2021年高考数学试卷及解析(新高考Ⅰ卷)

2021年高考数试卷(新高考工卷)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。(共8题；共40分)

1.设集合A={x|-2<x<4}.B={2,3,4,5},则AnB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}D.{2,3,4}

【答案】B

【考点】交集及其运算

【解析】【解答】解：根据交集的定义易知AnB是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3},

故答案为：B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

2.已知z=2-i,则(=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：i(5+i)=(2—i)(2+20=4+4i-2i-2产=6+2i

故答案为：c

【分析】根据复数的运算，结合共朝复数的定义求解即可.

3.已知圆锥的底面半径为O,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.20C.4D.4G

【答案】B

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)

【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为I,底面半径为r,则有

2Kr=^-X2K|，

解得|二2r二2\2

故答案为：B

【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.

4.下列区间中，函数f(x)=7sin()单调递增的区间是()

A.(0,；)B.("K)C.(天，巴)D.(2;,

2222

27T)

【答案】A

【考点】正弦函数的单调性

【解析】【解答】解：由_乙+次冗2k冗得-L+及亢4x4j+2k兀，kez,当k=o

26233

时，卜;，中是函数的一个增区间，显然（0,y）c[-，

故答案为：A

【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.

5.已知F1,F2是椭圆C：+二=1的两个焦点，点M在C上，贝IJ|MF1卜|MF2|的最大值为（）

94

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义

【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b2=4,|MF1|+|MF2|=2a=6,

则由基本不等式可得|MFi||MF2|WM「l||Mr2|.=9,

当且仅当|MFI|=|MF2|=3时，等号成立.

故答案为：C

【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可.

6.若tan9=2则y'-'=（）

sn^8

A.-fB.-IC..D..

ssss

【答案】C

【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：原式=E-2f=无里攻0+a>$9）

故答案为：C

【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可.

7.若过点（a,b）可以作曲线y=ex的两条切线，则（）

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：由题意易知，当X趋近于-8时，切线为x=0,当X趋近于+8时，切线为y=+8,因

此切线的交点必位于第一象限，且在曲线丫=0*的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.

8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件"第一次

取出的球的数字是1",乙表示事件"第二次取出的球的数字是2",丙表示事件"两次取出的球的数字之和

是8",丁表示事件"两次取出的球的数字之和是7",则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【答案】B

【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式

【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D),

则P(4)=P(F)=：,P(G=。1'

O0*0XJO'*o"

对于A,P(AC)=O；

对于B,P(AD)

6*6X

对于C,P；8ci=：名=&；

O**DJD

对于D,P(CD)=O.

若两事件X,Y相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y),

故B正确.

故答案为：B

【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。(共4题；共20分)

9.有一组样本数据Xi,X2,...,Xn,由这组数据得到新样本数据yi,y2,...,yn,其中yi=Xi+c(i=l,2,...,n),c为非零

常数，贝U()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】C,D

【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差

【解析】【解答】解：对于A,1'LLf,y-也+飞=**「*+c="C，因为"0,

vnn

所以,故A错误;

对于B,若X1,X2,……,Xn的中位数为Xk,因为yi=Xi+C,因为CHO,所以九丫2,……的中位数为

Yk=Xk+c^Xk,故B错误；

对于C,yi,y2,......,yn的标准差为

Sy=:J(/i-y)’+(力一y)'<…(y%-y)，=

+c)_(Y+C)]2+[(M+c)_CT+c)[2+…[(及+c)-cr+c)F

22a

=-7(*i~y)+Uz-y)+,,,(*«-y)-st，故c正确；

对于D,设样本数据xi,X2,……必中的最大为Xn,最小为xi,因为yi=Xi+c,所以yi,y，......,yn中的最大为

Yn，最小为yi,

极差为yn-yi=(Xn+C)-(Xl+C)=Xn-Xi,故D正确.

故答案为：CD

【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即可.

10.已知。为坐标原点，点Pi(cosa,sina),P2(cosB，-sinP),P3(cos(a+P),sin(a+P)),A(l,0),则()

AIOP；|=丽|B.|而|=|丽|C.OA~^=

OP^-0P2DOA-0Pt=0P^-0P3

【答案】A,C

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公式，两角

和与差的正弦公式

【解析】【解答】解：|0p1=+而3=1,|OPj|=Jc»$节+1ta力=1'故A正确；

因为|APj|=-1)2+=a-2esa,/P.=-l)z+dn#=J2-2c•邛，故

B错误；

因为0八•OP?=1XC»s(a+6)+0xsin(a+3)=e$(a+fi)'

OPi•0P2=cosacos/?-sinad侬=c”(a+6)'

所以0A•0P3=OPj-0P2

故c正确;

因为OA•OP】=1xc»sa+0xsiui-ctsa'

OP?•OP：=(c。邛，-"(B$(a+6),sin(a+㈤)=cos/Jxc”(a+)?)+(-rin£)*sin(a+

夕)=e$(a+20)

所以D错误

故答案为：AC.

【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即可.

11.已知点P在圆[X-51+(y-5)2=16上，点A(4,0),B(0,2),贝IJ()

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时，|PB|=3

D.当NPBA最大时，|PB|=3一，

【答案】A,C,D

【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：直线AB为：L+L=l,即x+2y-4=0,

42

设点P(5+4COS0,5+4sin6),则点P到直线AB的距离为(^=57上了727“’7="70：皿＞5,则

所以A正确B错误；

又圆心。为(5,5),半径为4,贝ljpg=―0X一5一不=\豆，

所以当直线PB与圆相切时，zPBA取得最值，此时，|PB|=:|08|1_r：=v34-16二3、2

所以CD正确

故答案为：ACD.

【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即可.

12.在正三棱柱ABC-418£中，AB=A,,=1,点P满足而_),而+“西，其中入G[0,1],〃

00,1],则()

A.当人=1时，△I，，.P的周长为定值

B.当|1=1时，三棱锥P-AiBC的体积为定值

c.当人=:时，有且仅有一个点P,使得AxPiBP

D.当M=」时，有且仅有一个点P,使得[BJ■平面AP

2

【答案】B,D

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】解：由点P满足而_）,BC+〃西可知点P在正方形BCCiBi内,

对于A,当人=1时，可知点P在CCi（包括端点）上运动，如下图所示，AABiP中，

AB[=\'2>AP=JI+/,BjP=JI+（I-a）2,

因此周长L=AB+AP+B1P不为定值，故A错误.

对于当时，可知点在（包括端点）上运动，如下图所示,

B,R=1PBiCi

易知BiCi〃平面AiBC,即点P到平面AiBC的距离处处相等，

△AiBC的面积是定值，所以三棱锥P-AiBC的体积为定值，故B正确；

对于C,当入=，时，分别取线段BB1,CC1的中点M,N,可知点P在线段DD1（包括端点）上运动，如

2

下图所示,

很显然若点P与D,Di重合，均满足题意，故C正确;

对于D,当*=；时，分别取线段BBi,CCi的中点D,Di,可知点P在线段DDi（包括端点）上运动,

如下图所示,

此时，有且只有点P与点N重合时，满足题意，故D正确.

故答案为：BD

【分析】根据三角形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即可，根据线线垂直及线面垂直

的判定定理，利用特殊点进行判断CD即可.

三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分(共4题；共20分)

13.已知函数f(x)=042*-2-*)是偶函数,贝1Ja=

【答案】1

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】【解答】解：设g(x)=a-T-T1，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(O)=a-2O-2-o=a；=O,

故a=l

故答案为：1

【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.

14.己知0为坐标原点，抛物线C:7=2pxlp>0，的焦点为F,P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴

上一点，且PQLOP,若|FQ|=6,则C的准线方程为

【答案】x=—2

2

【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义

【解析】【解答】解：由题意可设p七,p),贝/0P=2.KQP=-：,

因此直线PQ的方程为：y-p=-1(1-目

令y=o，得"=-p

2r

因此F|Q|=!?-y=2P=6

贝Up=3

因此抛物线c的准线方程为：

22

【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即可.

15.函数f(x)=|2x-l|-2lnx的最小值为

【答案】1

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，分段函数的应用

【解析】【解答】解：①当时，f(x)=2x-l-2lnx,则/(幻=2-"一，

当X>1时，f(X)>0,当;<*<1时,f'(X)<0,所以f(X)min=f(1)=1；

②当0<x工;时，f(x)=l-2x-2lnx,则r(x,二-2二一^^<0，

此时函数f(x)=l-2x-2lnx在I上为减函数，贝ljf(x)(g)=2加231，

综上，f(X)min=l

故答案为：1

【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dmxl2dm

的长方形纸.对折1次共可以得到lOdmx2dm、20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和Si=240

dm2,对折2次共可以得5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

S2=180dm2。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么

XL或=--------dm.

【答案】5；720-240'5

【考点】数列的求和，类比推理

【解析】【解答】解：对折3次有2.5x12,6x5,3x10,20x1.5共4种，面积和为S3=4x30=120dm2;

2

对折4次有1.25x12,2.5x6,3x5,1.5x10,20x0.75共5种,面积和为S4=5xl5=75dm;

对折n次有n+1中类型，&=掣(〃+1),

因此纪*=240•仔./+…+=240•仔♦/+….^r)，

上式相减，得:■厂240•（1+/♦/+…，=2《。（；-黑）

则£&=240（3・二|=720240•亭

故答案为：5,720-240•匚3

T

【分析】根据类比推理可求对折4次及对折n次的图形种数，运用错位相减法可求,斗.

四、解答题：本题共6小题，共70分。（共6题；共70分）

,+1,n为奇赞

17.已知数列｛门"｝满足0]=1,

.+2,。为偈赞

（1）记^,=a»，写出如，b2,并求数列〔限〕的通项公式;

（2）求（右｝的前20项和

【答案】（1）2n为偶数,

a

则3t-l~-2,03(-2~，

:.。上.2=a*+3，即bn+i=bn+3，且酊==4+1=2>

(bj是以2为首项，3为公差的等差数列，

bj=2>g=5,bn=3n-1.

(2)当n为奇数时，/=a_i1,

的前20项和为

0|++…+a工

=(a]+/+…+as)+(Oj+a4+…+a.)

=[(a2-1)+(/-D+…+(a»―1)]+(flj+a(g+•••+a*)

=2(。2♦+…+♦)-I。.

由(1)可知，

+…+a*=既+%+…+6施=2x10+-y-x3=155.

.-.[a,:，的前20项和为2X155-100300.

【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和

【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式即可求解；

（2）运用分组求和法，结合项之间的关系即可求解.

18.某学校组织"一带一路"知识竞赛，有A,B两类问题•每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从

中随机抽一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一

个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0

分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。

己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为06且能正确回答问题的概率与

回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列：

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。

【答案】（1）X的取值可能为C，20，100.

P（.Y=0）=1-0.8=0.2，

P（X=20）=0.8X（1-0.6）=0.2，

PX=lOOi=0.8<0,6=0.*，

X的分布列为

X020100

P0.20.320.48

（2）假设先答B类题，得分为Y，

则Y可能为0,80,100,

P（X=0）=1—0.6=0.4，

P（r=80）=0.6X（1-0.8=0.12，

P（y=100）=0.6X0.8=0.4（，

：.Y的分布列为

080100

P0.40.120.48

E(V)=0X0.4+80X0.E+100X0.48=57.6，

由(1)可知E(3=0X0.2+20XO.32+100*0.48=54.4，

Ein>Ei.ri,

二应先答B类题.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

【解析】【分析】(1)根据独立事件的概率，并列出x的分布列即可；

(2)根据独立事件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并比较即可判断.

19.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a.,b.,c,已知/=ac,点D在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b：

(2)若AD=2DC.求cosNABC.

【答案】(1)在AABC中，

“二心立

auNHC~sinC'

vBDsn^ABC-asinC,

联立◎②得竺，即ac=bBD,

BDa

♦:g=ac，

.%BD=b.

⑵若AD=2DC，

△ABC中，e$C=O直，

20

21BCD中，esC=④，

,••3=©,

:.(a2+b2-c2)=3(a2+(j)z-fr2)

aJ

整理得02+ft»-(?=3a+^-3b，

.-.2a2-—c2=0，

3

7炉=ac，

2

J6a-Hac+3c2=0，即a=：或”;c,

32

右a=,时,/=ac=；,

则―/树=^4^=]=：(舍)，

若a二：c‘b2=ar=受，,

22

则es/48c==^=匕汇=E=；

2tc?Jr12

【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用

【解析】【分析】(1)根据正弦定理求解即可；

(2)根据余弦定理，结合方程思想和分类讨论思想求解即可.

20.如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD_L平面BCD,AB=AD.O为BD的中点.

(1)证明：OA±CD：

(2)若4OCD是边长为1的等边三角形.点E在棱AD上.DE=2EA.且二面角E-BC-D的大小为45。，求三棱

锥A-BCD的体积.

【答案】（1）AB=AD，。为8。中点,

AO1BD,

--.40G面ABD,

面ABD1面BCD且面ABDn面BCD=BD，

，面BCD，

AO1CD.

（2）以0为坐标原点，。£）为y轴,。4为z轴，垂直0。且过。的直线为X轴,

设c（*g©，，B（Q-LQ），4（aoun）,,

":Ed=（o,一『—QE98c=（曰9

设宿=仃19'】2】1为面EBC法向量，

£§•ri7=_：）1一:mi]=0

BC•记=y«i+-y>=0

Zyi+mzj=o

"Xj+v^yi=0

2

令Pl=1，J・Ni=-—in，Xt=-，

n7=（—V5,1,一三），

面BCD法向量为0Aaftm

e"百丽=1—p-l=y,解得m=1，

“«r

0/1=1，

,•.〃皿=；*8DXOA=12X1=1，

口T8-J'$4”,I'rl=三■

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，用空间向

量求平面间的夹角

【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；

(2)利用向量法，结合二面角的平面角求得m=l,再根据棱锥的体积公式直接求解即可.

21.在平面直角坐标系xOy中，己知点F,(-,17,0),八(,17,0),点M满足|MFt|-|MF2|=2.记M的轨

迹为C.

(1)求C的方程；

(2)设点T在直线x=；上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|TA|-|TB|=|TP|“TQ|,

求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和

【答案】⑴「呷

轨迹C为双曲线右半支，c2=17,2a=2，

M=1,b?=16,

⑵设r(l.n).

设A8：y-n=k|(x-^)，

联立厂

x2-1

16-k12)x2+(kj2-—-M♦女述一16二0，

遍」一II,一上iR-M

h+X2=，如j'

IT川=>•11+卜&i~|)，

ITBJ=Jl+*i2(M-A),

|T>I|-|T8|=(1+k|*)(xi-1)(xj-1)=啜

aaRgIt*

设PQ：y-n=Jt2(x~1),

同理im,iwi」：1、「

V\TAl\TB\=\TP\\TQ\，