重难点23 解三角形压轴小题十一大题型汇总（解析版）-决战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题23解三角形压轴小题十一大题型汇总

Osnii

题型1正余弦定理................................................................2

题型2取值范围问题..............................................................6

♦类型1转化角度法........................................................7

♦类型2正弦定理法.......................................................11

♦类型3正弦定理+辅助角..................................................15

♦类型4转化正切法.......................................................20

♦类型5余弦定理法.......................................................27

♦类型6建系法............................................................32

♦类型7转化函数.........................................................40

♦类型8二次型取值范围...................................................45

♦类型9基本不等式.........................................................51

题型3中线问题.................................................................55

题型4角平分线问题.............................................................61

题型5高线问题.................................................................64

题型6四边形问题...............................................................69

题型7多三角形问题.............................................................75

题型8与向■结合问题...........................................................80

题型9实际问题.................................................................88

题型10正余弦定理与立体几何...................................................96

题型11正余弦定理与解析几何..................................................108

题型1正余弦定理

上年

即出重点

正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具，根据已知条件和所求未知量的不同，选

择合适的方法可以更加高效地解决问题，通过运用这两个定理，可以帮助我们求解各种未知

边长和角度，在解题过程中，我们还可以利用三角形内角和为180度来辅助求解.

【例题11（多选）（2023•山西阳泉统考三模）设&ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,

c.若sinA=cosB=tanC,则下列说法正确的是（）

A"+B=TB.24+C=：C,a>bD.Ob

【答案】BCD

【分析】由sinA=cosB,得到4+B=]或4+1-B=n,推出24+C=y,判断AB;由

4>B得到C正确；由三角函数的单调性结合导数得到D正确.

【详解】因为△4BC中，sinA=cosB=sinQ-,所以4+B=]或4+^-B=n,

当A+B=/时，C=：,由于tanC无意义，A错误；

当4+时，4=]+B,

此时C=U-A-B=T1-A-（A-^=^--2A,故24+C=y,B正确；

因为4=]+8,所以4>B,由大角对大边，得a>b,C正确；

因为C=^-2B,所以cosB=tanC=tan售-28）=竺,

§P2sinBcos2B=cos2B=>2sin3B—2sin2B—2sinB+1=0,

令t=sinB6（0,1）,/（t）=2t3-2t2-2t+l,tG（0,1）,

则/Q)=6t2-4t-2=2(3t+l)(t-l)<0,所以/(t)单调递减,

又fC)=H-1+1<0,f(sinB)=0,所以sinB<|,

所以B<=X<?,C>7,所以c>b,故D正确.

故选：BCD.

【变式1-1]1.(2023•全国•高三专题练习)在aABC中,/.CAB=90。，4B=3,AC=4,

P为A力BC内一点，若4PBA-Z.PCB-Z.PAC-a,贝(jtana-.

【答案】g

【详解】设P4=x,PB=y,PC=z，在△P4B中，由余弦定理得cosa=:z卓xjx了y=空b亭y日,

又S@P4B=JX3Xyxsina,所以sina=2,易知cosa*0,

所以tana=肃片z,即(9+y2-x2)tana=4sAp.，①

同理可得，(25+z2-y2)tana=4s4PBe,②

(16+x2-z2)tana=4sApc4③

①②③相加，得50tana=+ShPBC+S^PCA),

又SAPAB+S^PBC+SHPCA=SAABC=6,所以tana=—.

【变式1-1】2.(2023•全国•高三专题练习NABC的内角的对边分别为a,hc,若a+

b=8,cosC=|,fiAABC的面积为3遍,则c=.

【答案】2V7

【分析】根据平方关系求出sinC，由余弦定理得320-5c2=12ab①，由叉.。=3声求出ab

代入①可得答案.

【详解】因为0<C<TT,cosC=i,所以0<C<5,

所以sinC=V1—cos2C=Jl—蚩=筌,

由余弦定理得cosC=f=嘤-辔芷=i,

即320-5c2=12ab①,

由SMBC=^absinC=2x平=3V6,

得ab=15代入①可得c=-2V7(舍去)，c=2V7.

故答案为：2V7.

【变式1-1]3.(2022•全国•高三专题练习)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+

sin(j4—B+C)=sin(C—A—B)+；,△ABC的面积S满足1<S<2，记a,b,C分别为A,

B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是()

A.ab^a+Z?)>16&B.bc(b+c)>8

C.6<abc<12D.12<abc<24

【答案】B

【分析】根据三角恒等变换公式得到sinAsinBsinC=\，确定产=4s，根据面积范围得到2<

O

R工2或，得到8<abc<16V2,再依次判断每个选项得到答案.

【详解】sin24+sin(4-8+C)=sin(C-A-8)+；,

贝！]sin24+sin(TT-2B)=sin(2C-7T)4-1,即sin24+sin2B+sin2C=|,

故sin2A+sin[(B+C)+(B—C)]+sin[(8+C)—(8—C)]=[

2sin/lcos/l+2sin(B+C)cos(F-C)=|,

即2sirM(cos(B—C)—cos(8+C))=|f2sin4•(2sin^sinC)=]

整理得至llsinAsinBsinC=

8

设外接圆的半径为R,由正弦定理可得：合=七=三=2R,

sin/ls\nBsinC

S=^absinC,故sin/sinBsinC=+=:,即R2=4s,

1<S<2,故/(%)=i4sin(cox+w),即2<R<2\[2,

abc=sinAsinBsinC-8R3=R3,则8<abc<16V2,

对选项A：ab(a+b)>abc>8,即ab(a+b)>8,但ab(Q+b)>16近不一定正确；

对选项B:bc(b+c)>abc>8,即bc(b+c)>8,正确；

对选项C：8<abc<16V2,不一定正确；

对选项D：8<abc<16-/2,不一定正确；

故选：B

【点睛】关键点睛：本题考查了三角恒等变换，三角形面积公式，正弦定理，以此考查学生

的计算能力转化能力和综合应用能力，其中利用三角恒等变换公式将条件转化为8<abc<

16立是解题的关键.

【变式1-U4.(2023•江西赣州•统考模拟预测)已知△ABC的内角A,B,C所对边的长

分别为a,b,C，已知△ABC的面积S满足(b+c)2=(4V3+8)S+a2则角A的值为.

【答案】=

o

【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得cosA+1=(V3+2)sin4

求解cosA可得角A的值.

【详解】由已知得/+c2-a2+2bc=(4V3+8)S,

根据余弦定理和三角形面积公式，

得2bccosA+2be=(V3+2)-2bcsin4,

化简为cosA+1=(V3+2)sinA,

由于4G(0,Tl),所以cos4+1=(>/3+2)V1—cos2/l,

化简得(4+2V3)cos2/l+cosA-(3+2⑹=0,

即[(4+2g)cosA-(3+2V5)](COSA+1)=0,

解得cos4=y,或cos4=-1(舍)，

由于4G(0,n),所以4=

故答案为：=

o

【变式1-1]5.（2023・全国•高三专题练习）在Rt△4BC中,斜边为4B，点。在边上,若

tanz-BAD=—,sinzylDC-sinB=-,则"一”?=

【答案】等1

【分析】由tan484。=乎,结合同角关系求出sin/BAD,cos^BAD,结合三角形面积公式

4

证明BD=AC,ABAD=3BD2,再根据余弦定理列关系式求票若即可.

ABAD

【详解】因为tan乙BAD=4，所以=T,又（siM8AD）2+（cos血。产=1,

/.BADG（0,；）,所以sin4B/D=|,COSZ.BAD=手，

△480的面积S=-AB-ADsinz.BAD=-AB-AD,

26

△4BD的面积S=加。•AC,所以38。-AC=AB-AD,

因为Sin/ADC•Sins=-,所以生■—=-,故34c-AC=AB-AD,

3ADAB3

所以BDAC=AC-AC,故BD=AC,所以4B-AD=3AC-AC=3BD2

由余弦定理可得COS/BAD=3或:B,又C0S4B40=乎,

er-p|2V2_毋+心_BD?_二”+心_1

班人3-2ABAD2ABAD~2ABAD6'

r-i\iAB2+AD2472+1

所C以=

故答案为：噜.

题型2取值范围问题

C，*

划重点

解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问

题，或与角度有关的范围问题，

常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；

②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，

或其他的限制，通常采用这种方法；

③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

♦类型1转化角度法

【例题2-1】(2023•全国•高三专题练习)△4BC中，角A,B,C满足cos2A-cos2B=

2sinC(sinB-sinC),则由+2的最小值为

tanBtanc--------

【答案】争|百

【分析】利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得4,利用三角函数的最值的求法求得

7^7+7^7的最小值.

tanBtanC

【详解】依题意/cos2A—cos2B=2sinC(sinB—sinC),

1—2sin12/l—(1—2sin2^)=2sinCsin^—2sin2c,

sin2B+sin2C—sin2/l=sinBsinC,由正弦定理得炉+c2—a2=bc,

所以cos4=号*=；>0,所以4为锐角，且A=9

2bc23

11cosBcosCsinFcosC+cosFsinC

-----1-----=------1-----=--------------------

tanFtanCsinBsinCsinFsinC

_sin(B+C)_sinA_V3

'sinBsinC.sinBsin,+4厂2sinBsin(B+9

=__________V3__________V3

c.D.D,百\sin2B+V3sinficosB

2sinBI2sinB+-g-cosBD1

_V3_V3

1-cos2B.V3.V3.1,1

----y----H—sinzD-y-sin2OoD-5cos2O8D+5

乙------乙乙乙乙

=/再…,由于0<B<生且B*-,

sin(2B-S)+13a2

所以-'<28-/且2B-冲,

所以-i<sin(2B-2)<1,0<sin(2B-9TI,

所以.A?RIN誓，当2B-,8=3C=提等号成立.

Sin(2B--J+-36233

所以2+方的最小值为尊

tanstancs

故答案为:竽

【点睛】利用正弦定理或余弦定理来求角时，要注意角的范围，如sin4=J,则4可能是7或

26

U•求解含角的表达式的最值或范围时，首先将表达转化为一个角的形式，如转化为丫=

O

i4sin(o)x+3)+B等形式,取艮据3%+@的范围求彳导y=71sin(cox+9)+B的范围.

【变式2-1]1.(2023秋•重庆・高三重庆一中校考开学考试)在中，若sinA=

2cosBcosC,则COS2B+cos2c的最大值为

【答案】空

【分析】先由题证明得cos?%+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,再化简得COS2B+

COS2c=»4sin(2A+?,再利用三角函数的图像和性质求出最大值.

【详解】首先证明：在^ABC中,有COS224+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=1,

在^ABC中，由余弦定理得a?4-62—c2—2abcosC=0,

由正弦定理得sinA?+sin^2-sinC2—2sinAsinBcosC=0,

令cos??!+COS2B+cos2c+2cosAcosBcosC=M,

上述两式相加得M=2+cos2C—sin2C+2(cosAcosB-sin4sin8)cosC

=24-cos2C-sin2C+2cos(/I+B)cosC

=2+cos2C—sin2c—2cos2c=2—(cos2C+sin2C)=1

所以COS2B+COS2C=1—cos2y4—2cosAcosBcosC

l+cos27l11

=1-----------sinAcosA=---(sin24+cos2A)

=i-^sin(24+5<^i,

当sin(24+》=-1即4=：11时取等.

故答案为：害.

【变式2-1】2.(2023秋•重庆•高三统考学业考试)已知锐角AABC中,内角人B、C的

对边分别为a、b、c,a2=b2+be,若cos(C-B)+AcosA存在最大值,则实数A的取值范

围是()

A.(O,V5)B.(1,V3)C.(0,2)D.(2,4)

【答案】C

【分析】利用余弦定理结合正弦定理化简可得出4=28,根据AHBC为锐角三角形可求得

角B的取值范围，利用二倍角公式以及诱导公式化简得出cos。-B)+AcosA=-2COS22F+

Mos2B+1，求出cos2B的取值范围，根据二次函数的基本性质可得出关于实数力的不等式，

解之即可.

【详解】由余弦定理可得a?=b2+c2—2bccosA=b2+be,则c—2bcosA=b,

由正弦定理可得sin8=sinC-2sinBcosA=sin(A+B)—2cos4sinB

=sinAcosB+cosAsinB—2cosAsinB=sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B),

因为△ABC为锐角三角形，则。<4<,0<B</所以，-六4-B</

又因为函数y=sinx在内单调递增，所以，4一B=B,可得4=2B,

nroVn

-<-

0VA<22

nnn

即o2B<

-<<-<<-

0<B<224

nn

<n<

-一-

0<C<2I3B2

cos(C—B)+AcosA=cos(IT-148)4-Xcos2B=4cos28—cos4B

=-2cos22F+Acos2^+1,

因为T<2B<T,则0<cos2B<|,

因为一2cos228+因os2B+1存在最大值，则0<4<'解得0<2<2.

42

故选：C.

【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：

①利用sinx和cosx的最值直接求；

②把形如y=asinx+bcosx的三角函数化为y=Asin(a)x+s)的形式求最值；

③利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求最值；

④形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c转换成二次函数求最值.

【变式2-1]3.（多选）（2023秋•河南•高三郑州一中校联考阶段练习）用长为3的铁丝

围成△ABC,记aABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60。，则（）

A.存在△ABC满足a,b,c成公差不为0的等差数列

B.存在△力BC满足a,b,c成等比数列

C.△ABC的内部可以放入的最大圆的半径为£

D.可以完全覆盖△ABC的最小圆的半径为产

【答案】BCD

【分析】利用余弦定理及等差中项结合条件可判断A,利用等比中项的性质结合条件可判断

B,利用余弦定理及三角形面积公式可得三角形内切圆半径的最大值进而判断C,利用正弦

定理及三角函数的性质可得三角形外接圆半径的最小值判断D.

【详解】依题意知Q+b+c=3,由余弦定理，得。2=a2+c2-2acC0SB=a24-c2-ac.

对A,若a,b,c成等差数列，贝!12b=a+c,所以缺殳=a2+c2-ac,

所以（a-c）2=0,a=b=CMb,c为常数列，故A错误;

对B,若a,b,c成等比数列，贝（IF=ac,所以ac=a2+c2-ac,即（a-c）2=0,a=b=c,

所以当△ABC为等边三角形时a,瓦c成等比数列，故B正确；

对C,由。2=@2+=（3—Q-c）2,得ac=2（a4-c）—3>4y/ac—3,解得ac<1或

ac29（舍），

所以△4BC的面积S=iacsinB<手,△ABC的内切圆半径为二3,当且仅当a=c=

24a+b+c6

b=1时取等号，

所以△4BC的内部可以放入的最大圆的半径为手,故C正确；

O

对D,由正弦定理可得：2R=ba+b+c3其

o=~r^

sin60°sin4sinCsin60+sin,-4+sinC-y+sinX+sin(120o-i4)

中R为△4BC外接圆半径,

因为sirL4+sin(120°-4)=sinA+sinl20°cos4—cosl20°sin4=|sinA+4cos4=

gsin(4+30°)<V3,当且仅当4=B=C=60。时，等号成立，

所以2R所以可以完全覆盖△ABC的最小圆的半径为口，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题的CD项较难，关键是把问题转化为求三角形的内切圆半径及外

接圆半径，然后利用基本不等式及三角形的有关知识即得.

♦类型2正弦定理法

【例题2-2](2023秋・重庆•高三统考阶段练习)△48c中，sing-B)=cos24，则若的

取值范围是()

A•(T,3B•(13C.(：,|)D.G,§

【答案】B

【分析】化简得到cosB=cos2A,从而得到24=B，得到C=n-34，4C(0(),利用正

弦定理得到鬻=-2―,从而得到任浮的取值范围.

AB2cos4+1AB

【详解】sin(；—B)=cosB=cos2A,

在44BC中，A,Be(0,n),故2A=B或24+B=2n,

当2A+8=2n时，4+g=TT,故4+B>n,不合要求，舍去，

所以2A=B,C=1X-A-B=TX-A-2A=TX-3A,

因为A,B6(o,n),所以24e(o,n),即46(0彳),

因为C=n-3Ae(O,TT),所以A6(0,§,

由正弦定理得当=等=与，

AC-BCsinB-sinAsin24—sin42sin4cos4-sim4

故

ABsinCsin(n-34)sin(2X+i4)盖鬻鹏因为9),所以

sinAH0,

故若2C0S4-12cos4-12cos4-l

2COS2A+COS2A4cos2i4-l(2cos4-l)(2cosi4+l)

因为4W(0,1),所以2cos4—1>0,

故竺*=」.

AB2cos4+l

因为4e(0o,,5,所以cosAeg,1)；2cosyl6(1,2),2cosA+1€(2,3),

故的C-BC--e

AB2cos4+1I-D

故选：B

【变式2-2]1.(2022秋・安徽马鞍山•高三马鞍山二中校考期中)在锐角44BC中,A=2B,

则静勺取值范围是

A.(-1,3)B.(1,3)

C.(V2,V3)D.(1,2)

【答案】D

【分析】根据在锐角4ABC中，每个角都是锐角确定B的范围，利用正弦定理以及三倍角的

正弦公式，化简表达式，求出范围即可.

【详解】在锐角中,

n

0<2/.B<-

n

{0<ZB<-

n

0<7T-3LB<-

可彳黑一B</

COSB£(y,y),COS2B€(|,^),

所以由正弦定理可知*=;=sinCsin3B3sinB-4sin^B

ACbsinBsinBsinB

=3-4sin2B=4cos2B-1G(1,2),故选D.

【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，三倍角的正弦公式，属于中档题.正弦定

理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种:（1）知道两边和一边的对角，求另一

边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对

边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

【变式2-2]2.（2023•全国高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分

别为a,b,C,已知acOSB-bcosA=b,则3的取值范围是（）

a+c

A.停用B.（2-V3,l）

C.（2—y/3,y/2—1）D.（y/2+1,y/3+2）

【答案】C

【分析】由正弦定理边化角得到4=2B，由锐角三角形求出？<B<%然后将H的取值范

64a+c

围转化为函数的值域问题求解即可.

【详解】因为aCOSB—bcosA=b,所以由正弦定理得：sinAcosB—sinBcos4=sinB,

即sin（A-B）=sinB,所以一8=8,即A=28,又4+B+C=Tl,所以C=n-3S.

(TI

’0<4Vn0<2B<-

22

n

因为锐角三角形ABC，所以<0<B<即<0<B，解缺<B<?

264

0<C<n0<n—3B<—

I2I2

bsinBsinBsinB

a+csinA+sinCsin2S+sin(TT--38)sin2S+sin3F

_sinB_1_1

sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB2cosfi+2cos20+2cos2i5-l4cos2fi+2cosfi-l

令cosB=t,因为?<B<：,所以t6(当，?),

则京=小国e仔多单调递减，

所以W€(2-V3,V2—1).

故选：C.

【变式2-2】3.（2023河南校联考模拟预测）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,

若cosQ4+2C)=sin2c-cosA,C,则“孚-+13的值可为()

2

A.4V3B.6A/2C.8>/3D.16夜

【答案】D

【分析】根据三角恒等变换结合条件可得B=?+C,然后利用正弦定理可得空手+13=

2

12sin2C+-^-,再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.

smzC

【详解】由题知cosQ4+C+C)=sin2c—cos(A+C—C),

则cosQ4+C)cosC—sin(/I+C)sinC=sin2C—[cos(»+C)cosC+sin(A+C)sinC],

即2cosc4+C)cosC=sin2C=2sinCcosC,

因为。H1,所以COSC工0,则cos(A+C)=sinC,

所以sinC=-cosB=sin(8-，则8=]+C,8为钝角，C为锐角，

3sin2g—2C)+cos2C

+13=siMC+：sin2c

3cos22c+COS2c

sin2C

3(l-2sin2C)2+l-sin2C+13=12sin2C+-^-,

因为B=2+C,则A=n-B-C=N-2C>0,则0<C<N,则0<sin2c<-,

2242

令t-sin2ct贝[|12sin2c4—.2=12t4—；令/(t)=12t4—,0vtv-t

sinctt2

则广⑴=12-卷=七<0,

所以f（t）在（o,3上单调递减，又fG）=14,则吆式+13>14,

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到B=]+。，然后利用边角互化

及换元法把问题转化求函数最值，再利用导数即得.

【变式2-2]4.（2023・广西南宁•南宁三中校考模拟预测）在锐角必江中，角4B,C所对

的边分别为a,b,c,若cos4=竽,则二的取值范围是（）

A.(|,l)B,g,l)

C.(l,+°o)D.&+°°)

【答案】A

【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得sin(4-C)=sinC,进而有

A=2C,再把胃化为确定C的范围，应用余弦函数性质求范围即可.

c+b2cos4c

【详解】由cos/=—=sin"sinc则sinB—sinC=2sinCcos/l,

2c2sinC

所以sin(A+C)-sinC=sin/lcosC+cosAsinC—sinC=2sinCcosA,

则sinAcosC-cosylsinC=sin(4-C)=sinC,

所以4一C=CgJU—C+C=A=TT(舍)，故A=2C,

好上—=2sinc=2sinc=2sinC且sinC>0

'c+bsinC+sinBsinC+sin(i4+C)sinC+sin3C1

所以主=-------------------,

c+bsinC+sin2CcosC+cos2CsinC

_2sinC_1

sinC+2sinCcos2C+(2cos2C-l)sinC2cos2c'

1<A+C=3C<n

0<A=2C<^,可缺<c<；,则当<cosC<亨，

{°<C<I

所以2cos2ce(1,|),故篇e(|,1).

故选：A

【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即4=2C，再把目标式，由边化角得名

c+b

求范围.

2cos2c

♦类型3正弦定理+辅助角

【例题2-3】(2023秋•重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)在锐角△ABC

中，角481的对边分别为(1,仇J5为448。的面积，<1=2，且2S=a2-(b-c)2，则AABC

的周长的取值范围是（）

A.(4,6]B.(4,2V5+2]

C.(6,2A/5+2]D.(4,75+2]

【答案】C

【分析】利用面积公式和余弦定理可得tanT=1,tan/l=g,然后根据正弦定理及三角变换可

得b+c=|(sinB+sinC)=2V5sin(fi+(p),再根据三角形是锐角三角形，得到B的范围，

转化为三角函数求值域的问题.

【详解】2S=a2—(b—c)2=a2—b2—c24-2bc=2bc—2bccosA,

・•・S=he-bccosA=-besinA,

2

..1—cos-4=gsin4,即ZsiM=singcos~1A为锐角,

.A1.14..4.3-r—j日

..tan-=-/tan?!=—=-zsin/l=-fcosA=-,乂a=2,

4

由正弦定理可得’4=号=95

sin/lsinBsine2

所以b4-c=|(sinB+sinC)=j[sinB+sin(4+B)]

5/34\

=-\sinB+-sinF+-cosB]=4sinS+2cosB

=2V5sin(B+(p),其中tang=1=^,

因为△ABC为锐角三角形，

所以]-A<B<^,贝吟-A+<p<B-i-(p<^+(p,

即：+3〈巴+C,

22*22'

所以cosg<sin(F+(p)<l,又cos?=专,

.*.4<2\/5sin(B+w)4275,即b+c€(4,2\/5|,

故^ABC的周长的取值范围是(6,2遥+2].

故选：C.

【变式2-3]1.(2022秋•四川成都•高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中)在

△ABC中,BC=MAC,LBAC=g，点。与点B分别在直线AC的两侧,S.AD=1,DC=V3,

则BD的长度的最大值是()

A.V3B.3V3C.3D.-

2

【答案】B

【分析】根据已知条件可以判断△ABC是直角三角形，且随着乙4DC的变化△4BC三条边的

长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定乙4DC与边的变化关系，再构

造一个关于边的三角形，根据乙4DC与边的关系在新构造的三角形中解出BD的表达式，

找出最大值.

【详解】由8c=y/3AC=>—=V3=tanzlBAC可知，△ABC^ABC=-,^ACB=2的直

AC62

角三角形，如图所示:

A

设4c=x,BC=,乙ADC=6,则由余弦定理

2

彳导AC?=AD2+CD2_2AD.CD-cos。,SPx=1+3-26cos。=4-2V3cos0

由正弦定理得‘g,所以xsin乙4CD=sind.

sinz.ACDsin。

连接BD,在^BCD中,由余弦定理，得BO?=BC2+CD2-2BC-CD•cos乙BCD

BD2=3x2+3—2\/3xV3xcos(g+ZJ1CO)

=3x2+3+6xsinz.i4CD

=3x2+3+6sin0

=3(4—2A/3COS0)+3+6sin0

=15+6sin0—675cos。

=15+12sin(9-9<27

当。=1g=当时，BD的长度取得最大值，为36

故选:B

【点睛】思路点睛：

可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题(以本题为例)：

①确定变动图形的变化规律：如上题AABC的变化是角度不变，边长可等比例变化

②确定图形变化与某个变量的联系：N4DC变化T4c发生变化T△ABC整体变化

③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学

生根据已知条件活用所学的数学知识.

【变式2-3]2.(2022秋•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习)在锐角中，若

遮sin/1(詈^+=sinBsinC,且遮sinC+cost7=2,则a+b的取值范围是()

A.(2V3,4]B.(2,2网C.(0,4]D.(2,4]

【答案】A

【分析】由百sinC+cosC=2,可得C=”再结合正弦定理将百sin4(管+等)=

sinBsinC中的角化边，化简整理后可求得号=3=白=竽；根据锐角4A8C和C=g,

sin/lsmfismC33

可推出4eG,勺，再根据正弦定理可得a+b=容⑶必+sinB),最后结合正弦的两角差

oL3

公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解.

【详解】由bsinC+cosC=2sin(C+乙)=2,得C+囚=工+，k€Z,

662

__TT、cn_4_B3；cos/l,cosCsinBsinCr+n-T-»t±nTE占cosA,cosC

•・・C€(0,0，・・,C=]由题丁+丁=0r，由正弦定理有丁+丁=温=五，故

=bgPcos?l-sinC+sinA・cosC=,故sin(4+C)=sinB=—,

sin4sinC2sin4'24''4'

即号=竽，由正弦定理有白=W3=竽，故a=殍sinA,b=竽sinB,又锐角

s\nB3sin4sinBsine333

AABC,且C=:二4€(0*),8=?-4C(0,勺，解得4€弓，勺，；.a+b=竽(sinA+

JNSNoZ5

sinB)=#[sin/4+sin(与-A)]=#(sin/+cosA+|sinA)=4sin(4+：),

•，E(『力，"+96(9争，sin(4+6(y,1]r

・•・a+b的取值范围为(2g,4].

故选：A.

【变式2-3］3.（2022秋•广东广州•高三中山大学附属中学校考期中股^ABC的面积为S,

Z.BAC=e,已知四-AC=4,2<S<2>/3,则函数/（。）=V3sin2+;）+cos?。的值域

为.

【答案】［萼，野］

【分析】由向量数量积公式和三角形面积公式得到1<tan。<V3,求出。Gg,2］,三角恒

等变换化简得到/X。）=sin（20+］+萼，结合9的范围，结合正弦函数图象求出值域.

【详解】由题意荏-AC=\AB\-|祠COS。=4,2<i|^4B|•|属sin。<2G,

所以］Mtan6<V3,所以86［：图,f（0）=V3sin2（。+：）+cos20=y［1-cos（20+

TT^j+1+COS2g

=­sin204--cos20+匕巨=sin（2d+?）+上星,

222\6721

因为9e哙%所以2。+上巳羽,

L45JOLooJ

所以当2。+合务即"泗，/⑹取得最小值，最小值为等；

当28+：=g,即"即寸，f⑹取得最大值，最大值为一；

故/⑹6［萼,管］.

故答案为：铝竽

【变式2-3］4.（2023•全国•高三专题练习）在44BC中，角力，B,C所对的边为a,b,c,

若嘤警=等+等，且448。的面积，谢=1（。2+/一©2）,则令的取值范围

DSln/iCLC4u+D

是,

【答案】［pl）

【分析】由面积公式及余弦定理求出c,再由正、余弦定理将角化边，即可求出C,再由正

弦定理及三角恒等变换公式将三转化为关于4的三角函数，最后由三角函数的性质计算可

得；

【详解】解：由SMBC=?（小+非-C?）,.・・^absinC=?（小+垓一/）,

又M+炉—2abcosC,所以gabsinC=，-2abcosC,

，tanC=V3,v0<C<7TzAC=60°,

V3.

sinBsinC1—s\nBDcosA

-X-----

3sin43sinAa

y/3bb2+c2-a2,a2+b2-c22b2b

—X-=---------+--------------=—：•c=2>/3,

6a2abc2abc2abcac

由正弦定理得2R=^=第=4,

所以a+b=4sin4+4sinF=4sinA+4sin售—A)

27r271

=4sinZ+4sin—cos/4—4cos—sin/l

33

=6sin/l+2百cos/=4^3(/sinA+|cos/lj=4V3sin(i4+?),

因为。<4<g,所以汴4+汴高所以sinb+m”,

4V3sin(4+J)6(2百,4网,

._£__2」