2021年中考数学模拟试题51(解析版)

2021年中考数学模拟试题

一、单选题

1.下列算式中，运算错误的是（）

A.瓜三#>=近B.ex逐=店

C.小+也=弧D.（一回2=3

【答案】C

【解析】

根据二次根式的加减法则，乘法，除法，乘方法则计算判断即可.解：0764-73=72,正确,

团A选项不合题意；

回百x6=JB，正确，

0B选项不合题意；

E）J7+G，无法计算，

回C选项符合题意；

团-（一6）2=3,正确，

0D选项不合题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式运算的基本法则是解题的关键.

2.下列算式能用平方差公式计算的是（)

A.(3a+b)(3b-a)

C.(x—y)(—x+y)D.(-a-b)(a+b)

【答案】B

【解析】

平方差公式为：(a+b)(a-b)=aJb2,其特点是等式左边有两项完全一样，有两项是相反数关系，据此可解.解：

A：没有两项完全相同，也没有两项属于相反数，故不能用平方差公式计算；

B：1和-'是相反数，-1和-1是相同项，故可以用平方差公式计算；

33

C：x与-x是相反数，-y与y也是相反数，故不能用平方差公式计算；

D：-a和a是相反数，-b和b也是相反数，故不能用平方差公式计算；

综上，只有选项B符合题意.

故选：B.

【点睛】

本题考查了平方差公式的形式识别，明确等式左边的特点，是解题的关键.

3.甲乙两个超市为了促销一种定价相等的商品，甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在哪

家超市购买同样数量的这种商品最合算()

A.甲B.乙C.相同D.不能确定

【答案】B

【解析】

此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可.解：设原价为x元，则甲超市价格为

xx(1-10%)x(1-10%)=0.81x

乙超市为xx(1-20%)=0.8x,

0.81x>0.8x,所以在乙超市购买合算.

故选：B.

【点睛】

本题考查列代数式，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少是解题关键.渗透了转化思想.

4.如图，在中，NR4C=9()O,AO_LBC于点。，若30:8=3:2,则tanND4c的值为()

A.2B.旦C.与D.巫

3323

【答案】B

【解析】

先根据题目已知条件推出△ABOGl,CAD,则可得ND4c=/8,然后根据8D:CE>=3:2,设E)=3x,

C0=2x,利用对应边成比例表示出AO的值，进而得出tanNZMC的值，团在RLABC中，NB4C=90°,

0ZB+ZC=9O°,

团AT>，8C于点O，

^ZB+ZBAD=90°,ZC+ZDAC=9Q0

S1NBAD=NC,ZB=ZDAC,

0RtAABDE).-.C4D,

BDADnn7

a——=——，即，AD2^BDCD,

ADCD

团3£>:CD=3:2,

自设3O=3x,CD=2x,

团AD=\j3x-2x=V6x，

=，r小…ADv6xV6

0tanZ.B=tanZ.DAC=--=----=—>

BD3尤3

故选：B.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、相似比、锐角三角函数的定义、直角三角形的性质，解题的关键是

根据垂直证明三角形相似，根据对应边成比例求边长.

5.已知x>y,则下列不等式成立的是（）

A.-2.x>~2.yB.x-3>y—2c.5-x〉5-yD.3x-3>3y—3

【答案】D

【解析】

根据不等式的基本性质，逐一判断选项，即可.解：0X>y,^-2x<-2y,故A选项不成立,

Eix>y,ax-2>y-2,故B选项不成立，

回*>丫，E5-x<5-y,故C选项不成立，

回》>>,^3x-3>3y-3,故D选项成立,

故选D.

【点睛】

本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键.

6.若一次函数丫=丘+匕ck,匕都是常数）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y=的图象

大致是（）

【答案】B

【解析】

根据一次函数丫=履+6图像在坐标平面的位置，可先确定火力的取值范围，在根据攵乃的取值范围确定一

次函数丁=麻+左图像在坐标平面的位置，即可求解.根据一次函数y=经过一、二、四象限，则函

数值y随X的增大而减小，可得攵＜0；图像与y轴的正半轴相交则6＞0,因而一次函数＞=灰+女的一

次项系数〃＞o,y随工的增大而增大，经过一三象限，常数攵＜o,则函数与y轴的负半轴，因而一定经

过一、三、四象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数的图像与系数的关系，解题关键是根据已知函数图像的位置确定左力的取值范围.

7.为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使30%左右的人获得折扣优惠.某市

针对乘坐地铁的人群进行了调查.调查小组在各地铁站随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费

（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示.下列说法正确的是（）

①每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在60-80元范围内；

②每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围是40-60元范围内：

③每人乘坐地铁的月均花费的中位数在100-120元范围内；

④乘坐地铁的月均花费达到100元以上的人可以享受折扣.

A.①④B.③④C.①③D.①②

【答案】A

【解析】

根据频数分布直方图中的数据，求得平均数，中位数，众数，即可得出结论.①根据频数分布直方图，可

得众数为60-80元范围，所以每人乘坐地铁的月均花费最集中的区域在60-80元范围内，故①正确；

②每人乘坐地铁的月均花费的总数为

20x20+80x40+160x60+240x80+200x100+100x120+80x140+50x160+25x180+25x200+15x220

+5x240=87600,则平均数=------=87.6元，所以每人乘坐地铁的月均花费的平均数范围不在40-60

1000

元范围内，故②错误；

③每人乘坐地铁的月均花费的中位数约为80,不在100-120元范围内，故③错误；

④为了让市民享受到更多的优惠，使30%左右的人获得折扣优惠，则乘坐地铁的月均花费达到1（）0元以上

的人可以享受折扣，故④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数以及众数的应用，注意求中位数时需要将数据排序是解题的

关键.

8.已知抛物线丁=/+皿+〃与x轴只有一个公共点，且过点—6,与，则b的值为()

A.4B.2C.6D.9

【答案】D

【解析】

根据抛物线y=x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知即0,从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线

y=x2+mx+n过点A(a,b),B(a-6,b),可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值.解：切抛物线y=x2+mx+n

与x轴只有一个公共点，

0S=m2-4xlxn=m2-4n=O,

0n=—m2,

4

团抛物线y=x2+mx+n过点A(a,b),B(a-6,b),

0b=a2+ma+n,b=(a-6)2+m(a-6)+n,

0a2+ma+n=(a-6)2+m(a-6)+n,

tn

化简，得a=3-'，

2

rC加、,c团1,

Sb=a2+ma+n=(3-----)2+mx(3-------)+—m2=9,

224

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线与X轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值.

9.如图，点A,8,。,力在。。上，AC是。的直径，若NC4O=25"，则NA3D的度数为(

A.25°B.50°C.65°D.75°

【答案】C

【解析】

根据直径所对的圆周角是直角可得NAZ)C=9O°,利用直角三角形两锐角互余得到NACP=65°,根据同

弧所对的圆周角相等即可求解.解：回AC是。的直径，

0ZADC=9O°,

0ZC4T>=25°,

团NAQ)=90°-NC4D=65°,

^ZABD=ZACD=65°,

故选：c.

【点睛】

本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，根据直径所对的圆周角是直角得到NA£>C=900是解题的

关键.

10.已知直线x=l是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数，且"0)的图象的对称轴，点A(xi,力)和

点8(X2,/2)为其图象上的两点，且yi<y2,()

A.若X1<X2,贝X1+X2-2<0B.若X1<X2,贝X1+X2-2>0

C.若xi>X2,贝Ua(X1+X2-2)>0D.若xI>X2,则a(xi+xz-2)<0

【答案】D

【解析】

根据二次函数的性质和题目中的条件，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题.解：0-

次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数，且"0)的图象的对称轴，点A(xi,yi)和点B(X2,y2)为其图象

上的两点，且yi<V2,

回若a>0,玉<1<々，则可能出现玉+々-2>0,故选项A错误；

若a<0,x,<x2<l,则XI+X2-2V0,故选项B错误；

若a>0,x2<x,<1,则X1+X2-2V0,则a(xi+X2-2)<0,故选项C错误；

若a>0,xi>X2,则X1+X2-2V0,则a(xi+xz-2)<0；

若a<0,xi>X2,贝ijX1+X2-2>0,贝Uo(xi+xz-2)<0；

故选项D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的

性质解答.

二、填空题

f—4

11.当％=时，分式^_^值为零.

x—2

【答案】-2.

【解析】

根据分式值为零及分式成立的条件求解即可.解：要使分式为零，则分子x2-4=0解得：x=±2,

而x=-2时，分母x-2=-4x0,

x=2时分母x-2=0,分式没有意义，

所以x的值为-2.

故答案为：-2.

【点睛】

本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零.

12.如图，直线a〃方，直线C与直线a、b相交.已知Nl=112°,N2=34°,则N3=度.

【答案】34

【解析】

先根据平行线的性质可得N4=N1=112。，再根据角的和差即可得.如图，a//b,Z\=U2°,

.•.Z4=Z1=112°,

N2=34°,

...N3=180°—N4—N2=180°—112°—34°=34°，

故答案为：34.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、角的和差，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

13.若多项式2m—〃的值为3.则4加一2〃+2的值是.

【答案】8

【解析】

依据等式的性质求得4m-2n的值，然后代入计算即可.解：02m-n=3,

04m-2n=6.

04m-2〃+2=6+2=8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了求代数式的值，利用等式的性质得到4m-2n的值是解题的关键.

14.如图，A3是：）0的直径，AB=4，（:为AB的三等分点（更靠近A点），点P是。上一个动点,

取弦AP的中点D,则线段CD的最大值为.

【答案】73+1

【解析】

如图，连接。D,0C,首先证明点。的运动轨迹为以A。为直径的回K,连接CK,当点。在CK的延长线上时,

CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.解：如图，连接。D,0C

P

附D=OP,

国0DaPA,

团蜘。。=90°,

田点D的运动轨迹为以40为直径的歌，连接CK,AC,

当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，

配为A3的三等分点，

的3=60°,

团M0C是等边三角形，

国C股］04

在RtOOCK中，aaCOA=60°,OC=2,OK=1,

团CK=Jcc2—CK?=6,

1

回DK=—。4=1,

2

团8=6+1,

国CD的最大值为6+1,

故答案为：-^3+1-

【点睛】

本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨

迹，学会构造辅助圆解决问题.

15.在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后,

有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为.

【答案】20

【解析】

利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关

于x的方程，解方程即可得.设原来红球个数为x个,

则E-有---1-0--=—10)

x+1030

解得，x=20,

经检验x=20是原方程的根.

故答案为20.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解

题的关键.

16..ABC。中，CD=2,BC=4,80=26，对角线AC,8D交于点。，将一CDO绕点。顺时针旋

转，使点。落在上。'处，点C落在C'处，交AD于点P,则的面积是.

【答案】立

3

【解析】

过点。作OE_L4），作D'GYOC,E，G，尸为垂足，根据CD=2,BC=4,8。=2百，

可证A3CD是直角三角形，ZE>BC=30°,可求回C'D'O各边长，以及G。'的长，由OE//CF可求OP的

长，即可求AOPD的面积.解：过点。作。作CAO,D'GrOC',E,G,尸为垂足，

8=2,BC=4,80=25

CD2+BD2=4+12=16，

BC?=16,

：.CD2+BD2=BC2-

...NBDC=90°,

.fCD1

sinZ.DBC==—,

BC2

:.ZDBC=30°,

-A88是平行四边形，

DO=y/i=BO<CO^AO,AD//BC,

:.ZADB=ZDCB=30P,

在RtADCO中，CO=y/CD2+DO2=y/l,

■■旋转，

：.DO=D'O=6C'D'^2,400=90°,C'O=CO=y[l

ZDDTO=ADDO=30°,OEVAD,

:.ZCDfD=60°,OE=-DO=—,

22

CFA.AD,NC7)'O=60°,

:.ZD'Cf^30P,

：.DF=^C'D'=\,C'F=6DF=g，

SCD.O=5xC'D'xOD'=-xC'OxGD',

7

OE1AD,C'F±AD,

:.OEHC'F,

G

OEOPT__1,

~CF~~CP^^/3~2

且OP+C'P=OC'=S，

:.0P=­,

3

11V72向百

..S.=—xOnpPxGD=—x——x----=——，

AOPD22373

故答案为正..

3

【点睛】

本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解

决问题.

三、解答题

Xr—1

17.对于方程---------=1,某同学解法如下：

23

解：方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=1①

去括号，得3x-2x-2=l②

合并同类项，得X-2=1③

解得x=3④

团原方程的解为x=3⑤

(1)上述解答过程中的错误步骤有(填序号)；

(2)请写出正确的解答过程.

【答案】(1)错误步骤在第①②步.(2)x=4.

【解析】

(1)第①步在去分母的时候，两边同乘以6,但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变

化，所以出现错误；

(2)注重改正错误，按以上步骤进行即可.解：(1)方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=6①

去括号，得3x-2x+2=6②

团错误步骤在第①②步.

(2)方程两边同乘6,得3x-2(x-1)=6

去括号，得3x-2x+2=6

合并同类项，得x+2=6

解得x=4

回原方程的解为x=4

【点睛】

本题考查的解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，符号也经常是出现错误的原因.

18.某校九(1)班同学在街头随机调查了一些骑共享单车出行的市民，并将他们对各种品牌单车的选择情

况绘制成如下两个不完整的统计图(4摩拜单车；8：。加单车；C：HelloBike).请根据图中提供的信息，

解答下列问题：

(1)求出本次参与调查的市民人数;

(2)将上面的条形图补充完整;

（3）若某区有10000名市民骑共享单车出行，根据调查数据估计该区有多少名市民选择骑摩拜单车出行？

【答案】（1）200人；（2）答案见解析；（3）3000名.

【解析】

（1）根据B品牌人数与所对应的百分比，计算可得总人数.

（2）总人数分别乘A、D所占百分比，求出其人数，补全图形.

（3）总人数乘样本中A的百分比即可得.解：（1）本次参与调查的市民人数80+40%=200（人）；

（2）A品牌人数为200x30%=60（人），。品牌人数为200x15%=30（人），

补全图形如下：

（3）10000x30%=3000（人），

团估计该区有3000名市民选择骑摩拜单车出行.

【点睛】

本题考查条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题关键.

19.己知：如图，在,ABC的中，是角平分线，E是A。上一点，且A3:=AO.

求证：（1）AABE^AACD.

（2）友见是等腰三角形.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用两边对应成比例、夹角相等的两个三角形相似证明回ABE瓯ACD,即可证明：

（2）利用得出N3=N4,再根据平角的定义得出N3ED="DE,进而得出结论.证

明：（1）0AO是角平分线，

回N1=N2，

又回A3:AC=AE:A£）,

0/\ABE^Z^ACD,

（2）0AABE^AACD.

回N3=N4,

0180°-03=180°-134,

即NBED=NBDE,

田BE=BD.

即团BDE是等腰三角形.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

20.函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题.

(1)分别求出当2Wx<4时，两个函数：y=2x+l,y=2(x—1『+1的最大值和最小值；

2

(2)若丁=一的值不大于2,求符合条件的x的范围；

X

(3)若y=X(%H0),当，2(X0())时既无最大值，又无最小值，求a的取值范围.

X

【答案】(1)y=2x+l的y最小=5,y最大=9,y=2(x-l)?+l的y最小=3,y最大=19；(2)x<0或xNl；

(3)a<0.

【解析】

(1)结合一次函数的性质即可得出：当2次“时，y=2x+l的最大值和最小值；根据二次函数的性质即可

得出：当2Wx"时，y=2(x-1)2+1的最大值和最小值；

2

(2)令y=—«2,解之即可得出x的取值范围；

X

(3)分别从以下两种情况分类讨论：①当k>o时，如图得当o<xc时，得到y=2无最大值，有最小值

X

—,同理当a<0时，且a4x<0时，得到yV"有最大值“，无最小值，②当k<0时，如图得当0<xS2时，

2aa

y=&无最小值，有最大值K,同理当a<0时，且a<x<0时，然K有最小值与，无最大值，于是得到结论.解:

22aa

(1)Ely=2x+l中左=2>0,

如随x的增大而增大，

回当尤=2时，y城小=5；

当x=4时，yst大=9.

田y=2(%一1)2+1中。=2>0,且抛物线的对称轴为尤=1,

回当x=2时，y城小=3；

当x=4时，丫最大=19.

2

（2）令y=一<2,

x

解得：了<0或121,

团符合条件的x的范围为％<0或xNl.

（3）如图所示，从下面两种情况进行讨论:

2kk

①当k>0时，如左图得当0Vx«2时，y=一无最大值，有最小值一，同理当aV0时，且aWxVO时，yW—

x2a

有最大值公,无最小值；

a

2kk

②当kVO时，如右图得当0Vx42时，y=—无最小值，有最大值一，同理当a<0时，且aVxVO时，y《一

x2a

有最小值无最大值，

a

k

回当kVO,aV0时，此时，y=—（女工0）既无最大值，又无最小值，

x

综上所述，a的取值范围是aVO.

【点睛】

本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，解题的关键是根据一次（二次）函数的性质

解决最值问题，根据题意找出相关数量关系列出不等式进行求解.

2L如图，在工ABC中，ZABC=90°,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段A£）,E是

边上的一动点，连接DE交AC于点F,连接BE.

D

（1）求证：FB=FD;

（2）点H在边破上（不含端点），且BH=CE,连接A4交BE于点N.请在答卷上将图形补充完整并

解答：

①判断A”与B/的位置关系，并证明你的结论；

②若一和尸的面积分别为a和b,求四边形的面积（用含a和b的代数式表示）.

【答案】（1）证明见解析；（2）®AH±BF，证明见解析；②a-2b.

【解析】

（1）证明回FAD雷FAB（SAS）即可解决问题；

（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明EIBAHWCBF即可解决问题；

②设设S8HN=X，S四边形，再根据回ABHI33DCE,0BCF00DCF,得出S如尸=S,尸=x+y+人，

进而求解.（1）证明：如图1中，

图1

BBA=BC,ZABC=90°,

31ZBAC=ZACB=45°,

团线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段A£＞，

回NBM>=90°,84=AD,

E)NRW=NE4B=45。.

回AF=AF，

aFAD^,FAB(SAS),

国BF=DF.

(2)①解：结论：AH±BF.

理由：如图2中，连接CO.

BHE°

图2

^ZABC+ZBAD=1SO°,

^AD//BC.

EAD=AB=BC,

回四边形ABC。是平行四边形.

回NABC=90°,

回四边形ABC。是矩形.

回AB=BC，

回四边形ABC。是正方形.

回84=CD,ZABH=ZDCE,BH=CE,

©ABHaDCE(SAS),

叱BAH=NCDE,

0NFCD=NFCB=45°,CF=CF,CD=CB,

0CF哈.CFB(SAS),®NCDF=NCBF,

aABAH=NCBF,

ZCBF+ZABF=90°,

SZBAH+ZABF^9Q°，

回NAA®=90°,

&AHA.BF.

②如图2,EIABHEBDCE,回BCF03DCF,

设SBHN~X，S四边形EFNH=y>

则SBCF=SDQP=x+y+〃，

回S℃E=(x+y+b)+b=x+y+2b,

SABH=SABN+SBHN=a+X=S,nCE,

即a+x=x+y+2b,0y=a-2b.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解

决问题.

22.如图，已知抛物线y=ar2+6x+c经过A（0,4）,8（4,0）,。（一1,0）三点.过点A作垂直于V轴的

直线/.在抛物线上有一动点p,过点p作直线P。平行于y轴交直线/于点Q.连结从尸.

(1)求抛物线y=o?+为:+c的解析式；

(2)是否存在点P,使得以AAQ三点构成的三角形与△AOC相似.如果存在，请求出点尸的坐标，

若不存在，请说明理由

(3)当点尸位于抛物线丁="2+法+。的对称轴的右侧.若将APQ沿AP对折，点Q的对应点为点

M.求当点〃落在坐标轴上时直线AP的解析式.

【答案】(1)y=-x2+3x+4；(2)存在,(丁，—).(7,-24),(—1,0),(一,—；(3)y=x+4,

416416

y=-x+4,y=-2x+4

【解析】

(1)将A(0,4),5(4,0),C(—1,0)分别代入抛物线yuaf+H+c,列出方程组，即可求出函数解析式.

(2)当P在/下方时，令AAOCSAAQP,MOC^APQA,根据相似三角形的性质，列比例式，求出点的

坐标；当P在y轴左侧和/上方时，令AAOCSMQP,AAOCSAPQA,根据相似三角形的性质，列比例式，

求出点的坐标；

(3)画出函数图形，利用三角形相似，求出P点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式.解：(1)将40,4),

B(4,0),C(-l,0)分别代入抛物线y=ax2+bx+c^,

c=4

<16。+4b+c=0,解得〈。=3,

a-h+c=Oc=4

函数解析式为y=+3x+4.

(2)尸在/下方时，令①AAOCSAAQP,

AOCO41

而=而，即丁口，

由于y=-x2+3x+4,

41

则有提―4-（-V+3x+4），

解得x=0（舍去）或》=上，此时，＞=之，尸点坐标为（:，耳）.

416416

②AAOCsAPQA,AQ^PQ

~CO~~AO

畔W，

由于y=-x+3x+4t

4-(-x2+3x+4)

则有

14

解得，x=0（舍去）或x=7,P点坐标为（7,—24）.

③P在y轴左侧时，令MOC^APQA,

丝二丝，即“I,

COAO14

y=-x2+3x+4,

.x-x2+3x+4-4

•.一=,

14

解得，x=0(舍去)或％=一1,P点坐标为(—1,0).

④P在/上方时，MOC^MQP,

AOCO41

---=---即—=-----

AQPQ99xy-4

4_1

••一=,

x-x+3x+4-4

解得，x=0(舍去)或》=口，尸点坐标为(U,§).

4416

(3)①如图(1),若对称点〃在y轴，则ZR4Q=45°,

设AP解析式为y=则％=1或一1,

当左=1时，把A(0,4)代入得y=x+4,

当人=一1时，把40,4)代入得y=-x+4,

此时P在对称轴右侧，符合题意，

「.y=%+4,或y=-x+4；

②如图(2),若对称点M在X轴,

设点。0,4),P(X,-X2+3X+4),则PQ="-3X=PM,

MEMs/\MFP.

,^AMMP

则n有——=——

MEPF

ME=OA=4,AM=AQ=x,PM=PQ=xi-3x,

.Xx1-?)x

"4"PF'

解得：PE=4x-12,

OM=(4x-12)-x=3x-12,

RtAAOM中，由勾股定理得。M2+QA2=,

222

.-.(3X-12)+4=X,解得％=4,X2=5,均在抛物线对称轴的右侧,

故点P的坐标为(4,0)或(5,-6).

设一次函数解析式为丫=履+"

把(0,4)(4,0)分别代入解析式得

b=4b=4

43=。,解得

k=-i9

函数解析式为y=-x+4.

把(0,4)(5,-6)分别代入解析式得

b=4b=4

5k=-^解得

+bk=-2

函数解析式为y=-2x+4.

综上所述，函数解析式为y=x+4,y=-x+4,y=-2x+4.

【点睛】

本题考查了二次函数解析式的求法、二次函数解析式、相似三角形的性质、翻折变换、待定系数法求一次

函数解析式等，题目错综复杂，涉及知识面广，旨在考查逻辑思维能力.

23.我们规定：对角互补的四边形，若其中一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们就把这个四边

形成为奇特四边形.这条对角线称之为奇特线.

(1)如图1,四边形A8CD是奇特四边形，ADUBC(AD^BC),奇特线AC恰好平分EI8CD,求她的度数.

(2)如图2,四边形A8C。内接于回。，。。回BC,AB=AD'求证：四边形ABC。为奇特四边形.

(3)在(2)的条件下，连接8D,AC,若AB=a,BD=b,请用含a,b的代数式表示AC.

EF

(4)如图3,在(2)的条件下，连结8。并延长交CD于点E,交回。于点F,连结FC,设tan!3Fa?=x,——

=V，求y与x之间的函数关系式.

【答案】(1)08=72"；(2)见解析；(3)AC="J(4)y与x之间的函数关系式为y=工(1-x2).

a2

【解析】

(1)由奇特四边形的定义得自BAD+EIBCD=180。，0B+fflD=18O°,由平行线的性质得I3D+E]BCD=18O。，则EIB=E1BCD,

证出回ADC和团ABC为等腰三角形，ijE0DAC=0ACB=0ACD,则AD=CD,分三种情况，①当AB=AC时，②当AB=BC

时，③当AC=BC时，分别求解即可；

(2)连接BD,由圆内接四边形的性质得EIA+(3C=I3ABC+EIADC=：18O°,证出AB=AD,0D所在的直线垂直平分

BC,则BD=CD,进而得出结论；

(3)作DM®AB于点M,DN回AC于点N,证I3BMDEEICND(AAS),得BM=CN,由角平分线的性质得AN=AM,

由三角函数得BM=CN=",进而得出答案；

2a

(4)连接BD,延长D。交BC于P、交团。于M,连接BM,由圆周角定理得团BCF=90。，证OP是团BCF的中

OEODBEDP

位线，HODC=0DCF,0DOF=0OFC,贝ljCF=2OP,0ODEEBFCE,得——=——，证——=——，由垂径定理得

EFCFEF0P

0BDO=0CDO=I3FCD,贝|BP=DP・tan回FCD=DP・x,PM=BP»tan0FCD=DP*x2,