2023高考数学复习必备试题直线圆的位置关系

直线、圆的位置关系

【课标要求】

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

5.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。

二.【命题走向】

本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），

此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性

质或方程知识

预测2010年对本讲的考察是：

（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；

（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考

察也会是一个命题的方向；

（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力

三.【要点精讲】

I.直线L与直线U的的平行与垂直

（1）若卜g均存在斜率且不重合：

@1//1,<=>k-k2：②k,k2=-l»

（2）若/:Ax+By+C=0,I:Ax+By+C=0

11t12222

若A、［、J都不为零。

ABC

222

@1,-L12<=>4y2+”鸟=0；

AB

③L与%相交=h*记；

22

ABC

④L与U重合

222

注意：若&或约中含有字母，应注意讨论字母=0与工0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数

取决于这两条直谈的方程组成的方程组的解的个数

2.距离

⑴两点间距离：若A(x/yJ,B(x,,y,),则|A8|=J(x,"+(y,—1)2

特别地：AB//X轴，则=-x,I、AB//y轴，则|AB|=I-北I。

（2）平行线间距离：若+协+q=0,/j加+5），+q=0,则：

。注意点：X,y对应项系数应相等

A2+B2

IAx+By+Cl

(3)点到直线的距离：P(x,y),1：Ax+By+C=O,则p到i的距离为：d=J_y°।

°°JA2+B2

3.直线Ax+By+C=O与圆(x-a)2+(y-/?)2=仁的位置关系有三种

(1)若d=\Aa+Bb+C\,d>ro相离=△<()；

JA2+Bi

(2)d=ro相切=△=()：

(3)d<ro相交u>A>0。

Ax+By+C=Q

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组<一.尸八求解，通过解的个数来判断；

X2+yi+Dx+Ey+F=0

(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点)，直线与圆相交；

(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点)，直线与圆相切；

(3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点)，直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△,圆心C到直线1的距离为d,则直线

与圆的位置关系满足以下关系：

相切=d=r=A=0；

相交=d<r=A>0；

相离=d>r=A<0o

4.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为01,o2,半径分别为,r2，\OOI\=do

d>r=外离=4条公切线；

12

d=r+r=外切=3条公切线；

12

\r-r\<d<r+r。相交u>2条公切线.

1I2112

d=卜-r|=内切o1条公切线；

1I21

0<1<卜-r|=内含。无公切线；

1121

外离外切

相交内切内含

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决

四.【典例解析】

题型1:直线间的位置关系

例1.(全国II文15)已知圆0：X2+>2=5和点4(1,2),则过A且与圆。相切的直线与两坐标轴围成

的三角形的面积等于

15

【解析】由题意可直接求出切线方程为)，-2=一,(片1),即x+2>-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和,

15u25

所以所求面积为2'5、5=彳。

25

【答案】—

4

【总结点评】本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及

定性地分析问题和解决问题的能力.

(2)己知两条直线/:ax+3y-3=0/：4x+6y-l=0.若/〃/,则4=______。

12I2

1

解析：(1)答案：—;(2)2。

点评：(1)三点共线问题借助斜率来解决，只需保证(2)对直线平行关系的判断在一般式

方程中注意系数为零的情况。

例2.已知两条直线>=以-2和y=(a+2)x+l互相垂直，则a等于()

A.2B.1C.0D.-1

(2)(2007安徽理，7)

若曲线了=》4的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的方程为()

A.4x-y-3=0B,x+4y-5=0c.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解析：(1)答案为D；(2)与直线x+4y-8=°垂直的直线/为4x-y+m=°,即y=x4在某一点

的导数为4,而>'=4x3,所以y=G在a,1)处导数为%此点的切线为4x—y—3=0,故选A。

点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。

题型2：距离问题

例3.将直线2x—)，+无=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切，则实数

九的值为()

(A)—3或7(B)-2或8(C)0或10(D)l或11

【思路点拨】本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件

就可解决.

【正确解答】由题意可知：直线2x—y+入=0沿x轴向左平移1个单位后的直线/为：

2(x+l)-y+入=0.已知圆的圆心为。(-1,2),半径为J5.

解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有

l2x(-l+l)-2+X|.

―-一黄--------=邪,得九=一3或7.

解法2：设切点为C(x,y),则切点满足2(x+l)—y+九=0,即y=2(x+l)+九，代入圆方程整理得：

5x2+(2+4九)x+(九2—4)=0,(*)

由直线与圆相切可知，(*)方程只有一个解，因而有八=0,得九=一3或7.

y—2

解法3：由直线与圆相切，可知CO_L/,因而斜率相乘得一1,即一x2=-l,又因为C(x,y)在圆上,

x+1r

满足方程》2+尸+2》—4y=0,解得切点为(1,1)或(2,3),又C(x,y)在直线2(x+1)—y+九=0上，解

得九=-3或7.

(2)(湖北文14)过原点。作圆x2+*-6x—8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q,

则线段PQ的长为。

【解析】可得圆方程是(x—3”+(y-4”=5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得|P0=4.

例4。(圆、向量与三角函数)

设A、B为圆X2+/2=1上两点，o为坐标原点(A、0、B不共线)

(I)求证：04+08与04-08垂直.

7CTC7C3

(II)当=e(-丁，下)，且。4。8=工时.求§抽9的值.

4445

解：(])由I。41=1OB1=1得IOA|2=lOB|2=1

则OA2=OB2={

则OA+OB与。A-OB垂直

(H)由ZxOA=—得OA=(cos—,sin—)

444

又NxOB=0OB=(cos0,sin0)

3兀兀3

由OAOB二—得cos—cos。+sin—sin0二一

5445

兀八3

即cos(—-6)=-

凡f

2510

点评：该题全面综合了解析几何、平面儿何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.

题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理

和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程

度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度

题型3：直线与圆的位置关系

例5.(2009江苏卷18)(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，己知圆C：(x+3)2+(y-l)2=4和圆

I

C:(X-4>+(^-5)2=4.

2

(1)若直线/过点A(4,o),且被圆q截得的弦长为2JI,求直线

'的方程；

（2）设p为平面上的点，满足：存在过点尸的无穷多对互相垂直的直线/和/，它们分别与圆£和圆c相

12I2

交，且直线（被圆q截得的弦长与直线/,被圆c,截得的弦长相等，试求所有满足条件的点尸的坐标

解（1）设直线/的方程为：y=^（x—4）,即去一＞一4上=0

由垂径定理，得：圆心q到直线/的距离/=/2-（¥）2=1,

结合点到直线距离公式，得：'I-----=1

也2+1

7

化简得.24左2+7k=0,&=0,or,k=——

24

7

求直线’的方程为：y=0或y=一方（尤一4）,即y=0或7x+24y_28=0

(2)设点P坐标为直线(、/,的方程分别为：

y-n=k(x-m),y-n=-L(x-m),即：kx-y-\-n-km=0,-1%一y+〃+=0

kkk

c

因为直线4被圆q截得的弦长与直线（被圆2截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂径定理，得：：圆心q到直线〈与c2直线的距离相等。

,4.1.

故有I-\+n-km\_工+〃+]〃？

VT77TK7?

\k2

化简得：(2-m-n)k=m-n-3,或(加一〃+8)&=m+n-5

2-m-n=0,

关于上的方程有无穷多解，有：，，或v，

m-n-3=0

解之得：点p坐标为（一;T）或

例6.已知圆M：（x+cos?）2+（y—sin?）2—1,直线/：），=kx,下面四个命题：

（A）对任意实数k与？，直线/和圆M相切；

（B）对任意实数k与？，直线/和圆M有公共点；

（C）对任意实数?，必存在实数k,使得直线/与和圆M相切；

（D）对任意实数k,必存在实数?，使得直线/与和圆M相切

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）

解析：圆心坐标为（-cos?,sin?）

d=

故选（B）（D）

点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。

题型4：直线与圆综合问题

例7.（江西理16）.设直线系M：xcos0+（y-2）sin0=1（04042兀）,对于下列四个命题:

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在〃中的任一条直线上

C.对于任意整数〃(〃23),存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上

D.”中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).

【解析】因为％8S。+(>-2川110=1所以点2(0,2)到“中每条直线的距离d=——，-^=1

7COS20+sin20

即M为圆。：心+()，-2)2=1的全体切线组成的集合,从而“中存在两条平行直线，

所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以B正确；

对任意n>3，存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，

故命题中正确的序号是B,C.

【答案】B,C

例8.(江西理16).设直线系“：xcose+(y—2)sin@=1(04042兀),对于下列四个命题：

A.〃中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在”中的任一条直线上

C.对于任意整数"(〃23),存在正〃边形，其所有边均在用中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).

【解析】因为xcos9+(y-2)sine=1所以点P(0,2)到“中每条直线的距离“=刀-----------==1

7cos20+sin20

即M为圆。：心+(丁-2)2=1的全体切线组成的集合,从而“中存在两条平行直线，

所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以B正确；

对任意”23,存在正”边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误，

故命题中正确的序号是B,C.

【答案】B,C

例9.(江西理16).设直线系M：xcos9+(y—2)sin0=1(0=042兀),对于下列四个命题：

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在M中的任一条直线上

C.对于任意整数”(〃23),存在正〃边形，其所有边均在“中的直线上

D.知中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).

【解析】因为xcos0+(y-2)sin0=1所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d=——=1

7cos20+sin20

即“为圆0：%2+(>-2)2=1的全体切线组成的集合,从而用中存在两条平行直线,

所以A错误；

又因为(0,2)点不存在任何直线上，所以B正确；

对任意〃23，存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误,

故命题中正确的序号是B.C.

【答案】B,C

例10.己知函数人x)=m-1(x21)的图像为£,曲线C2与£关于直线广比对称。

⑴求曲线C?的方程产g(x)；

(2)设函数产g(x)的定义域为M,X2GM,且七金》2，求证lg(xj—8。2)1<%一引；

(3)设4、8为曲线C,上任意不同两点；证明直线AB&直线厂x必相交。

解析：(1)曲线g和C2关于直线y=x对称，则g(x)为/)的反函数。

Vy=X2—1,x2=y+1,又.\x=yjy+1,则曲线C2的方程为g(x)=Jx+1(xNO)。

(2)设X],4£M,且玉工与，则々一々WO。又X]20,

•••IgQJ-g&XT占1+1—+1上1k12Il

2<lx-x2lo

(3)设A(x/%)、B(x2,y2)为曲线C?上任意不同两点，入，々CM,且玉

y-ylg(x)—g(x)1

由(2)知，Ik,1=1-1——2-1=—r-l------<]

ABX-X\X-XI

1212

直线AB的斜率Ik/W1,又直线y=x的斜率为1,...直线AB与直线产x必相交。

点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系入

转化为点的坐标之间的对应关系

题型6：轨迹问题

例11.已知动圆过定点且与直线

其中〃>°。

(I)求动圆圆心°的轨迹的方程；

(II)设A、8是轨迹C上异于原点。的两个不同点,

的倾斜角分别为a和0,当a,p变化且a+(3为定值9(0<0<兀)时，证明直线恒过定点，并求出该

定点的他标。

解析：(I)如图，设M为动圆圆心，［搭,0)为记为F,过点用作直线方=一手的垂线，垂足为N,

由题意知：=|的V|即动点M到定点E与定直线x=-g的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨

迹为抛物线，其中尸(")为焦点，x=一亨为准线，所以轨迹方程为y2=2px(P>0)；

(II)如图，设A(x,y),8(x,y),由题意得(否则a+B=兀)且x,xw0所以直线45的

11221212

V2V2

斜率存在，设其方程为丁=履+6,显然=-J-,将>6与y2=2px(P>0)联立消去

1

2〃22p

-八，八2〃2pb

X,得心f，2-2/?y+2p/>=0由韦达定理知y+y=y.y=—；—①

12kl2k

(1)当时，即a+B=:时，tanatanp=1所以-^-^=l,xx-yy=0,

22XX1212

炉一yy=0所以》旷=4p2由①知：颦=4〃2所以。因此直线A8的方程可表示为y="+2Pk,

4〃21212k

即k(x+2P)-y=0,所以直线AB恒过定点(一2。,0)。

兀

(2)当。时，由a+B=。，

n/◊、tana+tanP2p(y+y)

得tanG=tan(a+p)=----------^二,口J/,

1-tanatanpyy-4P2

12

2

将①式代入上式整理化简可得：tan。=f—，所以b=+2pk,

b-2pktanU

福+2/汰即/+2p)-y-瑞卜。，所以直线钻

此时,直线AB的方程可表示为y="+

恒过定点一2P,瑞.

所以由(1)(2)知，当时，直线AB恒过定点(―2“,0),当。时直线48恒过定点

2P

-20p,-

tan0

点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。

例12.如图，圆0与圆。的半径都是1,00=4.过动

12I2

点P分别作圆。、圆。的切线(M,N分别为切点)，使得

22

PM=^PN.试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程

解析：以。。的中点。为原点，OO所在直线为X轴，建立如图

I212

所示的平面直角坐标系，则OJ-2,0),0,(2,0)。

由己知得PM2=2PN2。

因为两圆半径均为1，所以2。2-1=2（尸。2-1）。

12

设P（x,y）,则（x+2）2+y2-1=2Kx-2）2+yi-1],

即（尢一6）2+y2=33（或+y2-12x+3=0）o

点评：本小题主要考查求轨迹方程的方法及基本运算能力

题型7：课标创新题

y+1

例13.己知实数x、y满足(万-2)2+(y—1)2=1,求[=^一的最大值与最小值。

)'+1_

解析：----表不过点A(0,—1)和圆

X

(x-2)2+(y-l)2=1上的动点(x,y)的直线的斜率。

如下图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小

值

12人一21

设切线方程为y=h—1,即依―y—1=0,则1,解

以2+1

土币

得上,二4—^

4_、行

因此，z4+口z

max3min3

点评：直线知识是解析几何的基础知识，灵活运用直线知识解题具有构思巧妙、直观性强等特点，对启迪

思维大有裨益。下面举例说明其在最值问题中的巧妙运用

例14.设双曲线初=1的两支分别为q、C,正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。若

pCi，一1久q上，Q、R在q上，求顶点Q、R的坐标

分析：正三角形「(^中，有|「。|=|「叫=|。耳，则以pll，-I)为圆心，|PR|为半径的圆与双曲

线交于R、Q两点。

根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标

解析：设以P为圆心，|PR|=r(r>0)为半径的圆的方程为：Q+l>+(y+l>=r2,

+1)+()'+1)=厂2(,------yn1

由<得：x2+X-Jr2+14f+l=0。(其中，可令，=x+一进行换元解

[xy=1x

之)

设、两点的坐标分别为

QR«，/，CJIx+x=Jr2+1-1

，则112

XX=1

'I2

即Q-X)=Q+X}-4XX=一4,

1212/12、

同理可得：(y—y)=\+2+1_，_4,

且因为4PQR是正三角形，贝“PQ|2=|。用2=叫

12

X2-4x+l=0x=2—&\x=2+y/3

1或《2

由方程组'得:y=2+0]y=2-yj3

i1i2

—y/3,2+>/5")Q+y[3,2—

所以，所求Q、R的坐标分别为

点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能

作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用

五.【思维总结】

1.关于直线对称问题：

(1)关于/:Ax+By+C=0对称问题：不论点，直线与曲线关于/对称问题总可以转化为点关于/对

称问题，因为对称是由平分与垂直两部分组成，如求尸(X。，％)关于/：Ax+By+C=0对称点。(不，

y-yAx+xy+y

X).有一~=一=(1)与A•♦-।+B•L+C=0。

1x-xB22

01

(2)解出入与；若求£：曲线/(x,y)=0(包括直线)关于/：Ax+By+£=0对称的曲线

J,由上面的(1)、(2)中求出％=g](X],%)与％=g2(%,yj,然后代入C]：/Lg[(X]，%)，

g2(x2,y2))=0,就得到关于/对称的曲线。2方程：flgt(x,y),g2(x,y)]=0。

(3)若/：Ax+By+C=0中的x,y项系数⑷=1,IB1=1.就可以用直接代入解