四川省某学校2023年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案）

四川省射洪中学校2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是（）

是圆台是棱台

是棱锥D.//不是棱柱

2、cos(—120°)+sin30°的值是()

A.-1B.0C.1D.百

3、已知。=（2,4），b=（-4,f），若a,b，则f=（）

A.2B.-8C.8D.-2

4、我市某中学有高中生1500人，初中生3500人，为了解学生对学校食堂饭菜的满意

程度，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，已知从初中生

中抽取35人，则〃为（）

A.200B.150C.100D.50

5、水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知8'。=3，AC=2，B'C'Hy'

轴，则△ABC的外接圆半径长是（）

B.姮

AVioD.2

2

6、若1-COS2J走,则tan(a」)=()

sin2a34

A.2—V3B-V3-2C-1+V3D-1-V3

7、在对角线相等的平行四边形ABC。中，.=3,4）=2,E为CD上一点、,若

DE=；AB，BF=-FE，=+则/1-〃=()

8、如图，在正方体ABC。-A5GA中，截去三棱锥8-44Q，若剩余的几何体的表

面积是9+那么正方体ABC。-A4GA的内切球的表面积和其外接球的体积分别

2

二、多项选择题

9、某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了甲、乙两个班，并在

这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩作为样本进行分析。下表是两个班被随机选

出的学生的体能分数（满分100分）统计表，则下列说法错误的是（）

甲75798284868790919398

乙73818183878895969799

A.甲、乙两个班的分数的极差相等，方差不相等

B.甲、乙两个班的分数的平均数相等

C.乙班的分数的众数为87

D.甲、乙两个班分数的中位数中，乙班的中位数较大

10、下列说法正确的是（）

A.若o与人是平行向量，则q=〃

B.已知向量,与b的夹角为聿，且同=6，忖=1，设〃?=a+b，n=a.b，则向量加

在〃方向上的投影向量的模为2

C.已知点C,N在△ABC所在平面内，满足|。4卜|。@=|。。|且M1+NB+NC=0，则

点C,N分别是△ABC的外心，重心

D.在△ABC中，若AB-Ad〉0，则△ABC一定是锐角三角形

11、设机、〃为两条不同的直线，a、夕为两个不同的平面，则下列命题中真命题是()

A.若〃zj_〃，mVa.'则a_L£

B.若a〃£,mua,nu/3,则"?与〃是异面直线

C.若=n^a,则“与夕一定相交

D.若m/ln,"2_l_a，尸，则a〃尸

12、在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列

两种三角函数：定义1-cos。为角0的正矢，记作versin。；定义1-sin。为角0的余

矢，记作covers。,则有()

A.函数/(x)=wsinx-coversx+1的对称中心为(E+；,o],ZeZfi"，：,；0),kcz

B.若"''sin*[=1，则covers2x-versin2x+l=--

coversx-\25

C.若g(%)=versinx-coversx-1，则g(x)的最大值为加+；

D.h(x)=versin2x-coversx+1>/?(a)=1且Ova<色，则圆心角为a，半径为2的

2

扇形的面积为3

3

三、填空题

13、某中学高一生物课外兴趣小组要对本班同学的睡眠时间进行研究，得到了以下10

个数据(单位:小时)：6.4,7.7,8.0,7.4,3.3,7.9,6.8,7.5,8.3,7.8,去掉数据

能很好地提高样本数据的代表性.

14、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底

C在西偏北30。的方向上；行驶400m后到达3处，测得此山底C在西偏北75。的方向

上，山顶。的仰角为45。，则此山的高度8=m.

15、在正三棱柱ABC-ABG中，M=V2AB,。是AC边上的点，且满足

BD=-(BA+BC^则异面直线A瓦与8。所成角的正切值为.

.71

16、已知函数/”)=2$皿8+7)(3>。)，若在区间(0㈤上有两个不同的》使得

/(x)+0=(),则刃的取值范围是.

四、解答题

17、(1)已知向量d与b的夹角。=三，且|。|=3,仍|=20.求°力和|a+〃|；

4

(2)已知向量。=(1,-2)，ft=(3,2)c=(m,n)(m,n^R),旦cH(a-b)，(a+c)J_8，

求/〃+71的值。

18、某中学(含初高中6个年级)随机选取了60名男生，将他们的身高作为样本进行

统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求。的值及样本中男生身高在[175,195](单位:cm)的人数；

(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男

生的平均身高；

(3)根据频率分布直方图估计该校男生身高的75%分位数。

19、如图，△ACZ)为等腰三角形，且AC=AT>，。七_L平面ACO,DE//AB-

AB=、DE，点、G为CE的中点.求证：

2

(1)BG〃平面ACO；

(2)平面3CG_L平面GDE.

20、已知函数/(x)=|-2sin2tyx+sin2tyN0<<y<3)，且______-

从以下①②③三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题:

①函数/(力图象中相邻的两条对称轴之间的距离为

②函数/（X）图象与直线y+0=o的两个相邻交点之间的距离为兀;

③点（―,>/2）在/（x）上；

8

（1）求函数/（X）的单调递增区间；

（2）将/（幻的图象向上平移2个单位，接着向左平移2个单位，再将所得图象所有

点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数），=g（x）的图象，求函数

g（x）的最小正周期和对称轴及x/o,1时的值域。

21、如图，直四棱柱ABC。-44GA中，底面AdGA为矩形，且

AD=AAi=^AB=\求直线BC,与平面CCQ所成的角的大小；

（2）求二面角的余弦值;

（3）求直线BC,到平面AC"的距离。

a_sinA

22、△ABC中，a,b,c是角A,B,。所对的边，已知」1.A+C，且a=l.

sin----

（1）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积；

（2）若力=1，在△ABC的边AB,AC上分别取。，E两点，使沿线段OE折叠

到平面BCE后，顶点A正好落在边上，求此情况下AO的最小值。

参考答案

I、答案：c

解析：A图不是由棱雉截来的，所以A图不是棱台；

B图上、下两个面不平行，所以B不是圆台；

C图是棱雉.

D图有两个面平行，其余面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以

D是棱柱.故选:C.

2、答案：B

解析：cos(-120°)+sin300=cos1200+sin30°=-sin300+sin300=0：B.

3、答案：A

解析：a=(2,4),b=(-4j),a^b'则2x(-4)+4f=0,解得r=2.故选：A.

4、答案：D

解析：根据题意，某中学从高中生1500人，初中生3500人，用分层随机抽样的方法

从该校学生中抽取一个容量为〃的样本，又从初中生中抽取35人，则抽样比为

二-=—L，则应从高中生中抽取1500X」一=15人，则"=35+15=50人.故选:D.

3500100100

5、答案：A

解析：由斜二测画法规则知AC_L8C，即△ABC为直角三角形，

其中4c=2，BC=6,所以AB=j4C2+5C2=2而

故AB边上的中线长为：_1、2厢=厢，ZvWC的外接圆半径长是:J市.

2

故选:A.

CA

6、答案：B

解析：由l—cos2a=君.得2sin%=百

sin2a32sin。cosa3

所以包里=立，所以fan*正，

cosa33

所以

兀61

tan（a兀］一tana_l_彳一1百—3一（6—3）（3—扬

〔打jtanatan工1+tan«"走3+百（3+6）（3-百）

_43

二一（12一6扬02.

6

故选：B

7、答案：C

解析：由题意，DE^-AB»BF=LFE，则8户=,8E，

234

AF=AB+BF^AB+-BE

4

1

=AB+-(AE-AB)

=AB+UAD+-AB-AB\

412J

71

=-AB+-AD，

84

.,.丸=—，〃=—，即2—〃=?.

848

故选:C.

8、答案：A

解析：设正方体的棱长为a,

则截去三棱雉6-例。后剩余的几何体的表面积2a2+k0ax缶x«L/5,可

2222

得2±2^/=2±^，即〃=i，。=1

22

正方体ABC。-4gG0的内切球的半径为巴，外接球的半径为1”，

22

2

二.正方体A8C£>-AjBCD1的内切球的表面积为47rxe=兀

4

外接球的体积是，xHL]=1兀/=正.兀

312J22

故选:A.

9、答案：ABC

解析：对于A,甲的极差为98-75=23，乙的极差为99-73=26，故甲和乙的极差不

相等，故A错误；

对于B,甲的平均数为2(75+79+82+84+86+87+90+91+93+98)=86.5，

乙的平均数为《(73+81+81+83+87+88+95+96+97+99)=88，

，甲、乙两个班的分数的平均数不相等，故B错误；

对于C,乙班的分数的众数为81,故C错误；

对于D,甲、乙两个班分数的中位数分别为

配包=86.5和巡*87.5，

22

.•・甲、乙两个班分数的中位数中，乙班的中位数较大，故D正确.

故选:ABC.

10、答案：BC

解析：根据题意，依次分析选项：

对于A,若"与人是平行向量，则力与/,方向相同或相反，不一定有“二方，A错误；

对于B,向量〃?在〃方向上的投影向量也〃，其模为|也=丝土处H=2,B正

|〃F\a-b\

确；

对于C,若点。满足|OA|=|O3|=|OC|，则点。是△ABC的外心，若点N满足

NA+NB+NC=0，则N是△ABC的重心，C正确；

对于D,在△ABC中，若A6-AC〉0,可得A为锐角，当无法判断其他角的情况，则

不能判断△回€：的形状，D错误.

故选:BC.

11、答案：AD

解析：若J_〃，/九_La,则〃ua或〃〃a,乂〃_L力，则a_L2，故A是真命题；

若a"0，mua,〃u分，则租//“或相与〃是异面直线，故B是假命题；

若aB=m,〃ua,则〃///?或〃与夕相交，故C为假命题；

若mlM,〃?_La，则"J_e,乂〃_L尸，则。〃/?，故D为真命题.

故选:AD.

12、答案：BCD

解析：

13、答案:3.3

解析：因为数据3.3明显低于其它几个数据，是极端值，所以去掉这个数据，能够更

好地提高样本数据的代表性.故答案为：3.3.

14、答案：200立

解析：

15、答案：出

解析：取的中点A，连接BQ,ADt,由8Q=；(BA+BC)，得。为AC的

中点，

在正三棱柱ABC-\B,CX中，DD.//A4,,DD,=A4,,且BBJ/AA,,=A4,,所以

DDJIBB\,DR=BBi,所以四边形BBQQ为平行四边形，所以BQ'/BD,

所以NABQ即为异面直线A4与8。所成角，

设AB-a»则A4j=y/?.a，

所以AB}=yf?)a，BQ[=a»

2,329

AB-+B^-AD；_a+4a_4a2_1

所以】

cosNABA2破班=2x岳x牝F

2

所以NAgA=60。，

所以异面直线ABt与BD所成角的正切值为由.

故答案为：6.

16、答案：（±3]

2

解析：f（x）+6=0.

贝I」sin（（y、.+：）=一等'

八7C7T71

0<X<7f.,.一<69+—<3兀+一，

4,V44

在区间（0,兀）上有两个不同的x使得

/(x)+0=(),sin—7T=sin—7t=>

442

由正弦函数的图象可知,

7n1333

一兀<。”+—4——兀，

4,442

故。的取值范围是仁，3.

17、答案：（1）a.b=_6；\a+b\=s/5

(2)m+n=—

7

解析：（1）因为向量a与〃的夹角6=个，且同=3，忖=20,则

ab-|a|-|/?|-cos^-=3x2^2x

=-6，

=yja2+2d-b+b2=j9+2x(—6)+8=

(2)因为向量a=(1,-2),b=(3,2)»c=(m,n)>所以a-匕=(一2,-4)，又C〃仅一匕

所以—4m—(—2〃)=0,即九一2m=0°

又a+c=(/%+1,〃-2),(a+c)_Lb，所以

3(6+1)+2(〃-2)=0,即3m+2n—1=0，

1

m——

所以1-2加=0解得7,所以/〃+〃=°

3，〃+2〃-1=027

in--

［7

18、答案：(1)21

(2)171.5cm

⑶179cm

解析：(1)根据题意，(0.005+a+0.020+0.025+0.040)x10=1,解得a=0.CH0.

所以样本中学生身高在［175,195］内的人数为60x(0.010+0.025)x10=21

(2)设样本中男生身高的平均值为了，则

亍=150x0.05+160x0.2+170x0.4+180x0.25+190x0.1=7.5+32+68+45+19=171.5•估

计该校男生的平均身高为171.5cm.

(3)由a=0.010，根据频率分布直方图，因为

(0.005+0.020+0.040)x10=0.65<0.75,

(0.005+0.020+0.040+0.025)x10=0.9>0.75，所以样本中的75%分位数落在［175,185)

内，

设75%分位数为x,则(X-175)x0.025=0.75-0.65,解得x=179.

所以估计该校男生身高的75%分位数为179cm.

19、答案：(1)证明见解析

(2)证明见解析

解析：(1)取C。的中点R连接GRAF

又因为点G为CE的中点，所以GF为△ECD的中位线，所以FG//DE，FG=-DE，

2

因为所以FG〃AB，

因为A8=LOE，所以FG=/W

2

所以四边形GFAB为平行四边形

所以AF//BG，

因为8G.平面AC。，AFu平面AC。

所以BG〃平面AC。

(2)因为△AC。为等腰三角形，且AC=AD，又点F为CO的中点，所以

AF±CD

因为。E_L平面AC。，AFu平面AC。，所以£)£_!_AF，

因为CDDE=D，所以Af平面CDE,

由(1)知AF//BG>所以8G，平面CDE,

因为BGu平面BCG，所以平面3CG_L平面CDE,又平面CDE即是平面GOE

所以平面BCG，平面GDE.

20、答案：(1)答案见解析

(2)答案见解析

解析：(1)选①，依题意，/(x)=sin2&)x+cos2(wx=V2sin(2<yx+^)>

函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为5，因此函数“X)的周期丁=兀，

有2°=®=2，

T

则有/(x)=V2sin(2x+—)>

4

由2&兀一二42x+二W2E+二，左eZ得：kn--<x<kn+—^AeZ

24288

所以函数的单调递增区间是a卡,也+拙eZ).

选②，依题意，/(x)=sin269X+COS269X=V2sin(26yx4--^)，显然/(1源血=—,

因函数“X)图象与直线y=—0的两个相邻交点之间的距离为兀，因此函数“X)的周

期T=兀，有2co==2，

T

则有/(犬)=V2sin(2x+：)，

a

由2也一至W2x+至W2阮+巴,keZ得:kn———<x<kn+—>AeZ，

24288

所以函数〃x)的单调递增区间是向-型,加+刍(丘Z).

88

选③，依题意，/(%)=sin2<yx+cos2ct>x=V2sin(2tyx+—)>

/(—)=>/2sin(—(w+—)=5/2>即sin(色0+四)=1，Kll—<y+-=2n7t+—>〃eZ，

184444442

即有@=8〃+1，〃eZ，而0<<y<3，则及=0，/=1，

则有/(x)=yflsin(2x+—)，

由2kli--<2x+—<2kit+—>ZeZ得：kn———<x<Z：7i+—，kwZ

24288

/(x)

所以函数的单调递增区间是附-学也+加eZ).

(2)由(1)知/'(x)=0sin(2x+Z)，所以将/(x)的图象向上平移2个单位，接着向

4

左平移四个单位，得到y=&sin12(x+^)+N+2=0cos2x+2,

8L84_

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，则

y=g(x)=0cosx+2，

所以函数g(x)的最小正周期为2兀；

对称轴为x=kn(kGZ);

因为xe0,；,所以cosxe1则g(x)的值域为13,2+夜］。

21、答案：（1）巴

4

（2）叵

2

⑶-

3

解析：（1）因为在直四棱柱Asco-AgGA中，底面AAGA为矩形，所以直四棱

柱ABCO-A始GA是长方体，即在长方体中，80_1平面。。1。1。，

即BC_L平面CG2，则NBCC即为直线BC]与平面CCQ所成的角，

因为AO=A4,=；AB=1,

所以在RtZ\6CC|中，BC=AD=1，C£=AA=1，故

即直线BG与平面CG9所成的角为：；

（2）由（1）知直四棱柱43co—A4G0是长方体，则在长方体ABC。—A4G0

中，0c，平面BBCC，而gG，BC|U平面8BCC，所以4G，与C/1BC,

又B£u平面AAG，8GU平面BD,C,

由二面角的平面角的定义知NBCg为二面角B-D^-A,的平面角，

因为AD=的=gAB=l，所以在中，

B1G=AD=1，BB,=AA,=I,故N8C4=：，则COS/8C4=¥

即二面角B-D.Cx-\的余弦值为立；

2

（3）由（1）知直四棱柱ABC。-48GA是长方体，则在长方体

中，

由于AB//DG，AB=D£,故四边形ABC】A是平行四边形，

故BCJ/ADI，

而AD]<=平面ACD,,BC,U平面AC。，

故8G〃平面ACR,

则点8到平面AC"的距离即为直线BG到平面AC2的距离.；

而AC=〃+1=亚,AD|=夜,CD1=百,故工丁四=g*血x不5一（^~丫—,

设点8到平面AC"的距离为/?,则%必。=%_ACB，即f〃=LLx2xlxl,

13232

则〃=g,即直线BG到平面AC2的距离为

22、答案：（1）6+3石

8

⑵2拒-3

a_sinA

解析：⑴因为厂;即asinH£="sinA，所以由正弦定理边角互化得