微积分（第三版）课件：定积分

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分定积分第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的计算第四节反常积分第五节定积分的应用定积分一、两个典型实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质第一节定积分概念与性质第一节定积分概念与性质

导言：定积分的历史源远流长，部分内容可以追溯到古代的面积、体积和弧长等量的计算上.古希腊数学家阿基米德的穷竭法，中国古代数学刘徽的割圆术都渗透着积分思想方法.

十七世纪牛顿、莱布尼茨等数学家对积分问题进行了完善形成了近代的定积分概念.1.面积问题

平面图形的面积问题是最古老的数学问题，人类对于平面图形面积的确定经历了从直边形到曲边形的发展过程.

平面曲边图形面积解决的最典型的古老方法是古希腊数学家阿基米德提出的穷竭法.一、两个典型实例阿基米德的穷竭法xoy1思想方法：问题:曲边三角形面积（如图）1.划分:分割整体为局部；2.近似:局部近似，以直代曲；3.积累:局部积累，整体近似；4.逼近:极限逼近，实现近似与精确的转化.辩证思想曲边梯形的面积

曲边梯形设函数f(x)在区间[a,b]上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.oxyoxyoxyxoy一般图形可以化为曲边梯形

问题求由x=a,x=b,y=0与y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.曲边梯形面积的求解方法整体分割——将曲边梯形分割成部分小曲边梯形；局部近似——小曲边梯形面积由小矩形面积代替；求和积累——曲边梯形面积由小矩形面积和近似；无限逼近——由极限实现近似于精确的转化.xyo曲边梯形面积的求解过程(1)分割（分割整体曲边梯形为部分小的曲边梯形）过每个分点xi作y轴的平行线,将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.小区间长度记为

把区间[a,b]分成n个小区间取分点yxo(2)近似(以小矩形面积近似代替小曲边梯形面积)xyo(3)求和(小曲边梯形面积求和)将小矩形面积求和，可得曲边梯形的近似值(4)取极限（取极限实现由近似转化为精确）xyo2.变速直线运动的路程解

(1)分割（分割时间区间）问题：TOS始点终点...(2)近似（用匀速运动近似代替变速运动）(3)求和（将小区间移动路程求和）(4)取极限（取极限实现由近似转化为精确）

两类问题的比较概括整体分割，局部代替（以直代曲，以匀代变），求和近似，无限逼近（由近似转化为精确）.结论：特定形式乘积和的极限抽象概括结论1.分割2.近似3.积累4.逼近1.分割2.近似3.积累4.逼近思想方法变速直线运动路程曲边梯形面积二、定积分的概念定义其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x

称为积分变量，a为积分下限，b为积分上限，[a,b]为积分区间.积分和被积函数积分变量积分限积分号

如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值.定积分值与区间分法和取点无关，只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关.(2)定积分与积分变量的记法无关.即有(3)规定

定积分概念的说明

三、定积分的几何意义

如果,则几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.

如果,则在几何上表示曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形面积相反数.xyoyxo

如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.定积分的存在定理定理定理xyo解由定积分的定义例

证明定积分（k为常数）abkyx例利用定积分的几何意义求定积分解上半圆的面积（如图），从几何意义上看，该定积分为以R为半径的xyo性质1设函数f(x),g(x)在[a,b]上可积.

性质2性质3性质4四、定积分的性质

性质

(估值定理)证明

性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点

,使得证明

设f(x)在[a,b]上最大值为M、最小值为m,则有

函数的均值：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则为函数f(x)在[a,b]上的平均值.中值定理的几何意义ξyy=f(x)xoab

矩形面积曲边梯形形面积例估计定积分的值．解先求在[-1,1]上的最大值和最小值比较在驻点及区间端点处的函数值因为令，得驻点故最大值

，最小值．由估值性质得定积分一、原函数存在定理二、微积分基本公式第二节微积分基本公式称为变上限的积分.一、原函数存在定理oxyaxby=f(x)第二节微积分基本公式定理（微积分基本定理）证明

考虑函数改变量由积分中值定理有

结论：变上限函数对积分上限x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).对应变上限积分函数还有变下限积分函数对于变上（下）限积分函数也可以进行函数的复合，由变上限积分函数导数与复合函数求导法则有结论：

若函数可微，函数连续，则例求下列函数的导数解由变上限积分知例求下列极限解由洛必达法则，得二、微积分基本公式变速直线运动的路程问题

设物体作变速直线运动其路程函数为s=s(t),速度函数为v=v(t).则在时间间隔内有上述等式对一般函数是否成立？即推测下述结论.定理(微积分基本公式)证明即(牛顿-莱布尼茨公式)即

牛顿—莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法.即若求定积分的值,只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与原函数之间的内在联系.在理论上把微分学与积分学沟通了起来.所以微积分基本公式是整个微积分中最重要的公式.基本公式应用形式例求下列定积分解由微积分基本公式

在利用微积分基本公式求积分时，经常要对被积函数进行恒等变形，然后利用定积分性质计算积分.例求下列定积分解将被积函数变形，再由微积分基本公式得解

把被积函数化简.例

计算例设，求定积分解

一、定积分的换元积分法二、定积分的分部积分法第三节定积分的计算

定理设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足下列条件：(2)当t在α与β之间变化时，单调变化且连续，则

上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积．应用中须注意：换元要换限，（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.第三节定积分的计算一、定积分的换元积分法例

求积分解例求积分解说明：在不进行代换的前提下，可以利用凑微分法直接求定积分.即先对所求的积分凑微分，不引入新的变量直接求出原函数，再用微积分基本公式求定积分.（凑微分）（基本公式）例求积分解解例求积分解例求积分令有例

证明结论：证明

由定积分性质知所以

该例表明连续偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，利用该性质，可以简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.则则例求积分解

例若函数f(x)在[0,1]连续，证明证明所以特别地定理设函数u=u(x)与v=v(x)在区间上有连续导数,则有定积分分部积分公式

分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求的积分,当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用．或二、定积分的分部积分法定积分分部积分法应用的基本过程

使用分部积分公式关键在于恰当的选择和u.

和u的选择要体现化难为易的原则.凑微分用公式例求积分解例求积分解例求定积分解因此由此可得统一起来就是例如定积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分第四节反常积分三、函数第四节反常积分

导言：定积分的积分区间是有限区间，被积函数为有界函数，但在实际问题中，往往需要突破这两个限制，来考察无穷区间上的积分或无界函数的积分，从而形成了反常积分的概念.相应地，前面所讨论的定积分也叫做常义积分.

本节主要讨论两类积分问题：（1）无限区间上的积分问题；（2）无界函数的积分问题.一、无穷限的反常积分引例

解考虑曲线与直线x=b及x轴所围成图形的面积则所求图形的面积为bxyO

定义设函数f(x)在区间上连续,取b>a

称极限为函数f(x)在无穷区间上的反常积分，记作,即若极限存在，则称反常积分收敛；若极限不存在，则称反常积分发散.无穷区间上的反常积分定义为类似地，无穷区间上的反常积分定义为上述三种积分统称为无穷限的反常积分.(c

为任意定常数)例讨论下列无穷限积分的敛散性：解

同定积分类似，无穷限反常积分也有类似于定积分的微积分基本公式、线性运算法则、换元积分法与分部积分法等,但要注意每一步运算过程必须是收敛的.引入记号则有计算表达式:例求积分解例求积分解在此解例讨论下列无穷限积分的敛散性：例证明

引例求曲线与

x轴,y

轴和直线x=1所围成图形的面积.二、无界函数的反常积分解因为函数在（0,1]上无界，此时，所求面积可以定义为

定义设函数f(x)在(a,b]上连续，且取，称极限为f(x)在(a,b]上的无界函数的反常积分，记为若极限存在，则称反常积分收敛.若极限不存在，就称反常积分发散.

若函数f(x)在[a,b)上连续，且则反常积分定义为当极限存在称其收敛，否则发散.此时，如果上式右端反常积分都收敛，则称反常积分收敛,否则称反常积分发散.

上述三种积分统称为无界函数的反常积分.无界函数的反常积分也称为瑕积分，相应的无穷间断点称为瑕点.

若函数f(x)在[a,b]上除点x=c∈(a,b)外都连续,且，则反常积分定义为例

计算反常积分解

显然瑕点为

a,所以

说明：由于无界函数的反常积分其形式与定积分一致，因此，在求积分时首先要区分是定积分还是无界函数的反常积分.例求积分解因为x=0为被积函数的瑕点，所以注：在上式中，由洛必达法则有例

讨论瑕积分的收敛性.解在[0,2]

内部有被积函数的瑕点x=1，取所以，瑕积分发散.（瑕点在区间的端点处）（该极限不存在）（瑕积分定义）例解三、函数性质证明由分部积分公式可得

一、定积分的几何应用二、定积分在经济学中的应用第五节定积分的应用第五节定积分的应用回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法xyo

定积分概念源于几何问题，利用定积分可以求解常见的几何量：面积、体积和弧长.(1)分割化整为零(2)近似以常代变(3)求和积零为整(4)极限无限累加(1)分割分割S为n个部分量的和(2)近似(3)求和(4)取极限求积过程的简化——微元法(1)求微元取任意子区间,部分量的近似值为称其为微元.记为(2)求积分将微分元素在区间[a,b]上积分得整体量值为求积分过程微元法这两步是关键1.定积分应用的微元法(1)求微元取区间[a,b]的任意子区间,落在该小区间上的部分量的近似值为称其为微分元素(简称微元).记为(2)求积分将微分元素在区间[a,b]上积分得整体量值为

问题：求分布在区间[a,b]上具有可加性（可以表示成部分量的和）非均匀整体量S的值.上述方法称为定积分应用的微元法.可用定积分来表示的非均匀整体量S的特征：2.平面图形的面积利用定积分的微元法aoyx+dxxby=f(x)y=g(x)xcoyy+dyydx例解xOy（1，1）（-2，-2）

例求抛物线与直线所围成图形的面积.解解方程组得交点(1,1)及(-2,-2)；取x为积分变量，变化范围为[-2，1]，于是所求图形面积为

例求抛物线与所围成图形的面积.解解方程组得交点(1,1)；（1）取x为积分变量（2）取y为积分变量xOy123.用定积分求几何体的体积