数列（常规型）解析版-2023年高考数学一轮复习

专题2.3数列(常规型)

要点提示

1.等差(比)数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换；

2.数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

3.数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组

求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个

数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

4.一般地，如果数列｛斯｝是等差数列，｛5｝是等比数列,求数列｛斯•｝的前〃项和时,

可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列｛瓦｝的公比，然后作差求解，这也

是考查频率比较高的考查点.

实战演练

[(2023•陕西咸阳•校考模拟预测)已知数列｛册｝满足的+3a2+…+(2n一1)册=儿

(1)求的通项公式；

：，九为奇数,

⑵已知％=19%、、，数列｛〃｝的前20项和.

。九的1+2,几为偶数，

【解题思路】(1)根据的+3。2+…+(2九一=九得到的+3a2+…+(2n—3)a九_i=

n-l(n>2),然后两式相减得到册=圭(n22),最后验证几=1时是否成立，即可得到

(2)分奇偶项求和，奇数项用等差数列求和公式求和，偶数项用裂项相消的方法求和，最

后相加即可.

【解答过程】(1)当几=1时，可得的=1,

当ri>2时，%+3a2+—H(2n-l)an=n,

a1+3a2+…+(2n-3)an_i=n—l(n>2),

上述两式作差可得册=^(n>2),

因为%=1满足a九=),所以｛。九｝的通项公式为a九=

工，九为奇数

(2)

i，门为偶数

k(2n-l)(2n+3)

1+5+9+…+37(1+37)x10

所以Q,+C3+…+Q_9=10,

192X19

11/I1111\_10

c2+QH---HQo初+对+…+39X434\37十711十十39437—129

所以数列｛4｝的前20项和为詈.

2.(2023•宁夏银川•校考模拟预测)已知数列｛an｝的前几项和为无,设｛去｝是首项为1,公差

为1的等差数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)若勾记数列｛,｝的前几项的和取,证明：Tn<^.

anan+l2

【解题思路】(1)由题意首先求得数列的前〃项和配,然后由前〃项和与通项公式的关系即

可求得数列的通项公式；

(2)首先确定数列｛匕｝的通项公式，再利用裂项相消即可求出写，即可证明

【解答过程】(1)•••数列｛学｝是首项为1,公差为1的等差数列,

2

且=a1=1,=1+(n-1)x1=n,Sn=n,

22

当九>2时，an=Sn-Sn_i=n—(n—l)=2n—1.

9•ar=1符合a九=2n—1,

・・CL-ft=2Tl1.

(2)由(1)知'g=(Zn-Nn+l)=1-一七)

所以6=工(1—二+工一工+-----—)=-(1—-—)

712\3352n-l2n+172k2n+1722(2n+l)2

3.(2023•全国•模拟预测)已知数列｛5｝的前〃项和无=0，数列｛%｝为等差数列，满足b=1,

｛%｝的前9项和B=45.

(1)求数列｛5｝,｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛(24——的前n项和.

【解题思路】(1)由等差数列求和公式和等差数列的性质求数列｛%｝的通项公式，再由前”

项和与通项公式的关系数列｛厮｝的通项公式；

(2)由(1)+=—^―+—^―,利用裂项相消法求和.

anbnan+1bn2n(2n-l)2n(2n+l)

【解答过程】(1)由｛加｝是等差数列，丁9=，"=9既=45,解得d=5.

由&=1得公差d=无彳%=1，故力九=l+(n—l)xl=n.

故｛%J的前几项和匕=n2,

2

则的=Si=1,Sn_1=(n—l),n>2,

则册=Sn—Sn_r=2n—l(n>2),

经检验几=1时也满足上式，

故Q九=2n—1.

____।=।=।

anbnccn+1bnn(2n-l)n(2n+l)2n(2n-l)2n(2n+l)

_2_J__1\=_2____2

2n+2n2n+lJ2n-l2n+l

故数列bk+号加前n项和3

4.(2023・贵州毕节・统考二模)己知数列｛即｝的前几项和为％,且金=n+l(n6N*).

⑴求数列—的通项公式；

(2)求数列｛5•2叼的前〃项和加

【解题思路】(1)由%与a”的关系得出数列｛册｝的通项公式；

(2)由错位相减法得出前〃项和7；.

【解答过程】⑴由孩=几+1得Sn="+n,

当ri>2时-(n-I)2+(n—1),

%=Sn—S"T=2n>

当n=1时=S]=2,满足与=2n,

所以数列｛a—通项公式为即=2n(neN*)

(2)由a”-2a"=In-22n=In-4n,

23n

.'.Tn-2x4+4x4+6x4+...+2nx4

47^=2X42+4X43+6X44+...+2nx4n+1,两式错位相减得一36=2x4+2x42+

2x43+2x44+-+2x4n-2nx4n+1="。-内-2n-4n+1

1-4

所以给=(|n-34n(neN*).

5.（2023・辽宁抚顺・统考模拟预测）己知土是等差数列的前”项和，却是等比数列｛%｝的

前w项和，且&=0,&=1,S2+T2=S3+T3=S4+T4.

（1）求数列｛5｝和｛%｝的通项公式;

（2）设Q=i•£忆11。2J求数歹可公；｝的前"项和

【解题思路】⑴利用已知条件建立方程R2Jtr-n从而求得q=f-d=-l，

（白4—十（4一,3_U28

再利用等差数列、等比数列的通项公式可得；

（2）由｛即｝的通项公式，求出Cn=、XLi|a2nI=Jn，再根据裂项求和可得6.

718

S3-S2+T3—72=0

【解答过程】（1）因为S2+T2=S3+T3=S4+T4,所以

S4—S3+T4—T3=0

a即胃W因为q"解得q=”=.

Bnf3+b3=0

1

[a4+b4=0

所以an=-2一1),%：=(|).

(2)由⑴知|即|=2一1)

得%/a2nl=^[l+3+5+---+(2n-l)]="但詈3=*,

所以d=^Zn=ila2nl=|n.

1,1,,1I64乙1,11,

因此U二=&,所以％=詈乂---1-----F•••d----=——X(1---1------F•••+

.1x22x3n(n+l)J81\223

64n

卜土）81(n+l)

6.（2023•全国•模拟预测）已知数列｛5｝的前〃项和为%,且%=2,管=片言⑺eN*）.

（1）求数列｛5｝的通项公式;

⑵己知%=皆+言，求数列｛%｝的前"项和加

【解题思路】（1）解法一：鬻=2・詈结合等比数列的定义得出数列｛即｝的通项公式；解法

二：由累乘法得出数列｛%J的通项公式；

（2）由分组求和法结合等比求和公式求解即可.

【解答过程】（1）解法一：因为皿=迎趣，所以笔=吗.因为的=2,所以当neN*时,

annn+1n

幺K0,

n

又牛=2,所以数歹!|｛第是以2为首项，2为公比的等比数歹

所以中=2X271T=2n,所以与=n-2n.

解法二：因为%1=军竺0,所以当nN2时，%=2x2,包=2义三，

anna11a22

^=2x-,...,W=2x」-,

a33an_in-1

将以上各式累乘得皆=n-2n-1,所以册=n-2n.又％=2满足该式，所以G九=n-2n.

(2)由(1)知.=%+三=2九+±,

所以数列｛力九｝的前n项和此=2+1+22+盘■+2?+,T—+2n+,

=(,2+29+2Q+-+2)+6/I+^1+71+…+五1\)

n+1

=2x(12)=2n+i_2+]_2=2---1

1+21号—2"一2"

7.(2023•山东潍坊・统考一模)已知数列｛%J为等比数列，其前几项和为无,且满足%=2"+

m(mGR).

(1)求zn的值及数列｛&J的通项公式；

(2)设,=|log2an-5|,求数列｛%｝的前几项和

71-1n-1

【解题思路】(1)当几之2时，Sn_1=2+m,两式相减得&=2(n>2),由%=21+

m=1,可求出TH的值；

(2)由(1)知%=|n-6|,由绝对值的定义结合等差数列的前几项和公式即可求出数列｛砥｝

的前几项和

【解答过程】(1)因为匕=2n+m,所以几>2时，S域1=2"T+m,所以册=2n-\n>2).

1

又由数列｛册｝为等比数列，所以册二2"t.又因为的=S1=2+m=21T=1,所以血=

-1,

71

综上TH=-1,an=2T.

(2)由(1)知"l=|n-6],

-5+71-6lln-n2

当14几46时，T=xn=

n22

当n〉6时，Tn=T6+x(n-6)=15+(…黑瑜=Q-I：+60

rlln-n2《(

---,1<n<6

乙

所以Bn2-lln+60、,

--------,n>6

I2

8.(2023・吉林通化•校考一模)记立为公比不为1的等比数列｛斯｝的前几项和，a5-a4=

—8a2+8ai,=21.

(1)求｛a九｝的通项公式；

⑵设%=log2成，若由｛&J与｛既｝的公共项从小到大组成数歹U｛4｝,求数列｛%｝的前几项和

【解题思路】(1)设等比数列的公比为q(qW1),由的一。4=-8g+8%求出q，再由等

比数列求和公式求出的,即可得解；

(2)由(1)可得%=2(九一1),即可得到数列｛,｝的特征，令每＞0,求出九的取值，即

可得到｛%｝为以2为首项，4为公比的等比数列，再由等比数列求和公式计算可得.

【解答过程】(1)解：设等比数列的公比为q(qwl),

因为-%=—8。2+8a1，即gqS-dIQ3=—8(。2—。1)，BPq3=—8,所以q=-2,

又56==21,即生”答2=21,解得的=—1,

1-Q1一(一切

所以册=-lx(―2)“T=(-l)nx2“T.

a2(n-1：)

(2)解：由⑴可得bn=l°g2n=log2((—1)"x2"T)2=log22=2(n-1),

则数列｛%｝为0、2、4、6、……，偶数组成的数列，

又0n=(-1严X2"T,令册＞0,贝加为正偶数，

35n

所以R=2,c2=2,c3=2,...,cn=22t,

所以｛%｝为以2为首项，4为公比的等比数列，

2(l-4n)_2(4n-l)

所以61-4-3

9.(2023•内蒙古•校联考模拟预测)设数列｛an｝的前〃项和为%,且%=2,^=^+1.

an+lan

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)若加=求数列｛b｝的前n项和心.

【解题思路】(1)先根据—=为+1,可得数列是以;为公差的等差数列，从而可得

an+lan2

数列｛含｝的通项，再根据厮与无的关系结合构造法即可得解；

(2)先求出数列｛加｝的通项，再利用裂项相消法即可得解.

【解答过程】(1)因为空业=泡+1,

an+lan

所以且±1一名=工，

an+lan2

所以数列■p叶是以盘=1为首项，;为公差的等差数列，

lanJa12

所以£=等，贝5=等即，

当九之2时，Sn_!=^an.19

两式相减得an=等与-声…，即蕖=会，

所以数歹U僵｝为常数列，且卑=:=2,

所以册=2n；

(2)由(1)得S九=—^―CLn=Tl(jl+1),

所以％弋=看11

nn+lf

1.11..11n

所以6=+---1------------1-•••-|--------------=---------

11-334nn+1n+1n+1

10.(2023•甘肃兰州•校考模拟预测)在数列｛0｝中，的=l，an+1+2anan+1-an=0,n&N*.

(1)求证：｛2｝是等差数列，并求数列｛即｝的通项公式.

(2)设篇=an-an+1,求数列｛%｝的前w项的和%.

【解题思路】(1)根据递推关系式，由等差数列的定义、通项公式求解即可；

(2)根据裂项相消法求和即可得解.

a

【解答过程】(1)因为的=三,n+i+2anan+i—an=0,所以为中0,

否则与的=；矛盾，故--三=2,

3an+ian

又工=3,.♦.数列(2)是以3为首项，2为公差的等差数列，

所以工=3+2(n-1)=2n+1,

Qn

因此即=票？

(2)由(1)知，6n=厮・厮+1=(2n+i；(2n+3)=♦*一七)

.c_1Ai,i1..11A_iAi\_1i

••3力——I——十一—十,♦•十I——I—I——.

712\35572n+l2n+3/2\32n+3764n+6

11.(2023.福建厦门•校考模拟预测)设数列5｝的前"项和为无.已知的=1,2nan-2Sn=

n2—n,neN*.

(1)求证：数列｛an｝是等差数列;

(2)设数列｛%｝的前〃项和为加且7；=2n-l,令％=普，求数列｛%｝的前〃项和

%

【解题思路】（1）应用册=S九-S九T，结合等差数列定义证明即可；

（2）先求等比数列的通项公式，再两次应用错位相减或裂项相消

2

【解答过程】（1）2nan—2Sn=n—九①，

2

当ri>2时，2（几—l）an-1-2s九t=（n—l）—（n—1）②，

2

①一②得：271azi-2（九—1）。九_1-2（S九—S九一J=71—（TL—1）2—H+（?1—1）,

即2（几—l）an—2（n—l）an-i=2（n—1）,

所以时—an,!=1,n>2且几eN*,

所以｛&J是以1为公差的等差数列.

（2）由（1）得，an=n.

当几=1时，九=7i=l；当几22时，g=〃一〃_1=2九—1；

又瓦=1满足上式，所以勾=2n~1（nEN*）.

“2

所以d=3，记数列｛%｝的前W项和为R”

方法一：（两次错位相减）

%=^+|l+|l+…+施'①

+f+|+-+J②

①一②得.n=/+/+襄+…+段-—恭③

rn>[1八1.352?1—32?1-1Tl2zjx

贝!J—R”=—H----1----1-•,•-------1-------------,

4九212223271T2n2n+1-

③一④得，九=1+1+]+蠢+…+^7一标一

2n-ln2cn2+4n+6

=1+21-------------J---------

2"2n+12n+1

所以R.=12-武篝

方法二：（裂项）

因为d=鉴n2+2n+3(n+l)2+2(n+l)+3

2n—2271T

12+2x1+323n2+2n+3(n+l)2+2(n+l)+3

所以以=2+2X2+32+2X3+3+•••+

2T2°212n—22n一1

(n+l)2+2(n+l)+3acn2+4n+6

=12-=12---

2n-1

12.（2023・全国•模拟预测）已知数列｛%J的前〃项和为%,%=1,0+与｝是公比为押

等比数列.

(1)证明：｛2%“｝为等差数列，并求的通项公式；

(2)求数列｛S"的前n项和却.

【解题思路】(1)根据等比数列的定义可得%+I+a“+i=21-",进而根据%,斯的关系可得

｛2"即｝为等差数列，进而可得通项，

(2)根据错位相减法或分组求和即可求解.

【解答过程】(1)由题可得Si+%=2%=2,

由｛Sn+是公比为(的等比数列知，

/I、71—1

Sn+an^2x(I)=22f①，

^n+1+an+l=21n②，

1-n

②一①得，2an+1—an=—2,

rln

等式两边同时乘以2可得2九十%九+1-2an=-2.

又2%i=2,・・・｛2气九｝是以2为首项，—2为公差的等差数列.

n1-n

2an=2-2(n-1)=4—2n,an=(2—n)-2.

2nrn

(2)通解VSn+an=2-,an=(2-n)-2-,

,C—71

・2九一亦7'

1,2,3n

=----1-----1------1-•••H------

2021222rlT

11.2n-1,n

=-----1-------1-…H----------1-----

221222nT2n④,

1,111n

③一④得工20+21+22++2n-12n

MY：

F

：.Tn=4-(n+2)-21f

优解令｛S九+Q"的前几项和为4,

则"打=S]++S2+。2+…+=〃+S^.

又/=①弼=4-22-%

1-2

2nn

Sn=2--(2-n)-=n-2>~,

1-1-n

：.Tn=Hn-Sn=4-22r-n-2n=4-(n+2)-2.

13.(2023•上海黄浦・统考一模)已知｛厮｝是等差数列，｛%｝是等比数列，且电=3-3=9,

a1—b],a14=b4.

(1)求｛即｝的通项公式；

n

(2)设cn=an+(-l)6n(n£N*),求数列｛cn｝的前2n项和.

【解题思路】(1)运用等比数列、等差数列通项公式计算即可.

(2)运用分组求和及等差数列、等比数列求和公式计算即可.

【解答过程】(1)设等差数列｛aj的公差为d,等比数列｛%｝的公比为q,

则q=合=3,=y=1,a14=b4=b3q=27,

又％_4=a1+13d=1+13d=27,可得d=2,

所以a.a1+(n—l)d=1+2(n—1)—2n—1.

(2)由(1)可得匕=3"T,

故(―1严均=—(一3严t,以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，

所以d=(2九一1)一(一3尸-1,

所以数列｛”｝的前2〃项和为：(。1++…+。271)—[1+(―3)+…+(―3)2nT]=

2n(l+4n-l)[l-(-3)2n],1

-------------；---=4712H-----.

21-(-3)44

即：数列｛%｝的前In项和为4"+^-i

14.(2023•全国•模拟预测)已知等比数列｛a九｝满足劭=a3a4,。3a8+=0.

(1)求｛%J的通项公式；

(2)设华=anlog3|an|,求｛b九｝的前71项和九.

【解题思路】(1)根据等比数列的定义与通项列式求解的,0即可得结果；

(2)由(1)可得匕=(九一5)・(一3尸一5,利用错位相减法求和.

【解答过程】(1)为等比数列,则a3a8+3磋=a5a6+3磋=0,

且H0,可得。6+3a§=°，

设数列｛怎｝的公比为q,贝叼=^=-3.

a5

2

Va2=a3a4，则=^iQ,的产可得%=a=烹'

一(一尸1_

・•・n九一的.nTl-13—(z―_力Q\n-5•

aq———o±

n-5

(2)由(1)知|即|=3"-5,则2g3|an|=n—5,bn=(n—5)"(—3),

n6n5

：.Sn=(-4)x(一3广4+(-3)x(一3厂3+•••+(n-6)x(-3)-+(n-5)x(~3)~,①

715n4

-3Sn=(-4)X(一3厂3+(-3)x(一3厂2+...+(n-6)x(-3)-+(n-5)X(-3)-,②

①-②得4Sn=(-4)X(-3)-4+(-3厂3+…+(-3)n-5-(n-5)X(-3)n-4

=(-4)x(-3)-4+(-3)-口；(-3严]一(几_5)X(-3)吁4=_21_1^12(—3)九"，

''''1-(-3)''、'3244k7

n-4

.c_19(4n-19)(-3)

**n-129616,

15.(2023・全国•模拟预测)在数列｛即｝中，。2=5,数列｛3an—5+1｝是首项为2,公差为4

的等差数列，bn=an-2n.

(1)证明：数列｛%｝为等比数列；

(2)求数列｛5｝的前〃项和Sn.

【解题思路】(1)由条件，根据等差数列通项公式可得加+1=3an-4n+2,变形可得an+1-

2(n+1)=3(an-2")，根据等比数列定义证明数列｛^｝为等比数列；

(2)由(1)根据等比数列通项公式求数列｛%｝的通项公式，再求数列｛a"的通项公式，利

用分组求和法，结合等差数列和等比数列求和公式求和.

【解答过程】(1)由题意得3%i—ctn+i=2+(九—1)x4=4n—2,即％^]-3an—4n+2,

an+1—2(n+1)=3(an­2n).又,=an—2n,bn+1=3bn.

:历=-4=1=3瓦，.,也=贝！Jbn丰0,

•••数列｛篇｝是首项为%公比为3的等比数列.

(2)由(1)得当=[义3"-1=3吁2,

n-2

an=bn+2n=3+2n

Sn=a1+Q，2+…+a九

=(3-1+30+31+…+3n~2)+2(1+2+3+…+九)

3Tx(1-3n)n(n+1)

=-------------+2x--------

1-32

0n-l-1

=-------Fn(n+1).

26

16.(2023・吉林・联考模拟预测)已知数列｛即｝满足与+1=an+2”(neN*),且%=2.

(1)求数列｛a"的通项公式；

⑵设6n=log2an,求数列S-%｝的前〃项和一.

【解题思路】(1)由递推关系，利用累加法求数列的通项公式；

(2)由(1)可得斯・.=几・2",再根据错位相减法求其前〃项和乃.

na=n-1

【解答过程】(1)因为an+i=an+2,所以为—n-i2(n>2),所以an—a1=

n-1n-22

(an-dji-i)+(%t-ian_2)4—+(。3a2)+(。2a])=2+24—+2+2=

亚上2=2。-2,

1-2

又=2,所以册—2n(n>2),

又当71=1时也适合上式，

n

所以an=2(neN*).

n

(2)因为匕=Iog2an=n,所以%i-bn=n-2,

6=1x2+2x22+3x23+.■•+n-2n,①

27^=1x22+2x23+3x24+…+n-2n+1,②

-②得-T"=2+22+23+.••+2n-n-2n+1,

所以一图=F^-n，2n+i，

1—2

所以—%=2n+i-2-n-2n+1

故〃=(n-l)-2n+1+2.

17.(2023.全国.模拟预测)已知数列｛即｝的前n项和为％,%,=1,an+an+1=4n.

⑴求先;

⑵若%是%与%+i的等比中项，且%>0,求数列｛J的前n项和加

【解题思路】(1)解法一：根据即+即+1=4小分兀为偶数和奇数，利用并项求和求解；

解法二：由%_=1,an+an+1=4n,得到a2=3,由?i22时，an_1+%=4(九-1),得

到数列｛&J的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差

的等差数列，从而得到数列是以1为首项，2为公差的等差数列求解.

22

(2)由星=SnSn+1=n(n+I),得到==7y=工—丁，再利用裂项相消法求解.

【解答过程】(1)解法一：当ri为偶数时，设n=2k也EN*),

a

sn=S2k=(。1+。2)+(。3+。4)+(。5+。6)-----i2k-l+。2k)，

=4xl+4x3+4x5+…+4(2fc-1)=4fc2,

所以%=n2.

当71为奇数时，设几=2k—l(kEN*),

aaaf

则S九=S2k-1=%+(。2+。3)+(4+。5)-----1"(2fc-2+2k-l)

=1+4X2+4X4+…+4(2/c-2)=(2/c-I)2,

所以%=n2.

2

综上，Sn=n.

解法—-；因/=1,CLn+/1+1=4九，

所以1+4=4,得。2=3,

当九>2时，an-r+an=4(n—1),

所以a九+i—an-i=4,

所以数列｛%J的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，

偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，

所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以电^=271—1,所以5九=几2.

22

(2)由题意可得，=SnSn+1=n(n+l),

因为b九>0,所以%=几(几+1),

所以上=^^二工一二",

bnn(n+l)nn+1

所以&=(i—m+傅—o+G—£)+…+©—充)=羔.

18.(2023・湖北武汉•统考模拟预测)记数列｛m｝的前"项和为Sm对任意正整数"，有2S”

="a小目.。2=3.

(1)求数列｛〃"｝的通项公式；

(2)对所有正整数相，若ak〈2nv<ak+i,则在。左和温一/两项中插入2M，由此得到一个新数

列｛加｝,求｛加｝的前40项和.

【解题思路】(1)由an=Sn-SnT(n22)得出数列｛册｝的递推关系，然后由连乘法求得通

项%I；

(2)考虑到26<。40<27,。34=99>26,从而确定｛,｝的前40项中有34项来自｛即｝,

其他6项由#组成，由此分组求和.

【解答过程】(1)由25乳=nan,贝!]2Sn+i=(n+l)an+1,两式相减得：2an+1=(n+l)an+1-

72Q■九,

整理得：(n—1)与+1=na”即n22时，幺±1=

dfin—1

所以九N2时，a=0n•°nT••a=,--3=3(n—1),

n2z

CLn-i«n-2a2n-2n-31

又九=1时，2cLi=a19得a1=0,也满足上式.

故斯=3(n—1).

7

(2)由。40=117,所以26<a40<2,

又。34=99>26,所以｛g｝前40项中有34项来自｛aj

故瓦+%+…+匕40=(。1+。2+…+。34)+(21+2?+…+26)

=34(°—+"二2=]683+126=1809.

22-1

19.(2023・河南•校联考模拟预测)在数列｛厮｝中，=16,点(厮,厮+1)5eN*)在直线》-

y+3=0上.

(1)求数列｛5｝的通项公式；

n

(2)若匕=2an,求数列｛g｝的前〃项和蜀.

【解题思路】(1)根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答.

(2)利用(1)的结论，利用错位相减法求和作答.

【解答过程】(1)依题意，an—an+1+3=0,即an+i—6=3,因此数列｛。兀｝是公差为3

的等差数列，贝！+3(?1—6)=3n—2,

所以数列｛即｝的通项公式是与=3n-2.

(2)由(1)得为=(3n-2)-2%

则&=1X21+4X22+4X23+-+(3n-2)x2n,

于是2图=1X22+4X23+…+(3n-5)x2n+(3n-2)x2n+1,

两式相减得一给=2+3(22+23+••■+2n)-(3n-2)-2n+1=2+3-22°々11)_(-).

1—23n2

2n+1=(5-3n)-2n+1-10,

所以加=(3n-5)-2n+1+10.

20.(2023•新疆阿勒泰•统考一模)己知等差数列｛即｝的公差为d(d>l),等比数列｛4｝的公

比^Jq，且Q]—b],d—q,a?=5,a?+Q5=6b

⑴求数列｛aJ｛%｝的通项公式；

(2)记”=———，求数列｛7｝的前71项和

log2b271+2

【解题思路】(1)利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；

(2)利用裂项法求和即可.

【解答过程】(1)va3=5,a2+a5=6b2,a±=blfd=q,d>1

的+解得［仇=1

2d=5%=1(舍)•••

2al+5d=6aid'腑借Id=24=2

n-1

・•・an=+(n—l)d=2n—l,bn=瓦=2,nEN*

11=4,

(2)cn=

a7110g2匕271+2(2n-l)(2n+l)2\2n-l

2V335++2n_-l__2nM+17=2"\i2n-+>117=—2n+l

21.(2023•浙江•校联考三模)已知数列｛5｝是以d为公差的等差数列，^/。。石口为5/的前

n项和.

⑴若S6—S3=6,a3=1,求数列｛a九｝的通项公式；

⑵若｛册抻的部分项组成的数列｛.J是以内为首项，4为公比的等比数列，且g=4的，

求数列｛m九｝的前几项和乃・

【解题思路】(1)由S6-S3=6,可得砥=2,后由等差数列性质可得公差，即可得通项公

式；

(2)由题可得a®=4amni,=1.后由｛%J是以d为公差的等差数列，a2=4al可得数

歹lj｛mn-|｝是以1为首项-4为公比的等比数列，可求得数歹支巾„｝的通项公式，后由分组求

和法可得｛为｝的前n项和心.

【解答过程】(1))因为$6—S3=6,所以*+。5+。6=6，

用f以@4+。5+。6=3a$=6n=2.

所以d==[今即=as+(n-3)d=[n

a—DZZZ

则数列5｝的通项公式为=|n-|.

(2)因为数列｛agj是以首项为由,公比为4等比数列.

所以a6”=4am…，a7nl=ar^m1=l.

因为数列｛an｝是等差数列,所以的+(mn-X)d=4[ax+g…-l)d].

化简得gt=等+4叫i-i-3.

因为a2=a】+d=4%,所以号=即n1n=4mn_1-2.

所以niw_|=4(mw-i_|)-

因为巾1一|=1,所以数歹.山正一|｝是以1为首项.4为公比的等比数列

n-1rl

所以??1rl-|=|-4=»mn=|-4t+|.

1n-16

所以i=m1+m2+—Fmn=|(40+4+4)+~j~=，一：+1

则数歹UOnJ的前n项和与为：Tn=上产.

22.（2023•甘肃武威・统考一模）设等比数列｛厮｝的前几项和为目,已知S3=7,且的-44=-7.

（1）求｛an｝的通项公式；

（2）设%=即+2n—1,数列｛%｝的前n项和为取,证明：当n25时，Tn>56.

【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求的,q,即可得结果；

（2）利用分组求和可求得〃=-1+层，再结合函数单调性证明.

【解答过程】⑴设数列｛&J的公比为4，

故与=271T.

(2)由(1)知%=2z+2n-l,

nl

所以B=瓦+电4—+b7t=(1+1)+(2+3)4—+(2+2n-1)=(1+2+…+

2nT)+(1+3+…+2?i—1)

,//（X）=2X-1+/在［1,+8）上单调递增，则数列｛与｝为递增数列，

.,.当n>5时，TnN=56,

故当九>5时，Tn>56.

23.（2023・广西・统考模拟预测）记S”为等比数列｛时｝的前几项和.已知52=4,阖=3。6.

（1）求C1n;

1

⑵设g=\%'"为曾粕求数列面｝的前2n项和727V

（“T+几,71为偶数

【解题思路】（1）设等比数列｛%J的公比为力根据题目条件列方程组求解即可；

（2）由题意可得%=1£1"为了数然后利用分组求和法求解即可.

3"-2+n,n为偶数

【解答过程】（1）设等比数列｛斯｝的公比为q.由题意，可知

%=1

Q=3

n-1n

an=l-3=3t.

（2）由题设及（1）可知:

n-1

当n为奇数时，bn-an-3,

n2

当n为偶数时，bn=bn_r+n=an_1+n=3~+n,

•1•T2n^b1+b2+b3+b4+…+/?2n_i+b2n

=(瓦+Z>3+仇+--F/>2n-l)+(^2+b4+—Fb2n)

24rl

=(30+3+3+…+32-2)+(3。+32+34+…+32rl-2+2+4+6+…+2n)

=2(3°+32+34+…+3271-2)+(2+4+6+…+2n)

_l-32nn(2n+2)

=2XT^9"+2

9Tl_1

=———Fn(n+1).

24.(2023・吉林长春•校联考一模)已知等差数列｛即｝的首项的=1,记｛须｝的前〃项和为土,

S4—2。2。3+14—0.

⑴求数列｛&J的通项公式；

(2)若数列｛即｝公差d>1,令％=*2求数列｛%｝的前〃项和.

an,an+l27k

【解题思路】(1)根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；

（2）根据题意可得a九=2n-1,c,利用裂项相

n(2n