微积分（第三版）课件：不定积分

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分

一、原函数与不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质第一节不定积分的概念与性质第一节不定积分的概念与性质

问题导言：在运动学中,已知路程函数

,则在时刻t的瞬时速度

.此类问题称为微分学问题.与其相反,已知速度函数

,则确定时刻t的路程,也即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数.此类问题称为积分学问题.微分问题积分问题（导函数）（原函数）

定义设f(x)定义在区间I内，如果对任意的都有

或

则称F(x)为

f(x)在该区间上的一个原函数.一、原函数与不定积分的概念

因为

所以

,,,都是的原函数.

例因为

,所以

是在上的原函数.1.原函数的概念

问题：一个函数的原函数有多少个？这些原函数之间有何关系？

第一，若F(x)为f(x)在该区间I上的一个原函数.即对任意的都有

.而所以F(x)+C为

f(x)在该区间上的一个原函数.结论：一个函数的原函数如果存在则有无穷多个.

第二，设,是f(x)在区间I上的任意两个原函数.即即G(x)=F(x)＋C0

(

C0为某常数).所以有G(x)－F(x)=C0

，于是

结论：若函数

f(x)

在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数之间只差一个常数.

定理若函数

f(x)

在区间I上存在原函数F(x)，则

为f(x)

在区间I上的全部元原函数，其中C为任意常数。由导数公式可得一些简单函数的原函数，见下表原函数函数原函数函数

定义设函数

f(x)在区间I有定义，F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数

，则称f(x)原函数的一般表达式F(x)＋C(C为任意常数)为f(x)在区间I上的不定积分.记作2.不定积分的概念其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.不定积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：或或

对于积分曲线族中的每一条积分曲线，在曲线上横坐标相同的点x处的切线斜率都等于f(x)。

例设曲线通过点（1,2），且在任一点(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线方程.

解设所求曲线方程为.按题意在任一点（x,y)处的切线斜率为即2x的原函数为因为曲线过点（1，2），故代入上得于是所求曲线方程为二、基本积分公式三、不定积分的性质

性质被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.即

性质两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即不定积分的上述性质也可以写成

利用此性质和不定积分基本公式，就可以直接求一些简单函数的不定积分.例求解利用定积分性质与基本积分公式求积分例求解

在求简单函数的积分时,通常要利用定积分性质将所求积分化成基本积分公式形式再求积分.这种方法称为直接积分法.练习：求积分例求不定积分解

对由分式或根式表示的幂形式被积函数，应先化简再积分.解例求不定积分练习：求积分例求不定积分解例求不定积分解例求不定积分解例求不定积分解例求不定积分解

求积分时通常要利用恒等式变形将被积函数化为积分表中的形式，然后求积分.练习：求积分

例某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的边际成本C的是日产量q的函数,已知固定成本为1000元,求总成本与日产量的函数关系解因为总成本是边际成本的原函数，所以有（K为任意实数）

已知固定成本为1000元，即，因此代入上式有所以不定积分一、第一换元积分法二、第二换元积分法第二节换元积分法第二节换元积分法一、第一换元积分法引例

分析由于被积函数为复合函数，根据复合函数的特征，不妨设则于是积分为

验证因为,所以上述积分正确.即一般而言，对于不定积分有定理证由复合函数微分法则所以定理结论也可以写成此式称为第一换元积分公式.第一换元法应用的基本过程还原④积分③换元②凑微分①凑微分换元成新变量求原函数还原成原变量

解决问题的特征：凑微分法主要解决复合函数与中间变量导函数乘积的积分.

在凑微分—换元—积分—还原的解题过程中,关键是凑微分,它是换元的前提.只有在被积函数的被积表达式中凑出,这样才能通过换元

,以u为积分变量作积分,即所求积分化为从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.例求积分解因为凑微分换元求积分还原例求积分解因为

对于凑微分法较熟悉后，可略去中间的换元步骤直接凑微分，将看作一个变量，然后求出积分.即例求积分解

例

求积分解

例求积分解

用凑微分法求积分时，必须要熟悉一些常见的凑微分公式，下面列出一些常见的凑微分形式.练习：求积分积分表达式凑微分形式例求积分解练习：求积分例求积分；解下面再推出一些常用的积分公式

公式想到公式例求积分解想到公式

公式例求积分解例求积分；类似地，有解例求积分解类似地，有补充积分公式

用凑微分法计算积分时，由于选择不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.例求积分解

下面给出不同的求解方法例求积分解例求解下面介绍一些三角函数的积分例求积分解

例求积分解二、第二换元积分法

分析由于被积函数为无理函数,不便于求积分,因此应消去根式,也即使被开方式为平方式.引例求不定积分

考虑到三角函数中的平方公式,也即或又不妨作变换则被开方式可以化为平方式,进而消去根式.(1)作变换令则且(2)求积分求积分步骤：因为(3)还原变量验证

定理设函数f(x)连续,为单调可导函数其反函数为且,若是函数的一个原函数,则这就说明了是的f(x)原函数.证由复合函数的求导法则及反函数求导公式,有第二换元法应用的基本过程积分换元①换元成新变量求原函数

还原成原变量

解决问题的特征：第二换元积分法主要解决被积函数为等无理函数的积分问题.②还原③解(1)

令即则例求积分(1)(2)(2)例

求积分解例求积分解axt例求积分解axt第二换元法常用的变换形式

一、分部积分公式二、分部积分法举例第三节分部积分法第三节分部积分法

对于乘积函数的导数，有乘积求导法则．相应地,在积分法中也有与乘积求导法则相对应的分部积分法，分部积分法也是一种重要的积分方法．

由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得此式称为分部积分公式

.定理设函数u=u(x)与v=v(x)在区间上有连续导数,有不定积分分部积分公式或

分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求的积分,当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用．分部积分法应用的基本过程凑微分用公式

使用分部积分公式关键在于恰当的选择和u.

和u的选择要体现化难为易的原则.例求积分解显然，积分比原积分复杂.说明：使用分部积分公式的关键在于恰当的选择和u.选择时要考虑转换后的积分简单易求.例求积分解熟练之后可以不再写出u和直接应用分部积分公式.例求积分解(继续使用分部积分公式)例

求积分解例求积分解积分类型函数u微