旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第四章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

履础知识整合I

□知识梳理

1.角的概念

.按旋转方向不同分为画正角、四负角、国零角，

⑴分类V

【按终边位置不同分为画象限角和画轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角σ终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合S=

{β∖β=<z+X-∙360o,Z-∈2).

2.弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于画半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°=画2兀弧度:180°=阐不弧度;②弧长公式:

1=B∣αIr：③扇形面积公式：S⅞⅞=E]∣√r=IΠl∣ia∖r.

说明：②③公式中的。必须为弧度制.

3.任意角的三角函数

(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,力，则sinα=&，cos

y

。=回入，tana=E∣-(^≠0).

......-ʌ---------

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在X轴上,

余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)∙

如图中有向线段朗p,OM,47分别叫做角a的回正弦线、回余弦线和回正切线.

(3)三角函数值在各象限内的符号

costr

三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

知识拓展

1.任意角的三角函数的定义(推广)

设WX,y）是角。终边上异于顶点的任一点，其到原点。的距离为r,则皿力

Xy.、

coso=-,tanα=-(Λ≠0).

rX

2.象限角

第一象限角jσ∣2A∙π<α<2A∙π+⅜.λ∙∈z}.

第二象泯角{o∣‰+7<a<2A∙π+π.A∙∈Z

限

角

的

第三象限角{α∣2An+π<α<2Aτr+冬J∙∈z}

集

以T第四象限角∣{α∣

2Aπ+早<α,<2Aπ+2π.A∙∈Z

3.轴线角

轴

终边落在X轴上的角jα∣α=A,π,A∙EZj∙

线

角

的终边落在）•轴上的角Jα∣α=∙y+Aπ,AEZ

集

合

终边落在坐标轴上的角∣α∣α=4π,A∙∈Z

4.重要结论

若α∈(θ,ɪ，则tan0>α>sino.

□双基自测

1.给出下列四个命题：

①一斗是第二象限角；②?是第三象限角；

③一400°是第四象限角；④一315。是第一象限角.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

答案C

3π4ππ4兀_…

解析一一二是第三象限角，故①错误；-=π+-,从而丁是第三象限角，故②正确;

ɪOɔrɔ

-400o=-360o-40°,从而③正确；-315。=—360°+45°,从而④正确.故选C.

2.若ta〃α>0,贝（j（）

A.si/70>0B.coso>0

C.siz?20>0D.cos2α>0

答案C

解析由ta∕74>0知角。是第一或第三象限角，当。是第一象限角时，si〃2。=2si〃

^cosa>0；当。是第三象限角时，sina<0,cosa<0,仍有si〃2α=2si刀QCoSa

>0.故选C.

3.设角。的终边与单位圆相交于点/0,一0，则si"α-cosα的值是()

7117

-----

A.5B.5C.5D.5

答案A

43437

解析由题意知siz?0=--coso=-,所以sina—cos。=一三一三=一三故选

5f5555

A.

9π

4.下列与丁的终边相同的角的表达式中正确的是()

A.2Aπ+45o(A∈N)

9冗,、

B.k∙360oH~~~(A∈Z)

C.A∙360o-3150U∈Z)

5π、

D.Aπ+—z(A∈Z)

答案C

QJi9Ji

解析与T-的终边相同的角可以写成2^n+%-(A∈Z),但是角度制与弧度制不能混

用，所以只有选项C正确.故选C

5.单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()

A.10πB.9π

答案D

π10∏IOn

解析单位圆的半径r=1,200。的弧度数是20OX同=一「,由弧度数的定义得二一=

IoUyy

所以，=等.故选D.

r9

6.(2021•北京高考)若点P(CoS0,sin«)与点(cos('+^ξ^)Sin(夕+至))关

于y轴对称，写出一个符合题意的O=.

答案会满足，=4四+哈，4∈z即可)

,sin(e+^0关于P轴对称，即心6

解析P(CC)S夕，sin夕)与COS

+看的终边关于y轴对称，夕+?+3=π÷2⅛π,A∈Z,则。=在n+^^∣~,A∈Z,当衣=

OO

5Ji

O时，可取。的一个值为-jɪ.

核心，向突破I

考向一角的概念及表示

例1⑴设集合M—"*=3・180。+45o,A∈Zj,N—

卜x=γ180°+45°,⅛∈z},判断两集合的关系为()

Λ.M=NB.MN

C.NMI).J∕∩∕V=0

答案B

解析解法一：由于M='X=3•180°+450,4∈z}={∙∙∙,-45°,45°,135°,

225°,∙∙∙},A'=卜x=^∙180°+45o,∕∈z]={…，-45o,O0,45°,90°,135°,

180°,225°,…显然有/M故选B.

k

解法二：在集合材中，X=-•180°+45°=A∙90°+45°=45o∙(2A+1),2a+1是

奇数；在集合N中，X=号•180°+45o=k∙45°+45°=(A+1)•45°,什1是整数，因

此必有“Λ!故选B.

a

(2)(2021•江西九江质量检测)若角a是第一象限角，则7是()

A.第一或第二或第三象限角

B.第一或第三或第四象限角

C.第二或第三或第四象限角

D.第一或第二或第四象限角

答案ʌ

解析,：a是第一象限角，.∙.2Jtjt<α<5+24”,衣∈Z.二毯一〈《〈/+彩一，k

乙(JOUɔ

aa

∈Z.当女=3∕2(∕7∈Z)时，与■是第一一象限角；当衣=3∕HT5∈Z)时，g是第二象限角；当A=

a

3"+2S∈Z)时，了是第三象限角.故选A.

触类旁通］

1.终边相同的角的集合的应用

利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同

的所有角的集合，然后通过对集合中的参数%赋值来求得所需角.

2.象限角的两种判断方法

(1)图象法：在平面直角坐标系中作出已知角，并根据象限角的定义直接判断已知角是第

几象限角.

(2)转化法：先将已知角化为2衣"+α(α∈［0,2"),4∈Z)的形式，即找出与已知角

终边相同的角%再由角。终边所在的象限判断已知角是第几象限角.

θ

3.判断一或所在象限的方法

n

(1)将。的范围用不等式(含有h4∈Z)表示.

(2)两边同除以〃或乘n.

O

(3)对左进行讨论，得到G或〃®(∕7∈N')所在的象限.

O

特别地，对了判断象限问题可采用等分象限法.

即时训练1.(2021•福州质检)点4(Sin2021o,cos2021°)在直角坐标平面上位

于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析sin2021o=sin221°=-sin41°<0,cos2021o=cos221o=-cos41°

<0.故选C.

2.集合｛αAπ+γ≤α≤⅛π+y,A∈z］中的角所表示的范围(阴影部分)是()

BD

答案C

解析当衣=2"()∈Z)时，2〃冗+1W。W2〃五,止匕时ɑ表示的范围与

π,,ππ

aWy表示的范围一样；当A=2zz÷l(∕7∈Z)时，+冗+~≤a≤2∕7∏+π+万(∕7∈Z),

此时α表示的范围与号<αW等表示的范围一样.故选C.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二三角函数的定义及其应用

角度1利用定义求三角函数的值

例2(1)角α的终边经过点(2,-1),则2sina+3cos。的值为.

答案唔

---1∖∣)

解析•・・角4的终边经过点P(2,-1),.∙.∣6!P∣=√5,则SinO=诟=一手，cos。

22√5l4√5

=-7=∙=-∑-,Λ2sina+3cosa=~-.

√555

(2)若角。的终边在直线3x+4y=0上，求Sin。，cos。和tan。的值.

解设。终边上任一点为户(一4a,3a),a≠0f

..343

当a>0时，r=5asina=~,cosa=­7,tana=—7；

t554

.343

当zH<0时，r=-5a,sina=--CoSa=~,tana=--

5t54

角度2判断三角函数值的符号

例3(l)sin2∙cos3∙tan4的值()

A.小于OB.大于O

C.等于OD.不存在

答案A

解析V-^-<2<3<ɪɪ<4<∙~-,Λsin2>0,cos3<0,tan4>0.Λsin2∙cos3∙tan

4V0∙故选A.

(2)(2020•全国∏卷)若。为第四象限角，贝∣J()

A.cos20r>0B.cos2。<0

C.sin2。>0D.sin2。<0

答案D

,π，2吟π

解析当。=­I时l，COS2。=COS(一不-)VO,A错误；当a——■1时，cos2。=

cos(―~ξ~)>3B错误；由a为第四象限角可得Sino<0,cosa>0,则Sin2。=2Sin

aCQSa<0,C错误，D正确.故选D.

角度3利用三角函数的定义求参数

例4(1)设。是第二象限角，P(X,4)为其终边上的一点，且CoSα=gx,则tana

ɔ

=()

4334

A.~B.crD.一τ

JW∙^4ɔ

答案D

X4

解析Ya是第二象限角,.∙.xV0又由题意知/›解得x=-3.,tana=­

√A-+425X

4

=—O.故选D.

O

(2)(2022•广西钦州模拟)若角。的终边上有一点尸(一4,a),且Sinαcos。=+，

则a的值为()

A.4√3B.±4√3

C.一4十或一岁D.√3

答案C

解析由三角函数的定义得sinQCOSα=r~r-2∙∣‘.，，2=

√(-4)~+a√(-4)+a

(_「；+./=乎，即十#+16a+16第=0,解得。=—或a=一上乎.故选C.

角度4利用三角函数线解决三角不等式

例5求函数y=lg(1—^∖∕2cosx)+71+yβcosX的定义域.

1—Λ∕2COSΛ>0,

解要使函数有意义，则

l÷√2cosx20,

所以一半WCoSXV坐，

如图所示,

(π3π-IΓ5π7冗、

所以x∈[2A冗+彳，2kTi+-pU24冗+7-,2kTi÷-j-l(A∈Z).

触类旁通

1.用定义法求三角函数值的两种情况

（1）已知角。终边上一点一的坐标，则可先求出点尸到原点的距离r,然后用三角函数

的定义求解.

（2）已知角。的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点

的距离，然后用三角函数的定义来求解.

2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、

余弦及正切函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号.如果不能确定角所在象限，

那就要分类讨论.

3.利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤

（1）用边界值定出角的终边位置.

（2）根据不等式（组）定出角的范围.

（3）求交集，找单位圆中公共的部分.

（4）写出角的表达式.

■即时训练3.（2021•江苏常州质检）若点（Sin千，cos子）在角a的终边上，则

sina的值为（）

√311√3

A.B.-~C.~D.-ɪ

答案A

解析因为角a的终边上一点的坐标为（Sinɪ,COSFj,即（^，—乎），所以由任

意角的三角函数的定义，可得Sin。=一^-.故选人.

4.设。是第四象限角，则以下函数值一定为负的是（）

aaa

A.tan—B.sin-C.cos—D.cos2a

答案A

,.ππa

解析因为24兀—―<σ<2⅛π(A∈Z),所以攵兀——<-^-<Aπ,4⅛π—π<2σ<4⅛π,k

GZ.当A为偶数时，£■是第四象限角；当在为奇数时•，春是第二象限角.因此tan/O.cos

aa

2a,cos—,Sin5的值正负不定.故选A

5.（2022•河北邯郸模拟）已知角0的顶点与原点重合,始边与X轴正半轴重合，若A（x,

乎，则X=（）

3）是角。终边上一点，且CoS0

A.~3y∣3

C.1D.-1

答案D

解析角。的顶点与原点重合,始边与X轴正半轴重合，因为前必3）是角。终边上

VlbX

一点，所以CoS0,且水0,则x=-l.故选I）.

10y∣χ+i2

6.sin1,cos1,tan1的大小关系是（）

A.SinKcosKtanlB.tanl<sinl<cosl

C.CosKtanKsinlD.CosKsinKtanl

答案D

解析如图，单位圆中NjAW=Irad>-rad.因为<MKAT,所以CosKsinKtanl.

故选D.

考向三扇形的弧长、面积公式

例6已知一扇形的圆心角为明半径为此弧长为/,

⑴若α=60°,A=IOcm,求扇形的弧长/；

⑵若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

π

解（1）:α=60°=—rad,E=IOcm,

ɔ

；・扇形的弧长I=4"="∣"X10=今上(Cn1).

⑵由题意得/+2〃=20,・・・7=20-27?.

1lQ

••・5血形=5/7?=5(z20—2必∙R

=-Λ^+10/?=-(Λ,-5)2+25.

，当R=3cm时，S向形有最大值25cm2.

此时7=20—2×5=10(cm),4=4=警=2rad.

R5

.・・当a=2rad时，扇形的面积最大.

触类旁通］弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，记住下列公式

①弧长公式：/=Iα∣r;②扇形的面积公式：S=权Tl。|行(其中/是扇形的弧长,

。是扇形的圆心角，r是扇形的半径).

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.

即时训练7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是

()

A.2B.2sin1

Cɪ

I).sin2

sin1

答案C

12

解析V2Λ,sin1=2,：.R=-~~1=∖a∖R=-~~7.故选C.

sin1sin1

8.(2021•四川省蓉城名校联盟联考)如图，在扇形4如中半径614=4,弦长/6=4,则该

扇形的面积为()

答案B

解析扇形力如中，半径面=4,弦长四=4,.'N加以方，；.该扇形的面积为SIw=

1π28”.但

故选B.

课时作业I

1.已知点P（tana,CoSα）在第三象限，则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

[tanci<0,

解析因为点〃在第三象限，所以八所以角。的终边在第二象限.故选B.

[cosa<o,

2.（2021•广东珠海高三测试）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A.{。|一45。≤α≤120o}

B.{a1120°≤α≤315"}

C.{α∣-45°+k∙360oWaWl20°+A∙360o,A∈Z}

D.{α∣120°+k∙360o≤σ≤315o+A∙360o,A∈Z}

答案C

解析如题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{。I-45°+A∙360o≤a≤

120o+0∙360°,A∙∈Z}.故选C.

3.（2022•河南南阳质检）若Sin«<0,则下列三角函数的值恒为负数的是（）

A.cosaB.tana

aa

C.eosɪD.tarry

答案D

解析由sinσ<0,得20+π<σ<2⅛π+2π（A∈Z）,Λ⅛π+y<y<A∏+π（A∈Z）,

aa

即万是第二或第四象限角，，tan-y<0.故选D.

4

4.已知角。的终边过点户（一8例-6sin30o）,且COS。=一’则加的值为（）

ɔ

1妨1√3rx√3

A.-"B.-C.D.~~

答案B

解析因为片师百，所以cos高2=，，所以粉。，ξ⅛ξ=⅛因

此m=；故选B.

5.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为（）

A.2B.4C.6D.8

答案C

解析设扇形的半径为r,弧长为1,则由扇形面积公式可得2=3〃=/^a=p×4,

求得r=l,∕=∣α∣r=4,所以所求扇形的周长为2r+/=6.故选C.

6.已知角。的终边经过点（3a—9,a+2）,且CoSa≤0,sinα>0,则实数a的取值

范围是（）

A.（-2,3]B.（-2,3）

C.[-2,3）D.[-2,3]

答案A

解析由COSσ≤0,sinα>0可知，角a的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上,

f3a-9≤0,

•••,八C解得一2<a≤3,即实数a的取值范围为（-2,3].故选A.

a+2>0,

7.（2021•沧州七校联考）已知角X的终边上一点坐标为（Sinɪ,cos=，，则角x

的最小正值为（）

5π5π11π2π

A.~τ~B.-~z~C.~~∙D,

6363

答案B

解析因为sinX=COS1⅛^=—坐，cosX=Sin⅛^=<,所以x=--^~+2k^（⅛∈Z）,

tɔITRTT

当A=I时，X=.,即角X的最小正值为彳.故选B.

8.已知tanα=省，且<?∈[O,3n],则。的所有不同取值的个数为（）

ɔ

A.4B.3C.2D.1

答案B

解析Vtan4=乎，且。£[0,3π],：,a的可能取值分别是ɪɪ,与上，工。

3666

的所有不同取值的个数为3.故选B.

…、aa0..

9.（2022,江西赣州月考）已知sin。<0,tanσ>0,贝（jtan万Sin—cos万的值（）

ʌ.大于OB,小于O

C.等于OD.不确定

答案A

aa

解析由已知，得。为第三象限角，故万为第二或第四象限角.当万为第二象限角时,

aaaaaaa

tan—<0,sin—>0,cos—<0,所以tan—sin—cos—>0；当于为第四象限角时，tan

乙乙乙乙乙乙乙

aaaaaa

—<0,sin—<0，cos—>0,所以tan—sin-cos另>0.故选A.

乙乙乙乙乙乙

10.已知Sin夕一cos”1,则角。的终边在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案B

解析由已知得（Sin夕一cosJ）?）］，即1一2Sin夕CoS"1,sin^cos夕V0,又

sin"cos。，所以Sin”0>cos夕，所以角夕的终边在第二象限.故选B.

11.（2020•北京高考）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（JIDay）,历史上，求

圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔•卡西的方法是:

当正整数〃充分大时,计算单位圆的内接正6/7边形的周长和外切正6τ?边形（各边均与圆相切

的正6〃边形）的周长，将它们的算术平均数作为2冗的近似值.按照阿尔•卡西的方法，π

的近似值的表达式是（）

（30°,30°\

A.3"SIn-----+tan------

<,30°,30°、

B.6"SIn-----+tan------

<,60°,60°、

C.3"SIn-----+tan------

r.60°,60°、

D.6"SIn-----+tan------

答案A

解析单位圆内接正6〃边形的每条边所对应的圆心角为写一=纳一，每条边长为2sin

b/?n

30。3∩o

:—,所以单位圆的内接正6〃边形的周长为12〃∙sin--.单位圆的外切正6〃边形的每条

nn

30°,30°

30。30。⑵sin丁+⑵tan-V

边长为2tan:—,其周长为12〃tan—,所以2“心---------------------------=

nn2

30o30o

sin—-+tan

12.（2021•唐山模拟）在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,曝圆f+∕=l上的四段弧

（如图），点？在其中一段弧上，角。以Ox为始边，沙为终边，若tanσ<cosσ<sina,

则一所在的圆弧是（）

A.ABB.CDC.EFD.GH

答案C

解析解法一：当。为锐角时，显然有tana>sina,故A,B错误：当。在第三象

限时，显然有tana>0,cosσ<0,sinα,<0,故D错误.故选C.

解法二：P所在的圆弧是/8,CD,EF,碗勺图象如图，有向线段MD,OM,“分别为角a

的正弦线、余弦线和正切线.

由图可知点尸所在的圆弧是分时，满足tanσ<cosσ<sin0.故选C.

.-..aCta

13.设角a是第二象限的角，且cos—=—cos—,则可是第象限角.

答案三

aaa

解析因为。是第二象限角，所以于是第一或第三象限角.又COS—=-COS—,

aa

所以cos5<0∙故万是第三象限角.

14.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(O<α<n)的弧度

数为.

答案√3

解析设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为十人所以小r=αr,所以α=√1

15.(2021•四川绵阳诊断考试)角a,£的终边关于x+y=O对称，且。=一《，则

B=.

答案2攵冗一g(A∈Z)

6