2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算结果中正确的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3+a2＝2a23．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24．（3分）估算的结果（）A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，则DF的长度是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2），其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．17．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．（3分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．49．（3分）我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，BD＝3CD，则k值为（）A．3 B．4 C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知m，n满足，则的值为．12．（3分）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是．13．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，则图②中阴影部分的面积为．14．（3分）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1．15．（3分）在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的中线和角平分线，且AD⊥BE，则＝．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）计算：．17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2024．18．（8分）开学初，为评估九年级学生的数学学情，并采取有针对性的教与学，我校抽取了九下部分学生的适应性考试数学成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图（1）这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（3）若我校九年级共有1800人参加了这次考试，请你估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，CF（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cosB＝，求FD的长．20．（8分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提配市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，3月份销售720个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？21．（9分）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶．【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米22．（10分）综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．11．如图（1），点D在等边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转（1）在图（1）中画出旋转后的图形．（2）小明是这样做的：如图（2），过点C画BA的平行线l，△l上取CE＝BD，则△ACE即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？12．如图，△ABC，△ADE均为顶角为42°的等腰三角形，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？【初步探究】（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在△ABC与△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．【类比探究】（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，BC上的点，且DE＝1．连接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如图3，D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，∠MPC＝60°．试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（4）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，请直接写出BC的长．

2024年广东省深圳市南山实验教育集团中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看，可得如图：．故选：C．2．（3分）下列运算结果中正确的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a2•a3＝a6 D．a5÷a3+a2＝2a2【解答】解：A.＝|a|；B．（﹣2a4）3＝﹣8a4，故B选项不符合题意；C．a2•a3＝a7，故C选项不符合题意；D．a5÷a3+a7＝2a2，故D选项符合题意；故选：D．3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝2可得：m2﹣m﹣1＝8，即m2﹣m＝1；故选：A．4．（3分）估算的结果（）A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间【解答】解：原式＝×4＝5＝，∵＜＜，∴9＜＜10，即7＜×＜10，故选：D．5．（3分）如图，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，则DF的长度是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝2，BC＝3，∴＝，解得：DE＝6，∴DF＝DE+EF＝4+6＝10，故选：C．6．（3分）尺规作图：如图（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．如图（2），其中正确的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①由作图不能得出BP⊥AC，故①作法不正确；②由作图得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正确；③由作图知P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∴∠PBC＝∠C＝45°，故③作法正确；④由作图得：P在以AB为直径的圆上，∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，∴∠PBC＝45°，故④作法正确；故选：B．7．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得到：＝．解得x＝4．即蜡烛火焰的高度是6cm．故选：B．8．（3分）若一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：因为一次函数y＝x+k与反比例函数的图象没有公共点，所以方程无解，原方程可整理为x2+kx﹣k＝0，则k6﹣4×1×（﹣k）＜6，解得﹣4＜k＜0，所以四个选项中的选项符合题意．故选：B．9．（3分）我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．【解答】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣3，m）和（5，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴﹣＝1，∴b＝﹣5a．根据表中信息，抛物线经过点（﹣1，∴a﹣b﹣2＝8，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；∵yy＝x2﹣x﹣2＝2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣），抛物线的开口方向向上，﹣2），﹣2），∴当x＝5时，y由最小值﹣，当x＝5时，y＝﹣2，y＝﹣2；当x＝2时，y＝，如图：∵当0＜x≤6时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，∴﹣＜k＜﹣8．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，BD＝3CD，则k值为（）A．3 B．4 C． D．【解答】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，则四边形OCAF、ADEF，∴BG＝CD，AF＝DE，设B点坐标为（m，n），BE＝n，∵AC＝AB＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，∵BD＝4CD＝3m，∴AF＝DE＝n﹣3m，在Rt△ABD中，BD6+AD2＝AB2，∴（4m）2+（5﹣m）4＝52，解得m5＝1，m2＝5（舍去），∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，∴B（6，n），n﹣3），∵点B（1，n），n﹣3）在反比例函数图象上，∴n＝5（n﹣3），解得n＝，∴k＝＝．故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）已知m，n满足，则的值为．【解答】解：∵，∴3m＝2（m+n），3m＝5m+2n，3m﹣4m＝2n，m＝2n，∴＝＝，故答案为：．12．（3分）如图，电路图上有三个开关S1，S2，S3，和两个小灯泡L1，L2，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L2发光的概率是．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中能让灯泡L2发光的结果数为3，∴能让灯泡L2发光的概率为：＝，故答案为：．13．（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，则图②中阴影部分的面积为24．【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，8，4，这四部分组成的，∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，即：阴影部分的面积＝；故答案为：24．14．（3分）将正方体的一种展开图，按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为18．【解答】解：如图所示：由题意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∴△EFH∽△EBP，∴，∴，解得PB＝6，∴BC＝PB+CP＝6+8＝8．故答案为：8．15．（3分）在锐角△ABC中，AD，BE分别为△ABC的中线和角平分线，且AD⊥BE，则＝．【解答】解：过D作DF∥BE，交AC于点F，，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，即CD＝BD＝，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠CEB，∠CDF＝∠CBE，∴△CFD∽△CEB，∴＝＝，∴CF＝EF，∵AD⊥BE，DF∥BE，∴FD⊥AD，即∠ADF＝90°，∵BE＝AD，∴AD＝2FD，设FD＝x，则AD＝5x，由勾股定理得，AF＝＝x，∵BE为△ABC的角平分线，∴∠ABM＝∠DBM，∵AD⊥BE，∴∠DMB＝∠AMB＝90°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM，即AM＝，AB＝BD，∵DF∥BE，∴∠AEM＝∠AFD，∠AME＝∠ADF，∴△AEM∽△AFD，∴＝，∴AE＝EF，EM＝xx，AM＝，由勾股定理得AB＝＝x，∴BD＝AB＝x，∴BC＝5BD＝x，∵CF＝EF，∴AC＝＝x，∴＝＝，故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共55分）16．（6分）计算：．【解答】解：＝7﹣1+2﹣＝3﹣．17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2024．【解答】解：＝•＝•＝﹣＝，当x＝2024时，原式＝＝．18．（8分）开学初，为评估九年级学生的数学学情，并采取有针对性的教与学，我校抽取了九下部分学生的适应性考试数学成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图（1）这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；（3）若我校九年级共有1800人参加了这次考试，请你估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？【解答】解：（1）22÷44%＝50（名），答：这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）50×20%＝10（人），∴样本中表示成绩类别为“中”的人数有10人；补全图形如下：（3）1800×＝360（名），答：估计该校九年级共有360名学生的数学成绩达到优秀．19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，CF（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cosB＝，求FD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝5，∴AC＝＝5，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，设FD＝3x，则FC＝7x，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）7＝3x（3x+10），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．20．（8分）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提配市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，3月份销售720个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：500（1+x）2＝720，解得：x5＝0.2＝20%，x5＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个，则每个的销售利润为（y﹣30）元，根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y4﹣130y+4000＝0，解得：y1＝50，y8＝80，又∵要尽可能让市民得到实惠，∴y＝50．答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．21．（9分）综合与应用为促进中学生全面发展，培养良好体质，某班同学在“大课间”开展“集体跳绳”运动．跳绳时2+bx+c的部分图象．以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，若摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米，在距离摇绳者A的水平距离1.5米处，绳子刚好经过她的头顶．【阅读理解】（1）求图中抛物线的解析式；（不需要求自变量取值范围）【问题解决】（2）体育龙老师身高1.82米，请问他适合参加本次运动吗？说明理由；（3）若多人进入跳绳区齐跳，且大家身高均为1.7米，要求相邻两人之间间距至少为0.6米【解答】解：（1）∵摇绳的两人之间间距为6米，摇绳时两人手离地面均为米，∴抛物线的对称轴为直线x＝6．由题意得：抛物线经过点（0，），（4.5．∴．解得：．∴图中抛物线的解析式为：y＝﹣8.1x2+4.6x+0.3；（2）∵﹣0.1＜6，∴二次函数有最大值＝＝＝5.8．∵1.4m＜1.82m，∴他不适合参加本次运动；（3）当y＝1.3时．﹣0.1x5+0.6x+8.9＝1.5．0.1x4﹣0.6x+2.8＝0．x2﹣6x+8＝3．（x﹣2）（x﹣4）＝6．∴x1＝2，x8＝4．∴4﹣6＝2（米）．∵相邻两人之间间距至少为0.2米，∴间距个数为：2÷0.3＝3．∴最多可供4人齐跳．答：最多可供4人齐跳．22．（10分）综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．11．如图（1），点D在等边三角形ABC的边BC上，将△ABD绕点A旋转（1）在图（1）中画出旋转后的图形．（2）小明是这样做的：如图（2），过点C画BA的平行线l，△l上取CE＝BD，则△ACE即为旋转后的图形，你能说说小明这样做的道理吗？12．如图，△ABC，△ADE均为顶角为42°的等腰三角形，DE分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？【初步探究】（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在△ABC与△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．【类比探究】（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，BC上的点，且DE＝1．连接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如图3，D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，∠MPC＝60°．试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（4）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，请直接写出BC的长．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：将△ADE绕点