第1章 三角形的证明 最值问题 2023-2024学年北师大版八年级数学下册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北师版八下三角形的证明最值问题一、单选题1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为（）A．11 B．12 C．13 D．142．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，AG是底边BC上的高，在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE=150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值(

)A．6 B．4 C．3 D．23．如图，△ABC中AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度(

)A．EF B．AB C．AC D．BC4．如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD=5，CD=3，P为A．2 B．3 C．5 D．85．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，P点为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是（A．9 B．8 C．7 D．67．如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点，如PH=5，则PQ长的最小值为（

）A．10 B．5 C．3 D．2.58．如图，∠ABN=60∘，点C为射线BN上一定点，E为线段AB延长线上一定点，且BE=AB=12，点A关于射线BN对称点为D，连接BD，CD，DE，若P为直线BC上一个动点，则△PDE周长的最小值为（

A．12 B．24 C．36 D．489．如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC于D,AD=3.5cm，点P,Q分别为AB,AD上的两个定点，且BP=AQ=2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则A．2cm B．3cm C．4cm10．如图，等边△ABC的边长为4，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，D为线段

A．6 B．12 C．8 D．411．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A0,4，直线l：y=kxk>0与x轴相交所成的锐角为75°．若P是y轴上的动点，M，N是l上的动点，则AM+MP+PN的最小值为（A．22 B．23 C．4 12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上的中点，点P在BC上的一个动点，连接DP，在DP的下方作等边三角形DPE，连接CE，则CE最小值是（

）A．3 B．2 C．1.5 D．113．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（

A．BC B．CD C．CE D．AC14．如图：在ΔABC中，AB=AC=15，BC=18，ΔABC的中线AD=12，P、E分别是AD、AB上一个动点，则BP+EP最小值是（

A．12 B．9 C．8 D．7215．如图，已知在等边△ABC中，AD⊥BC，AB=83，若点P在线段AD上运动，当12AP+BP

A．43 B．83 C．10 16．在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BCD=45°，BC=23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，

A．23+2 B．3+3 C．217．如图，△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，D在BC边上，且将△ABC沿着AD折叠，点B刚好落在AC边上的点E处，P是直线AD上的一个动点，若CE=1，则△PCE的周长最小值为（

）

A．3+3 B．2+3 C．4+318．如图，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，分别连接BP，PD，则△PBD的周长的最小值是（

）

A．6 B．7 C．10 D．1219．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（

）

A．4.8 B．5 C．5.5 D．620．如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=3，若P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（

）

A．3 B．2.4 C．4 D．5二、填空题21．如图，在等边△ABC中，AB=6，点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边△BEF，连接DF、CF，则FB+FD的最小值为．22．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=2，点E在BC延长线上，CE<CB，过点E作BC的垂线交BA延长线于点D．若EF+ED=2AC，连接BF，CF，则BF+CF的最小值为．23．如图，边长为6的等边三角形中，若点M是高AD所在直线上一点，连接CM，以CM为边在直线CM的下方画等边三角形CMN，连结接DN，则DN长度的最小值为．

24．如下图，在等腰△ABC中，∠A=90°,BD平分∠ABC，BE平分∠DBC,M、N分别为射线BE、BC上的动点，若BD=10，则CM+MN的最小值为．25．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD是∠BAC的平分线且AD=8，若P、Q分别是AD、AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，BD是∠ABC的平分线，若P，Q分别是BD和BC上的动点，则PC+PQ的最小值是27．在△ABC中，AB=AC=26，BC=20，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是28．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，直线AF⊥BC于F，点D是直线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边△BDE，连接EF，则EF的最小值为29．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM．若BC=82，则MN最小值为30．如图，在△ABC中，点E和点D分别在AB和AC边上，∠AED=∠ACB，ED=CD，连接BD，点F和点G分别是线段BD和BC上的两个动点，AB=4，△ABC的面积是6，则FG+CF的最小值是．31．如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP=AQ=3，QD=2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为．32．如图，∠AOB=30°,OC平分∠AOB，点P为射线OC上一点，OP=6，点M,N分别为OA,OB边上的动点，则△MNP周长的最小值为．33．如图，等腰三角形ABC的面积为12，其中AB=AC，底边BC=6，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC、AB于E、F两点，点M为线段EF上一动点，点D为BC的中点，连接CM、DM．在点M的运动过程中，△CDM的周长的最小值为．34．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．35．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则BM+DM的最小值为．36．如图，在△ABC中，∠C=90∘,AD平分∠BAC，若BC=10,BD=6，点E是AB上一动点，DE37．已知，如图，AB=8，P为线段AB上的一个动点，以PB为边作等边三角形PBC，在射线PC上取PD=PA，连接AD，BC，M，N分别是AD，BC的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离的最小值为．38．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AB边上一点，且AE=2，则线段EF+CF的最小值为．39．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，以BC为边，在BC上方作等边△DCB,E,F分别为边AC,AB上的两个动点，且AE=BF．若BC=6，则DE+DF的最小值为

40．如图，△ABC中，∠A=30°,BC=3，△ABC的面积12．点D、E、F分别是三边AB,BC,CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．

三、解答题41．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点P从点C出发，以每秒1cm的速度向终点(1)当t为何值时，线段BP把△ABC的面积平分？(2)当t为何值时，△ABP为等腰三角形？(3)点P在运动过程中，在AB边上是否存在一点D,使得PD+PB最小？若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由．42．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若AB=7cm，△MBC的周长是12cm(1)求BC的长；(2)若点P是直线MN上的一点，直接写出PB+PC的最小值为______cm．43．如图1，在等边三角形ABC中，AB=12，点E,F分别在边AC,BC上，且AE=BF=4，动点P从点F出发沿射线FC运动，以EP为边向右侧作等边三角形EPM，连接CM．(1)求证：△EFC是等边三角形；(2)当点P在线段FC上运动时，求EC与PC,CM之间的数量关系；(3)如图2，当点P在线段FC的延长线上运动时．①∠ACM=__________度；②当EP⊥CM时，求FP的长；(4)连接BM，直接写出BM+EM的最小值．44．已知△ABC是等边三角形，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为边在直线AD右侧作等边△ADE．(1)如图1，点D在线段BC上，连接CE，若AB=4，且CE=1，求线段AD的长；(2)如图2，点D是BC延长线上一点，过点E作EF⊥AC于点F，求证：CF=AF+CD；(3)如图3，若AB=8，点D在射线BC上运动，取AC中点G，连接EG，请直接写出EG的最小值．45．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P请利用上述模型解决下列问题：(1)几何应用：如图2，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为；(2)几何拓展：如图3，△ABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．46．如图，△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD=DC=4，AC，BD相交于点(1)求证：BD垂直平分AC；(2)求BE的长；(3)若点F为BC的中点，点P在BD上，则PC+PF的最小值为______．（直接写出结果）．47．已知△ABC为等边三角形．(1)如图1，点D为边BC上一点，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE，求证：△ABD≌(2)如图2，以AC为腰作等腰直角三角形ACD，取斜边CD的中点E，连接AE，交BD于点F．求证：BF=AF+DF．(3)如图3，若AB=3，点P是边AC上一定点且AP=23，若点D为射线BC上一动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE，直接写出48．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，EF垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点F，M是直线EF上的动点．(1)当MD⊥BC时，①若ME=1，则点M到AB的距离为________；②若∠CMD=30°，CD=3，求△BCM的周长；(2)若BC=8，且△ABC的面积为40，求△CDM周长的最小值．49．已知：等边△ABC中，AB=7，AD⊥BC于点D，以BE为边，在BE下方作等边△BEF．

(1)请直接写出线段AE与CF的数量关系；(2)若点E在射线AD上，且在△ABC的外部，AE与CF的关系是否还存在，并说明理