2023年中考数学一轮复习专项训练 定弦定角(解析版)

专题04定弦定角（专项训练）

1.（2021秋•如皋市期中）如图，△ABC为等边三角形，AB=3.若P为AABC

内一动点，且满足NB43=NACP,则线段P8长度的最小值为（）

【答案】B

【解答】解：•••△ABC是等边三角形，

AZABC=ZBAC=60°,AC=AB=3,

"：ZPAB=ZACP,

：.ZPAC+ZACP=6^,

/.Z/1PC=120°,

.•.点P的运动轨迹是M，

设立所在圆的圆心为O,当。、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于

D,如图所示：

此时出=PC,OBLAC,

则A£>=CD=UC=J_,N巩C=NACP=30°,ZABD=1ZABC=3O°,

222

:.PD=®,BD=.3&,

22

:.PB=BD-/>£)=373__V3_=^3

22

故选:B.

2.（2021秋•宜兴市期末）如图，在△ABC中，ZABC=90°,BC=4,AB=8,

P为AC边上的一个动点，。为尸8上的一个动点，连接AO,当NCBP=N

84。时，线段CO的最小值是(：)

二

BC

A.V2B.2c.2V2-ID.4V2-4

【答案】D

【解答】解：•.•NABC=90°,

ZABP+ZCBP=90°,

■:/CBP=/BAD,

：.ZABD+ZBAD=90°,

二ZADB=90°,

取AB的中点E,连接。E,CE,

：.DE=1AB=4,

2

OC=®OB=4

,:CD》CE-DE,

...CD的最小值为4&-4,

故选：D.

3.（2021秋•潜山市期末）如图，在矩形ABC。中，AB=S,BC=6,点P在矩

形的内部，连接出，PB,PC,若NPBC=N/^B,则PC的最小值是（）

A.6B.V73-3C.2A/13-4D.4^13-4

【答案】C

【解答】解：•••四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

,：APBC=ZPAB,

%B+/P8A=90°,

/.ZAPB=90°,

...点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O,连接OC交。。于P,此时

PC最小，

•*oc='\lQ^2+B，c2=yJ42+62=2，/13，

...PC的最小值为2岳-4,

故选：C.

4.（2022•巢湖市二模）如图，在矩形A8CD中，AD=5,A8=3«,点E在

AB上，四_=」，在矩形内找一点P,使得N3PE=60°,则线段产。的最小

EB2

A.277-2B.2^/13-4C.4D.273

【答案】A

【解答】解：如图，在BE的上方，作△0E8,使得0E=08,NEOB=120°,

连接0D,过点。作OQLBE于Q,OJLAD于./.

NBPE=LNEOB,

2

...点尸的运动轨迹是以。为圆心，0E为半径的。。,

，当点P落在线段0。上时，。产的值最小，

•.•四边形A8CQ是矩形，

AZ/4=90°,

"：AB=3y/3,AE：EB=l：2,

:.BE=2M，

•：0E=0B,NEO8=120°,0Q1EB,

:.EQ=BQ=如,ZEOQ=ZBOQ=60°,

：.0Q=1,0E=2,

'：OJ±AD,OQLAB,

：.ZA=ZAJO=ZAQO=90°,

四边形AQ。/是矩形，

：.AJ=OQ=\,

J0=AQ=2M，

'：AD=5,

：.DJ=AD-AJ=4,

；.°。=VjD2OJ2=44二+(2%)2=2V7，

：.PD的最小值=。。-0P=2V7-2,

故选：A

5.（2021•广西模拟）如图，AC为边长为蓊的菱形A8CD的对角线，ZABC

=60°,点M,N分别从点B,C同时出发，以相同的速度沿BC,C4向终

点C和A运动，连接AM和求△APB面积的最大值是（）

C.1+73D.近

【答案】D

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形,

:.AB=CB=CD=AD,

VZABC=60°,

.•.△ABC是等边三角形，

/.ZACB=Z/1W=6O0,

•••点M,N分别从点8,C同时出发，以相同的速度沿8C,C4向终点C和A

运动，

：.BM=CN,

在△ABM和△以"中，

，BA=BC

,NABM=NBCN，

BM=CN

:AABM44BCN(SAS),

•\ZBAM=/CBN,

:.NABP+NCBN=60°,

：.ZABP+ZBAM=60°,

，NAPB=180°-60°=120°,

.•.点尸在弧AB上运动，

，当位=奇时，△■R48的面积最大，最大值=_1X2FX1=JE，

2

故选：D.

D

6.如图，在△ABC中，BC=6,ZBAC=45°,则△ABC面积的最大值为

［答案］9+9^2

【解答】解：如图，作△A3C的外接圆。0,连接。8、0C,过点。作

BC于H,

则BH=HC,

由圆周角定理得：ZBOC=2ZA=90a,

：.0B=OC=®BC=3OH=1BC=3,

22

当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，

由题意可知，边上的高的最大值为：3+3&,

...△A8C面积的最大值为：1X6X(3+3&)=9+9&,

2

故答案为：9+9底.

7.（2022秋•定海区期中）如图，2XABC中，AC=3,BC=4近,ZACB=45°,

。为△ABC内一动点，©0为△ACO的外接圆，直线8。交。。于尸点，交

BC于E点,定=容，则AO的最小值为

【解答】解：:金=百,

:.ZACB=ZCDP.

VZACB=45°,

/.ZCDP=45°,

/.ZBDC=180°-45°=135°,

...点。在以BC为弦，ZBDC=135°的圆弧上运动，

如图，设。点运动的圆弧圆心为M,取优弧上一点M

：.ZBMC=9Q°,

"：BM=CM,

.••△BMC为等腰直角三角形，

ZMCB=45°,MC=^-BC=4,

2

VZACB=45°,

/.ZACM=90°,

AM=VAC2+MC2=V32+42=5)

.,.当A、D、M三点共线时，AO最小,

此时，AD=AM-MD=5-4=1.

故答案为：1.

8.（2021•柳南区校级模拟）如图，在边长为代的等边△A8C中，动点。，E

分别在BC,AC边上，且保持AE=CZ）,连接BE,AD,相交于点P,则CP

的最小值为.

【解答】解：•••CD=AE,

：.BD=CE,

在△AB。和△BCE中，

'AB=BC

-ZABD=ZBCE>

BD=CE

A(SAS),

故NBAD=NCBE,

VZAPE=ZABE+ZBAD,NAPE=/BPD,/ABE+NCBE=60°,

ZBPD=ZAPE=ZABC=60°,

AZAPB=\20°,

.••点P的运动轨迹是第，ZAOB=\2Q°,连接CO,

'：OA=OB,CA=CB,OC=OC,

：.AAOC^/\BOCCSSS),

；.NOAC=NOBC,/ACO=N8CO=30°,

VZAOB+ZACB=1SO°,

：.ZOAC+ZOBC=ISO°,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

，OC=-s30°=2,OA=1.OC=1,

2

:.0P=1,

,:PC20C-OP,

：.PC?1,

...PC的最小值为1.

9.(2021秋•灌南县校级月考)我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明

没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：

下面让我们一起尝试去解决：

动点，且满足NB48=NP3C,则线段CP长的最小值为.

(2)如图，在正方形A8CD中，动点E、尸分别从。、。两点同时出发，以

相同的速度在边。C、上移动，连接AE和。尸交于点P,由于点E、尸的

移动，使得点P也随之运动.若AO=2,则线段CP的最小值是.

(3)如图，矩形ABC。中，AB=2,AD=3,点E、E分别为A。、0c边上

的点，且所=2,点G为麻的中点，点P为BC上一动点，则%+PG的最

小值为多少？

【解答】解：(1)如图1中，

o

图1

VZABC=90°,

AZABP+ZPBC=90°,

'：ZPAB=ZPBC,

，NBAP+NABP=90°,

AZAPB=90°,

.•.点P在以AB为直径的O。上，连接。。交。。于点P,此时PC最小,

在RtZ^BCO中，VZOBC=90°,BC=4,03=3,

OC=VOB2+BC2=V32+42=5-

：.PC=OC-OP=5-3=2.

最小值为2.

故答案为2；

(2)如图2中，

图2

•.•动点E,尸分别从£>,。两点同时出发，以相同的速度在边。C,C3上移动,

：.DE=CF,

在△4£)£：和△OC尸中，

'AD=CD

<ZADE=ZBCD=90°，

DE=CF

^ADE^/XDCF(SAS),

：./DAE=NCDF,

VZCDF+ZADF=ZADC=90°,

/.ZADF+ZDAE=90°,

AZAPD=90°,

取AZ）的中点。，连接OP,则。尸=工。=工乂2=1（不变），

22

根据两点之间线段最短得C、P、。三点共线时线段CP的值最小，

在RtZ\COD中，根据勾股定理得，00=也口2+0口2=62+]2=遥,

所以，CP=CO-OP=^-L

故答案为：^5~1；

（3）如图3中,

〃图3

•.•E尸=2,点G为E/7的中点，

：.DG=\,

•..G是以。为圆心，以1为半径的圆弧上的点，

作A关于8C的对称点A',连接A'D,交BC于P,交以。为圆心，以1

为半径的圆于G,

此时必+PG的值最小，最小值为A'G的长；

"：AB=2,AD=3,

.*.A4Z=4,

.'.A'D=5,

：.A'G=A'D-DG=5-1=4,

：.PA+PG的最小值为4,

10.如图，在Rt/XABC中，ZBAC=90°,BC=6,求A8+AC的最大值.

【解答】解：延长84到。，使AQ=AC,连接。C,作△8QC的外接圆00,

：.AB+AC=DB,

,：ZBAC=90°,

AZD=45°,

...当8。是。。直径时，8。取得最大值，

即AB+AC取得最大值，

当BO是。0直径，ZD=45°,

，△BCD是等腰直角三角形，

:.BD=®BC=6®,

...AB+AC的最大值为：672，

(1)如图①，点。是正方形A3CO的对称中心，点E,尸分别在AB,BC边

上，且NEO/=90°,连接BO,则线段BE,BF,BO之间满足的等量关系

为;

【问题探究】

(2)如图②，在△ABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在8C下方作等腰

RtABCD,其中NBOC=90°,连接AO,求AO的最大值；

【问题解决】

(3)如图③，某县政府为解决农业灌溉问题，加强农田水利“最后一公里”

建设，改善农田灌溉、生态治理等水利民生工作，计划给该县管辖下的村庄A,

B,C修建总扬水站。以及支渠AO,BD,CD,其中A8=AC=66，NBAC

=120°.为了灌溉更多的农田，需要三条支渠总长（4。+8。+。。）尽可能长.已

知预建的总扬水站。及支渠3D,CZ）满足NBDC=60°.你认为该县政府的

想法能否实现？若能，求出三条支渠总长的最大值；若不能，请说明理由.

图①图②图③

【解答】解：（1）如图1,

•••四边形A8CO是正方形，。是对称中心，

/.ZBOC=90°，OB=OC,/EBO=NFCO=45°，

,：ZEOF=90°，

：.ZEOF=ZBOC,

：./EOF-/BOF=ZBOC-/BOF,

:./BOE=NCOF,

:ABOEQACOF(ASA),

，BE=CF,

,:BC=®OB,

：.BF+CF=42OB,

：.BF+BE=®OB,

故答案为：BF+BE=yf2OB：

(2)如图2,

BC

E：/