的与斜边交于点，点为边的中点，连接．(1)求证：是的切线；(2)填空①若，，则___________；②当___________时，以，，，为顶点的四边形是正方形．【答案】(1)见解析(2)①；②【详解】（1）证明：∵是直径，∴，∵点为边的中点，∴DE=CE=BE，∴，，连接，则，∴，∴是的切线．（2）解：①∵在中，，∴，∴，故答案为：；②只要，以，，，为顶点的四边形就是正方形，则，故答案为：．【我思故我在】本题考查了圆的切线的判定及解直角三角形的知识和正方形的判定，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解答本题的关键．7．如图，AB是⊙O的直径，弦，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F连接AF，CE．(1)若，求的度数．(2)求证：AF平分．(3)若，，且CF经过圆心O，求CE的长．【答案】(1)70°(2)详见解析(3)【分析】（1）由垂径定理得到，从而得到与的关系，通过直角三角形的性质可以得到,由圆周角定理的推理即可得出；（2）由垂径定理和圆周角定理的推理可以得出,再由圆内接四边形和得出与的关系，从而得到，由圆周角定理的推理得出与的关系，从而得出与的关系，得证；（3）由垂径定理可以得出CH，由勾股定理得出OH，从而得出AH的长，再由勾股定理得出AC的长，由，根据平行线分线段成比例定理，得出，从而得出CE的长．(1)（1）解：如图，连接OD，AD，设AB交CD于H．∵，∴，，∴，∴，∴∠AFC＝∠ADH＝70°．(2)（2）证明：∵AB是直径，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴AF平分．(3)（3）解：如图，设AB交CD于H．∵AB是直径，，∴，∵，，∴∴，∴∵CF是直径，∴，∴，∴∵，∴，∴．【我思故我在】本题考查了垂径定理、圆周角定理及推理、勾股定理、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解决本题的关键．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB=∠ADB．(1)求证：PA为⊙O的切线；(2)若AB=6，tan∠ADB=，求PB的长；(3)在（2）的条件下，若AD=CD，求△CDE的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)5【分析】（1）连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，根据圆周角定理得到∠CAB=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据三角函数的定义得到AC=8，根据勾股定理得到BC=，求得OB=5，过B作BF⊥AP于F，设AF=4k，BF=3k，求得BF=，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）连接OD交AC于H，根据垂径定理得到AH=CH=4，得到OH=，根据相似三角形的性质得到DE=，根据三角形的面积公式即可得到结论．(1)证明：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB=90°，∴∠ACB＋∠ABC=90°，∵∠ADB=∠ACB=∠PAB，∴∠PAB＋∠OAB=90°，∴∠OAP=90°，∴PA为⊙O的切线；(2)解：∵∠ADB=∠ACB，∴tan∠ADB=tan∠ACB=，∵AB=6，∴AC=8，∴BC=，∴OB=5，过B作BF⊥AP于F，∵∠ADB=∠BAF，∴tan∠ADB=tan∠BAF=，∴设AF=4k，BF=3k，∴AB=5k=6，∴k=，∴BF=，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BFOA，∴△PBF∽△POA，∴，即，∴PB=；(3)解：连接OD交AC于H，∵AD=CD，∴，∴OD⊥AC，∴AH=CH=4，∴OH=，∴DH=2，∴CD=，∴BD=，∵∠ADE=∠BDA，∠DAE=∠ABD，∴△ADE∽△BDA，∴，即，∴DE=，∴△CDE的面积为．9．问题提出(1)如图1，AB为圆O的弦，在圆O上找一点P，使点P到AB的距离最大．(2)问题探究如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上任意一点，连接PM，与AB交于点Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．(3)问题解决如图3，小华家有一块扇形AOB的田地，线段OA、线段OB以及分别为扇形AOB的边沿部分．经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作种植当季蔬菜，具体操作方式如下：在上选取点C，过点C作CMOB，CNOA，则四边形MONC为小华爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米．请你根据以上数据计算：小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（结果保留整数，取1.73）【答案】(1)见解析(2)(3)210元解：如图1，过点O作OP⊥AB，此时点P处于中心位置，∵在圆内，弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，∴此时P点到AB的距离最大；(2)解：如下图，Q点在AB的中点时，QM最小，则PQ最大，∵MA＝MB，AQ＝BQ，∴QM⊥AM，∵AB＝10，AM＝7，∴AQ＝BQ＝5，∴，∴；(3)解：由题意可知，当点C处于中点时，对角线最长，此时，OC＝OA＝90，AB⊥OC与点Q，∵CMOB，∴∠AMC＝60°，∵CNOA，∴∠CNB＝60°，∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°，∴△CMN为等边三角形，同理证明△OMN也为等边三角形，在Rt△OMQ中，OQOC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2，∴OM＝1526.01，∴▱OMCN的周长C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米计算），∵成本均为30元/米，∴，则预算最多为：7×30＝210（元）．【我思故我在】本题考查了弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，点到弦之间的距离垂线段最短，平行四边形周长的最大值，解题关键是把求平行四边形四条边的平方的和，换成求平行四边形对角线的最大值，问题就得以解决．10．如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：；（2）填空：①若，且点E是的中点，则DF的长为；②取的中点H，当的度数为时，四边形OBEH为菱形．【答案】（1）见解析（2）①②30°【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证；（2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得．【详解】解：（1）证明：如图1，，，AB是的直径，，；（2）①如图2，过F作于H，点E是的中点，，，，即，，即，故答案为．②连接OE，EH，点H是的中点，，四边形OBEH为菱形，．故答案为11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝6．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝6．【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG