专题01 利用相交线的性质求角度（解析版）

人教版七年级数学下册《第五章相交线》复习专题训练专题训练一：利用相交线的性质求角度知识回顾：★知识回顾：★邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.性质：邻补角互补.★对顶角的定义：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.性质：对顶角相等.●它们是从“位置关系”和“数量关系”两个方面总结“邻补角”“对顶角”的定义和性质的.★垂线的定义：当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示，并在图中任意一个角处作上直角符号.●垂线的定义既可以作为垂线的性质用又可以作为垂线的判定来用.类型类型一：直接计算求角度◎【典例一】◎如图,已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，若∠AOD=100°.求：(1)∠EOD的度数；(2)∠AOF的度数.【答案】(1)40°；(2)150°.【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角.【解答】解:(1)∵∠AOD=100°，∴∠BOD=180°－∠AOD=180°－100°=80°,∵OE平分∠BOD， ∴∠EOD=∠BOE=∠BOD=×80°=40°;(2)∵∠EOD=40°,∴∠EOC=180°－∠EOD=180°－40°=140°,∵OF平分∠COE，∴∠EOF=∠E0C＝×140°=70°,∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=70°－40°=30°,∴∠A0F=180°－∠BOF=180°－30°＝150°. 【分析】(1)根据邻补角的概念求出∠BOD，根据角平分线的定义计算即可；(2)根据邻补角的概念求出∠COE，根据角平分线的定义求出∠EOF，进而求出∠BOF的度数，根据邻补角的概念计算即可.■【变式1】如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．写出图中∠AOC的对顶角，∠AOE的补角是．（2）已知∠AOC=80°，且∠COE：∠AOE=1：3，求∠DOE的度数．【答案】（1）∠DOB，∠BOE；（2）∠DOE=160°．【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角；（2）根据比例设未知数，设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，根据∠AOC的度数列方程求出∠COE的度数，进而求出∠DOE的度数即可.【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O，∴∠AOC和∠BOD是对顶角．∵∠AOE+∠BOE=180°，∴∠AOE的补角是∠BOE．故答案为：∠DOB，∠BOE．∵∠COE：∠AOE=1：3，∴设∠COE=x°，则∠AOE=3x°，∵∠AOC=80°，∴x+3x=80，∴x=20，即∠COE=20°，∴∠DOE=160°．■【变式2】如图，直线CD，AB相交于点O，∠BOD和∠AON互余，∠AON=∠COM．求∠MOB的度数；（2）若∠COM=∠BOC，求∠BOD的度数．【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．【答案】（1）90°；（2）67.5°．【分析】（1）根据余角的定义可得∠BOD+∠COM=90°，再根据平角的定义可求解；(2)【解答】解：（1）∵∠BOD和∠AON互余，∴∠BOD+∠AON=90°，∵∠AON=∠COM，∴∠BOD+∠COM=90°，∴∠MOB=180°﹣（∠BOD+∠COM）=90°；（2）设∠COM=x，则∠BOC=5x，∴∠BOM=4x，∵∠BOM=90°，∴4x=90°，解得x=22.5°，∴∠BOD=90°﹣22.5°=67.5°．类型二：利用垂线的性质计算求角度类型二：利用垂线的性质计算求角度◎【典例二】◎如图，直线AB，CD相交于点O.射线OF⊥CD于点O，∠BOF=30°，求∠BOD，∠AOD的度数.【考点】垂线；邻补角【答案】∴∠BOD=60°，∠AOD=120°.【分析】利用垂线定义可得∠DOF=90°，再结合条件∠BOF=30°，可求出∠BOD的度数，利用邻补角定义可得∠AOD的度数.【解答】解：∵OF⊥CD，∴∠DOF=90°，∵∠BOF=30°，∴∠BOD=∠DOF－∠BOF=90°﹣30°=60°，∵∠AOD+∠BOD=180°，∴∠AOD=180°－∠BOD=180°﹣60°=120°.■【变式3】如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．如果OB与OD互相垂直，∠AOD=30°，那么∠COE是多少度？若∠AOB=140°，你能求出∠COE是多少度吗？【考点】垂线；角平分线的定义．【答案】（1）∠COE=60°；（2）∠COE=70°．【分析】（1）由垂直的定义可得，∠BOD=90°，根据角平分线的定义可得∠DOE=∠BOD的度数，已知AOD=30°可得∠COD=∠AOD的度数，根据∠COE=∠DOE+∠COD代入计算即可得出答案；（2）根据角平分线定义可得∠COD=∠AOD，∠DOE=∠BOD，由已知∠AOB=140°，可得∠AOD+∠BOD=140°，根据∠COD+∠DOE等量代换即可得出答案．【解答】解：（1）∵OB与OD互相垂直，∴∠BOD=90°，∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE=∠BOD=×90°＝45°，∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOD=30°，∴∠COD=∠AOD=×30°＝15°，∴∠COE=∠DOE+∠COD=45°+15°=60°；（2）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∴∠COD=∠AOD，∠DOE=∠BOD，∵∠AOB=140°，∴∠AOD+∠BOD=140°，∴∠COD+∠DOE=(∠AOD+∠BOD)＝×140°＝70°，即∠COE=70°．■【变式4】如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．若∠COE=54°，求∠DOF的度数；若∠COE：∠EOF=2：1，求∠DOF的度数．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【答案】（1）108°．（2）112.5°．【分析】（1）先由OE⊥AB得出∠AOE=∠BOE=90°，再根据角平分线定义求出∠COF=72°，然后由∠DOF=180°﹣∠COF即可求解．（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，则∠COF=3x°，再根据角平分线定义求出∠AOF=∠COF=3x°，所以∠AOE=4x°，由垂直的定义可知∠AOE=90°，则4x=90，解之，求出x即可．【解答】解：（1）∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°；∵∠COE=54°，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=144°，∵OF平分∠AOC，∴∠COF=∠AOC=72°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=108°．（2）设∠EOF=x°，则∠COE=2x°，∴∠COF=3x°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=∠COF=3x°，∴∠AOE=4x°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴4x=90，解得x=22.5，∴∠COF=3x°=67.5°，∴∠DOF=180°﹣∠COF=112.5°．类型三：通过计算判定两直线垂直类型三：通过计算判定两直线垂直◎【典例三】◎如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=28°，∠BOF=59°，OF平分∠DOE，OE与AB垂直吗？为什么？【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【答案】见试题解答内容【分析】根据对顶角的性质和角平分线的定义即可得到结论．【解答】解：OE⊥AB，理由如下：∵∠AOC=28°，∴∠DOB=∠AOC=28°，∴∠DOF=∠BOF﹣∠DOB=59°﹣28°=31°，又OF平分∠DOE，∴∠EOD=2∠DOF=62°，∴∠EOB=∠EOD+∠DOB=62°+28°=90°，∴EO⊥AB．■【变式5】如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．∠AOC的邻补角为∠AOD（写出一个即可）；若∠1=∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；若∠1=∠BOC，求∠MOD的度数．【考点】对顶角、邻补角．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据邻补角的定义解答即可；（2）根据垂直定义可得∠AOM=90°，进而可得∠1+∠AOC=90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC=90°，从而可得ON⊥CD；（3）根据垂直定义和条件可得∠1=30°，∠BOC=120°，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数．【解答】解：（1）∠AOC的邻补角为∠AOD（或∠COB）故答案为：∠AOD；（2）结论：ON⊥CD，理由如下：证明：∵OM⊥AB，∴∠1+∠AOC=90°，又∵∠1=∠2，∴∠NOC=∠2+∠AOC=90°，∴ON⊥CD；（3）∵∠1=∠BOC，∴∠BOC=4∠1，∵∠BOC﹣∠1=∠MOB=90°，∴∠1=30°，∴∠MOD=180°﹣∠1=150°．■【变式6】如图，点O为直线AB上一点，OE平分∠DOE,OA平分∠COF,若∠AOE=120°，指出图中互相垂直的直线，并说明理由.【考点】角平分线的定义，垂直的定义；【分析】先计算出所有角度数，再根据垂线的判定判断即可.【解答】OE⊥OF,OC⊥OD,理由如下：∵∠BOC=150°∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣150°=30°∵OA平分∠COF，∴∠FOA=∠AOC=30°，∴∠FOE=∠AOE﹣∠FOA=120°﹣30°=90°，∴OE⊥OF，∵∠AOE=120°，∴∠BOE=180°﹣∠AOE=180°﹣120°=60°∵OB平分∠DOE，∴∠BOD=∠BOE=60°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=150°﹣60°=90°，∴OC⊥OD.复复习专题突破练基础练基础练（2021秋•瓦房店市期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE，∠AOD=140°．则∠BOE的度数为（）A．120°B．110°C．100°D．80°【答案】C【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【分析】根据邻补角的定义求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOC，然后根据对顶角相等解答．【解答】解：∵∠AOD=140°，∴∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣140°=40°，∵OC平分∠AOE，∴∠EOC=∠AOC=40°，∵∠BOC=∠AOD=140°，∴∠BOE=∠BOC﹣∠EOC=140°﹣40°=100°．2、（2021秋•新昌县期末）如图，点O在直线BD上，已知∠1=20°，OC⊥OA，则∠BOC的度数为（）A．20°B．70°C．80°D．90°【答案】B【考点】垂线．【分析】由垂直的定义可知∠AOC=90°，再余角的定义可得∠BOC的度数．【解答】解：∵OC⊥OA，∴∠AOC=90°，∵∠1=20°，∴∠BOC=90°﹣∠1=90°﹣20°=70°．故选：B．3、（2021秋•金华期末）如图，三条直线a、b、c相交于一点，则∠1+∠2+∠3=（）A．360°B．180°C．120°D．90°【答案】B【考点】对顶角、邻补角．【分析】利用对顶角相等，可知∠1+∠2+∠3的和是360°的一半．【解答】解：因为对顶角相等，所以∠1+∠2+∠3=×360°=180°．故选：B．4、（2021秋•余姚市期末）如图，直线DE与BC相交于点O，∠COE与∠AOE互余，∠BOD=35°，则∠AOE的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°【答案】A【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．【分析】根据对顶角的定义，得∠BOD=∠COE=35°．根据互余的定义，得∠AOE=90°﹣∠COE=55°．【解答】解：∵∠BOD和∠COE是对顶角，∴∠BOD=∠COE=35°．∵∠COE+∠AOE=90°，∴∠AOE=90°-∠COE=90°﹣35°=55°．故选：A．5、（2021秋•封丘县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，若∠2=40°，则∠1﹣∠3的度数为（）A．30°B．25°C．20°D．10°【答案】D【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】根据题意EO⊥AB，可得∠AOE=90°，即∠1+∠2=90°，根据已知条件可得∠1=90°﹣∠2的度数，根据对顶角的性质∠2=∠3，代入计算即可得出答案．【解答】解：∵EO⊥AB，∴∠AOE=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=90°-∠2=90°﹣40°=50°，∵∠2=∠3=40°，∴∠1﹣∠3=50°-40°=10°．故选：D．6、（2021秋•无锡期末）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，∠AOC=28°24′，则∠COE=，图中与∠COE互补的角有．【答案】61°36′；∠EOD、∠BOF．【考点】垂线；度分秒的换算；余角和补角；对顶角、邻补角；【分析】根据垂线的定义可知∠AOE=90°，所以∠COE=90°-∠AOC=61°36′．根据补角的定义即可求出答案．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠COE=90°-∠AOC=61°36′，∵∠COE+∠EOD=180°，∴∠COE与∠EOD是互为补角．∵OF⊥CD，∴∠EOB=∠FOD=90°，∴∠EOB+∠BOD=∠FOD+∠BOD，∴∠EOD=∠BOF，∴∠COE与∠BOF是互为补角．故答案为：61°36′；∠EOD、∠BOF．7、（2022•西城区校级开学）已知：如图，三条直线AB，CD，EF相交于O，且CO⊥EF，∠AOE=70°，若OG平分∠BOF，求∠DOG．【答案】见试题解答内容【考点】垂线；角平分线的定义．【分析】直接利用垂直的定义得出∠AOC=∠BOD的度数，再利用角平分线的定义得出答案．【解答】解：∵CD⊥EF，∴∠COE=90°，∵∠AOE=70°，∴∠AOC=∠BOD=20°，∠BOF=70°，∵OG平分∠BOF，∴∠BOG=∠BOF=35°，∴∠DOG=∠DOB+∠BOG=55°．即∠DOG的度数为55°．8、（2021秋•商河县期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC=90°，OF平分∠AOE．若∠BOC=40°，求∠AOF的大小．（2）若∠COF=x°，求∠BOC的大小．【答案】（1）25°．（2）270°﹣2x°．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠AOD=∠BOC=40°，根据垂直的定义得到∠DOE=90°，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠DOE=∠COE=90°，根据角平分线的定义得到∠AOE=2∠EOF=180°﹣2x°，根据对顶角的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠AOD=∠BOC=40°，∵OE⊥OC于点O，∴∠DOE=90°，∴∠AOE=50°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠AOE=25°．∵OE⊥OC于点O，∴∠COE=∠DOE=90°，∵∠COF=x°，∴∠EOF=x°﹣90°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF=2x°﹣180°，∴∠AOD=90°﹣∠AOE=270°﹣2x°，∴∠BOC=∠AOD=270°﹣2x°．提升练提升练9、（2021秋•覃塘区期末）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠EOF=90°．对于下列结论：①∠BOC=2∠AOE；②OF平分∠BOD；③∠AOE是∠BOF的余角；④∠AOE是∠COE的补角．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；【分析】①根据角平分线的定义及对顶角的性质可判断；②根据余角的性质可判断；③根据余角的定义可判断；④根据补角的定义即可判断．【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，∴∠AOD=∠BOC，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD=2∠AOE=2∠DOE，∴∠BOC=2∠AOE，故①正确；∵∠EOF=90°，∴∠EOD+∠DOF=90°，∠AOE+∠BOF=90°，即∠AOE是∠BOF的余角，故③正确；∴∠FOD=∠BOF，∴OF平分∠BOD，故②正确；∵∠AOE=∠DOE，∠DOE+∠COE=180°，∴∠COE+∠AOE=180°，即∠AOE是∠COE的补角，故④正确，故选：D．10、（2021秋•瑶海区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC=48°，则∠AOG等于.【答案】B【考点】垂线；角平分线的定义．【分析】根据角平分线的定义表示出∠COE和∠AOG，然后根据∠AOG=∠EOG-∠AOE计算即可得解．【解答】解：∵∠BOC=48°，∴∠AOC=180°-48°=132°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOC=×132°＝66°，∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∴∠EOF=360﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF=360°﹣66°﹣48°﹣90°=156°∵OG平分∠EOF，∴∠EOG=∠FOG=∠EOF=×156°=78°，∴∠AOG=∠EOG﹣∠AOE=78°﹣66°=12°.故答案为：12．11、（2021春•仓山区期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（）OE，OF在同一直线上B．OE，OG在同一直线上OG⊥OFD．OE⊥OF【答案】D【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】根据角平分线的性质得到∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是补角，所以∠COE+∠COF=90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG=∠AOD，且∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOG=∠BOF，所以，OF与OG共线，所以，OE⊥OG，所以B，C均错误．【解答】解：∵∠AOC=∠BOD，∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOF=∠BOC，∵OG是∠AOD的平分线，∴∠AOG=∠DOG，∴∠COE+∠COF=∠AOFE+∠BOF=×180°=90°，∴∠EOG=∠FOE=90°，∴射线OE，OF互相垂直，故D正确；故A错误；射线OF，OG互相垂直；故C错误；故B错误．故选：D．12、（2021秋•义乌市期末）如图，已知OB是∠AOC内一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．若AO⊥BO，∠BOC=60°，求∠EOF的度数；试判断∠AOB=2∠EOF是否成立．并请说明理由．【答案】（1）45°；（2）成立，理由详见解答部分．【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算．【分析】（1）求出∠AOC，根据角平分线性质求出∠EOC=∠AOC=75°，∠FOC=∠BOC=30°，根据∠EOF=∠EOC-∠FOC代入求出即可；（2）根据角平分线性质求出∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，根据∠EOF=∠EOC﹣∠FOC代入求出即可．【解答】解：（1）∵AO⊥BO，∴∠AOB=90°，∵∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC=∠AOC=75°，∠FOC=∠BOC=30°，∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=75°﹣30°=45°；（2）成立，理由如下：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=（∠AOC-∠BOC）=∠AOB，即∠AOB=2∠EOF．BOE的大小；（2）过点O画直线MN⊥AB，若点F是直线MN上一点，且不与点O重合，试求∠EOF的大小．【答案】（1）60°．（2）∠EOF的大小为30°或150°．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】（1）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；（2）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON﹣∠BOD=150°．【解答】解：（1）∵∠BOD+∠BOC=180°，∠BOD：∠BOC=1：5，∴∠BOD=30°．∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠BOE=∠EOD﹣∠BOD=90°﹣30°=60°．（2）如图，当点F在直线CD的上方时，∵MN⊥AB，∴∠BOM=90°，∴∠EOF=∠BOM-∠BOE=90°-60°=30°．如图，当点F在直线CD的下方时，∵MN⊥AB，∴∠BON=90°，∴∠EOF=∠BON+∠BOE=90°+60°=150°．综上所述，∠EOF的大小为30°或150°．培优练培优练14、（2020秋•香坊区校级月考）已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD平分∠BOC，OE⊥OB于点O，若∠AOD=4∠BOC，则∠DOE=．【答案】110°或70°．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【解答】解：①当E在OB的左侧时，如下图，设∠COD=α，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD=α，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2α，∵∠AOD=4∠BOC，∴∠AOD=8α，∵∠AOD+∠COD=180°，∴8α+α=180°，∴α=20°，∴∠BOD=20°，∵OE⊥OB，∴∠BOE=90°，∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=110°，②当E在OB的右侧时，如下图，设∠COD=α，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD=∠COD=α，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2α，∵∠AOD=4∠BOC，∴∠AOD=8α，∵∠AOD+∠COD=180°，∴8α+α=180°，∴α=20°，∴∠BOD=20°，∵OE⊥OB，∴∠BOE=90°，∴∠DOE=∠BOE-∠BOD=70°．故答案为：110°或70°．15