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文档简介

2.5平面向量应用举例引入：平面向量的数量积a·b

是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如：勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等，正方形的对角线相等且垂直等。请你给出具体证明。

例1、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，AC＝AB＋AD，DB＝AB－AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ABCDOab平面几何中的向量方法：平行四边形的对角线相互平分！例2、如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFTR平面几何中的向量方法：练习:△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b。（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且（2）用a、b表示向量AO。ABCEDFOab用向量方法解决几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。例3：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？F2θF1FG探究：（1）θ为何值时，最小，最小值是多少？F1（2）能等于吗？为什么？F1G答：在（*）中，当=

即θ=120º时，=

cos2θ12F1GF1cos2θ2答：在（*）式中，当θ=0º时，最大，最小且等于Gcos2θ2向量在物理中的应用：练习:平面三个力F1、F2、F3作用于一点且处于平衡状态，|F1|＝1N，|F2|＝N，F1与F2的夹角为45°，求：（1）F3的大小；（2）F3与F1的夹角θ大小；（3）若其他条件都不变，当|F2|的发生变化时，请问θ的取值范围是什么？F1F3F2例4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用时间是多少？(精确到0.1min)行驶时间最短时,行驶的航程是多少?

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