广东省东莞市外国语学校2023-2024学年高二下学期第一次阶段性考试（4月）数学试题含答案

东莞外国语学校2024学年高二（下）第一次阶段性考试数学试卷命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则该函数在处的切线斜率为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有（

）种.A．81 B．64 C．24 D．43．x-25的展开式中的系数为（

）A．40 B．-40 C．80 D．-804．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（

）A． B．C． D．5．若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或6．已知函数，其导函数记为，则（

）A． B．0 C．1 D．27．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知，则（

）A． B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上是凸函数的是（）A． B．C． D．10．若，，且，则下列结论中不一定成立的是（

）A．B．C． D．11．已知函数存在个不同的正数，，使得，则下列说法正确的是（

）A．的最大值为5 B．的最大值为4C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．要从甲、乙、丙3名工人中选出两名分别上日班和晚班，有______种不同的选法．13．若函数，则______.14．已知函数，，则实数的取值范围是________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大（如图）．计算：(1)半径从增加到时，圆面积S相对于的平均变化率；(2)半径时，圆面积S相对于的瞬时变化率．16．已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果）(1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？(2)若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？17．已知.(1)若，求中含项的系数（请用数字表示结果）；(2)若，求的值（请用指数形式表示结果）．18．已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求的最小值。19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；（2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；（3）设，证明：．东莞外国语学校2023-2024学年高二第一次段考参考答案1．C.2．A【解析】每封信可以投个不同的信箱中的其中一个，由分步乘法计数原理可得，不同的投法种数为种.3．A.【解析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【解析】x−25的展开式的通项T令5−r=3，解得r=2，所以T3=C524．B【解析】由函数的图象可知：当时，单调递增，且增速变缓慢，，表示直线的斜率，根据导数的几何意义可知，，5.C【解析】，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最值，则有，解得.6．B【解析】函数定义域为，可得，两边同时求导，则有所以.7．C【解析】对两边同时求导，得，令，得.8.D【解析】法一：，由于在恒成立，故在递减。．法二：而故，则有．(无脑洛)9．ABC【解析】对于A，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于B，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于C，由，得，则，因为，所以，所以此函数是凸函数；对于D，由，得，则，因为，所以，所以此函数不是凸函数，故选：ABC10．ABC【解析】令，，则，∵当时，，，即，∴在上单调递增，∵的定义域关于原点对称，，∴为偶函数，图象关于轴对称，∴在上单调递减，∵，即，∴，故D正确，而ABC不一定成立.11．【答案】ABD【解析】由得，令，与单调性一致，，易知在上单调递减，在上单调递增，在时，取得极小值（最小值），所以，在上单调递增，在上单调递增，即B正确；在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误.故选：ABD.12．【答案】6【详解】13．【答案】0【详解】因为，所以两边同时求导数可得令，则，所以，即，，所以，，则，14.【解析】15．【解析】（1）圆面积S相对于半径的平均变化率为．（2）在表达式中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于的瞬时变化率为。（恰为此时圆的周长）16．【解析】（1）需测试4次，按顺序可看作为4个位置，两件次品置于第二，四位，有放法数；其余二个位置放二个正品，有放法数由乘法原理方法数为：种不同的测试情况；（2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品，恰好2次，即前2次测试都是次品，方法数为；恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为；恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为；也可以是前四次全是正品，方法数为故共有种不同的测试情况17．【详解】（1），因为展开式中的第项，所以展开式中含项分别为，故中含的项为，所以中含项的系数为99.（2），令得①，令得②，两式相减①-②：，所以.18．【解析】（1）当时，，，故的递增区间为，递减区间为。（2）令，则有，（观察前的系数，则，必要性探路，下一步验证等号成立即可，由中，结合图象可知为左右函数的切点，在此点处有公切线，在时成立，则，结合，从而有）下面证