重难点突破：专题07 实数（解析版）

专题07实数重点无理数的概念；实数的概念及分类；实数的运算难点实数与数轴上的点一一对应关系易错对实数与数轴上点的关系理解不透一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．【例1】在、、、、0.030030003…、3.1415926…、中，无理数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．解答：解：无理数有、−π、0.030030003…、3.1415926…、共4个，故选：D．【例2】在实数，，0.1010010001…，，中无理数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数有0.1010010001…，，，共3个．故选：B．二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例3】下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误；故选：D．【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣不仅是有理数，而且是分数；④是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【解析】解：①没有最小的整数，所以原说法错误；②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；③﹣是无理数，所以原说法错误；④是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误；⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．三、实数与数轴两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例5】如图，点A，B，C在数轴上，且点A是BC的中点．点A，B表示的数分别为-1，，则点C表示的数为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：设点C所表示的数为x，根据题意，得，∴，∴点C表示的数为.故选：D.【例6】如图，根据图中标注在点A所表示的数为（

）A．﹣ B．﹣1﹣ C．﹣1＋ D．1﹣【答案】B【解析】解：如图，在Rt△PBQ中，由勾股定理得，，而PA=PQ=，∴点A到原点的距离为+1，∴点A所表示的数为-（+1）=-1-，故选：B．四、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a的相反数是-a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例7】实数-2022是2022的（

）A．绝对值 B．相反数 C．倒数 D．以上都不正确【答案】B【解析】解：由题意得：-2022是2022的相反数，故选B．【例8】的相反数、倒数、绝对值各是（

）A．5，，5 B．5，，5 C．，，5 D．，，【答案】B【解析】解：-5的相反数是5，-5的倒数是，-5的绝对值是5，故选：B．五、实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例9】的值为()A． B． C． D．【答案】A【解析】原式；故答案为：A.【例10】下列算式中：①；②；③；④；⑤；⑥；计算结果是正数的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】解：①=，是正数；②=-1，是负数；③=46.5，是正数；④=，是正数；⑤=-24+30-16+39=29，是正数；⑥===-9，是负数；综上所述，这6个式子中计算结果是正数的有4个.故应选C.一、单选题1．在实数中，最小的实数是（）A．﹣2 B．﹣π C．0 D．【答案】B【解析】解：，，，，在实数，，，中，，最小的实数是：．故选：B．2．估计的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【答案】B【解析】解：∵9＜14＜16，∴,∴，故选：B．3．下列各数中，是无理数的是（）A．0.4587 B．﹣π C． D．18【答案】B【解析】解：A、0.4587是小数，属于有理数，故此选项不符合题意；B、-π是无理数，故此选项符合题意；C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；D、18是整数，属于有理数，故此选项不符合题意．故选：B．4．实数的整数部分是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】解：，，，的整数部分是6，故选：C．5．实数a在数轴上的对应点位置如图所示，若实数b满足：|b|＜a，则b的值可以是（

）A．－3 B．－2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：由数轴可得：2＜a＜3，∵|b|＜a，∴b的值可以是：-2．故选：B．6．下列说法正确的是（）A．不带根号的数都是有理数 B．两个无理数的和还是无理数C．平方根等于本身的数是0 D．立方根等于本身的数是0【答案】C【解析】解：∵π不带根号，但π是无理数，∴不带根号的数都是有理数的说法错误，∴A选项不正确；∵+(−)=0，∴两个无理数的和还是无理数的说法错误，∴B选项不正确；∵0的平方根等于0，∴平方根等于本身的数是0的说法正确，∴C选项正确；∵1的立方根等于1，-1的立方根等于-1，∴立方根等于本身的数是0或1或-1，∴D选项说法不正确．综上，说法正确的是：平方根等于本身的数是0，故选：C．二、填空题7．请写出一个大于且小于的整数______．【答案】2（或3）【解析】解：因为1＜＜2，3＜＜4，所以大于且小于的整数有2，3．故答案为：2（或3）．8．的相反数是__________，____________【答案】

【解析】解：的相反数是，，，，故答案为：，．三、解答题9．计算：(1)；(2)．【答案】(1)15(2)3【解析】(1)；(2)．10．（1）在数轴上表示下列各数：，0，，，（2）并将原数按从小到大的顺序用“<”连接起来．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）如图所示，（2）由（1）得．一、单选题1．下列实数中，最小的数是（）A．﹣2 B．π C．|﹣5| D．【答案】D【解析】∵|﹣5|=5，，∴＜﹣2＜π＜|﹣5|，故选D．2．下列比较两个数的大小正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A中两边平方7<，所以所以A错，B中π2<10，所以，即：所以B错，C中，所以所以C错，D中，所以D对.故选D.3．已知边长为的正方形面积为8，则下列关于的说法中，错误的是（）A．是无理数 B．是8的算术平方根C．满足不等式组 D．的值不能在数轴表示【答案】D【解析】解：根据题意，，则A.是无理数，故该选项正确，不符合题意；B.是8的算术平方根，故该选项正确，不符合题意；C.即，则满足不等式组，故该选项正确，不符合题意；D.的值能在数轴表示，故该选项不正确，符合题意；故选D4．“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b＝2a﹣b，那么－5△(1△3)的值等于（

）A．－9 B．－11 C．－15 D．－12【答案】A【解析】解：－5△(1△3)=－5△（2×1-3）=－5△-1=2×（-5）-（-1）=-10+1=-95．下列数：，，，中的绝对值最大的数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，，，∴的绝对值最大故选A．6．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片的长为，宽为）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为4）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】较大阴影的周长为：，较小阴影的周长为：，两块阴影部分的周长和为：=，故两块阴影部分的周长和为16．故选B．二、填空题7．计算：-|3-π|-＝___．【答案】-π【解析】解：-|3-π|-=-(π-3)-3=-π+3-3=-π．故答案为：-π．8．比较大小：__________，__________【答案】

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＞【解析】(1)∵，∴＞0,∴，故填＞；(2)∵，，9＞8，∴，故填＞.三、解答题9．计算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)1【解析】(1)解：原式＝1＋4－2＝3；(2)解：原式＝＝－2＋3＝1．10．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?下面是小超的探究过程，请补充完整：(1)求；①由，，可以确定是___________位数；②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________；③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________．(2)已知185193也是一个整数的立