2024年中考培优训练 分解因式解答题与综合题100题【含答案】

[2024年中考专题培优训练】分解因式解答题与综合题100题

一、作图题

i.数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释.如

图1,有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片.用若干张A类、B类、C类卡片可以拼

出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2a2+3ab+/=(2a+b)(a+b).

(1)如图3,用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以

下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为;

图3

(2)若解释因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b),需取A类、B类、C类卡片若干张(三

种卡片都要取到)，拼成一个长方形，请画出相应的图形；

(3)若取A类、B类、C类卡片若干张(三种卡片都要取到)，拼成一个长方形，使其面积为5a2+

mab+b2,则m的值为,将此多项式分解因式为.

二'综合题

2.一个正整数，若从左到右奇数位上的数字相同，偶数位上的数字相同，称这样的数为“接龙数”.例

如：121,3535都是“接龙数”，123不是“接龙数”.

(1)求证：任意四位“接龙数”都能被101整除；

(2)若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.对于任意的三位“接龙

数”厘，记F(t)=砺-2xy-x,求使得F(t)为完全平方数的所有三位“接龙数”xyx.

3.分解因式：

⑴2a(y-z)-3b(z-y)

(2)-a4+16

(3)a2b-2ab+b

(4)3(x-2y)2-3x+6y.

4.材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接

运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因

式，这种方法叫做分组分解法.如久2+2xy+y2—i6,我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完

全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为/+2%y+y2—

16=(%+y)2-42=(%+y+4)(%+y-4).它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式

或运用公式分解因式创造条件.

解答下列问题：

(1)分解因式：2a2—8a+8；

(2)请尝试用上面材料中的方法分解因式/—y2+3x—3y.

5.已知(2%—21)(3久—7)—(3久—7)(x—13)可分解因式为(3久+a)(x+b),其中a,6均为整数.

(1)求a+3b的值；

(2)类似的，请你把/一3%+2分解成(久+a)(x+b)的形式.

6.对多项式侬为+2)524+6)+4进行因式分解时，小亮先设a?-4a=b,代

入原式后得：

原式=(b+2)(h+6)+4

=b2+8b+16

=(b+4)2

=(a2-4a+4)2

(1)小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想：；

A.整体换元思想B.数形结合思想C.分类讨论思想

(2)请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；

(3)请参考以上方法对多项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+l进行因式分解。

7.综合题

(1)已知x,y是二元一次方程组政二2二3的解,求整式x2-4y2的值.

(2)已知|a-b-3|+(a+b-2)2=0,求a2-b2的值.

8.对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个两位数m为“平方和数”，若

m=a2+b2(a、b为正整数)，记A(m)=ab.例如：29=22+52,29就是一个“平方和数”，则A(29)

=2x5=10.

(1)判断25是否是“平方和数”，若是，请计算A(25)的值；若不是，请说明理由；

(2)若k是一个“平方和数”，且A(k)=殍，求k的值.

9.把下面各式分解因式：

(1)4x2-8x+4

(2)x2+2x(x-3y)+(x-3y)2.

10.对任意一个四位数n,如果千位与十位上的数字之和为7,百位与个位上的数字之和也为7,那么

称n为“上进数”.

(1)写出最小和最大的“上进数”；

(2)一个"上进数"abed,若b=2a,且使一元二次方程x2-4x+a-0有两个不相等的实

数根，求这个“上进数”.

11.阅读下列材料：

在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替(即换元)，不仅可以简

化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种

因式分解的方法称为“换元法”.

下面是小涵同学用换元法对多项式(炉-4x+l)(N-4尤+7)+9进行因式分解的过程.

解：设/-4x=y

原式=(j+1)(j+7)+9(第一步)

=俨+8尹16(第二步)

=(尹4)2(第三步)

=(x2-4x+4)2(第四步)

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的;

A.提取公因式法B.平方差公式法C.完全平方公式法

(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果:；

(3)请你用换元法对多项式(N+2X)(X2+2X+2)+1进行因式分解.

12.如图，边长为a,b的长方形，它的周长为14,面积为10,

*

(1)填空：a+b=,ab=

(2)求下列各式的值：a2b+ab2；a2+b2+abo

13.给出三个单项式：a2,b2,2ab.

(1)任选两个单项式相减，并进行因式分解；

(2)利用因式分解进行计算：a2+b2-2ab,其中a=2021,b=2019.

14.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块

小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).

(1)图2中的阴影部分的面积为：

(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)\ab之间的等量关系是：

(3)根据(2)中的结论，若x+y=7,xy=竽,贝!Jx-尸；

(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3,写出一个因式分解的等

_______________________________

15.阅读下面的材料:

/常用的分M国人的方法有耀取公BIA法、公式法等,仅有的多^^只用上述\

方法无法分*.*»r-4/-2x+4»,two见事这个式子,会发现前两H符合十方

是公式.后网，■可摄取公因式.前、后四部分分冽因式分解后又出境新的公因式.

提取公因式就可以先成赞个K子的分解因K.具体过<1如下：

x3-4>J-2x+4y

=<X!-4y*)-(2x-4y)

Xx+2y)(r-2y)-2(x-2,)

=(x-2y)(x+2y-2)

望这料将一个多g人过号分组后，进什分第因其的方法叫依分缜分解法.

lj

利用分组分解法解决下面的问题：

(1)分解因式：x2-2xy+y2-4；

(2)已知△4BC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+be=0,判断△48。的形状并说明理由.

16.常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如%2-

4y2-2%+4y,我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生

公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：

x2-4y2—2%+4y

=(%2—4y2)—(2%—4y)

=(%+2y)(x—2y)—2(%—2y)

=(%—2y)(x+2y—2)

这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：

(1)mn2,—2mn+2n—4；

(2)苏—2ab+b2—16.

17.分解因式：

(1)2a3+6a2

(2)25x2-100

(3)x3y-4x2y+4xy.

18.如图，正方形ABCD中，点G是边CD上一点(不与端点C,D重合)，以CG为边在正方形ABCD

外作正方形CEFG,且B、C、E三点在同一直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为

a和b.

(1)分别用含a,b的代数式表示图1和图2中阴影部分的面积Si、S2;

(2)如果a+b=5,ab=3,求Si的值；

(3)当Si<S2时，求1的取值范围.

19.把下列各式分解因式：

(1)2x2-8x；

(2)6ab3-24a3b.

20.分解因式

(1)a3-2a2b+ab2

(2)x2(m-n)-y2(m-n)

21.先阅读下列材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有

分组分解法、配方法(拆项法)、十字相乘法等等.

(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.

如①和②：

①ax+by+bx+ay

=(ax+bx)+(ay+by)

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

②2xy+y2-1+x2

=(x2+2xy+y2)-1

=(x+y)2-1

=(x+y+1)(x+y-1)

(2)配方法：将一个多项式的某一部分变形为完全平方式后，可提公因式或运用公式继续分解

的方法.如③：x2+120x+3456

=x2+2«x«60+602-602+3456

=(x+60)2-144

(x+60+12)(x+60-12)

=(x+72)(x+48)

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题:

(1)分解因式：a2+a-b2-b；

(2)分解因式：x2-42x-3528.

22.先阅读下列材料：

我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有

分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.

①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.

：ax+by+bx+ay,x2+2xy+y2—1

分组分解法：

解：原式=(ax+bx)+(ax+by)解：原式=(x+y)2-1

=x(a+b)+y(a+b)=(%+y+l)(x+y—1)

=(a+£>)(%+y)

②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法.

如：%2+2%—3

解：原式=%2+2%+1—4

=(%+I)2-22

=(%+1+2)(x+I—2)

=(x+3)(%—1)

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

(1)分解因式：a2-b2+a-b；

(2)分解因式：x2-6x-7.

23.将下列各式因式分解：

(1)2x2-x-x3；

(2)9(x+2)2-25(x-3)2.

24.把下列各式因式分解：

(1)4x3y2-x;

(2)-x2+16;

(3)(2a+l)2-a2;

(4)16(x-y)2-25(x+y)2;

(5)m2(x-y)+n2(y-x).

25.若%满足。一4)(%-9)=6,求。一4>+(%-9)2的值.阅读下面求解的方法:

解：设％—4=a,x—9=b,则a—b=(x—4)—(%—9)=5,

V(x-4)(x-9)=6,

・•ctb—6f

/.(%—4)2+(x—9)2=a2+b2=(a—b)2+2ab=52+2x6=37.

请仿照上面的方法求解下面的问题：

(1)若工满足(久一2)(%-5)=10,求。-2)2+(%-5＞的值；

(2)如图，正方形4BCD中，E、F分另IJ是4。、DC上的点，且4E=1,CF=3,长方形EMFD的面

积是15,分别以MF、OF为边作正方形，若4)=£，则①DE=,DF=(用含％

的代数式表示)；②直接写出图中阴影部分的面积.

26.如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们把这样的自然数

叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环节的阶数.例

如：525252,它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：77,

是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数…

(1)请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节

的数字所得到的新数和原数的差能够被9整除；

(2)已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为ab,求a,b应满足的关系.

27.一个能被11整除的自然数称为“一心一意数”，它的特征是去掉个位数字后，得到一个新数，新数

减去原数的个位数字的差能被11整除，若所得差仍然较大不易判断，则可以再把差去掉个位数字，

继续进行下去，直到容易判断为此，如：42581去掉个位是4258,4258减去1的差是4257,4257去

掉个位后是425,425减去7的差是418,418去掉个位8后是41,41减去8的差是33,显然33能被

11整除，所以42581是“一心一意数”.

(1)请用上述规律判断2018和20180116是否是“一心一意数”；

⑵一个能被66整除的自然数称为“祥和数”，已知一个四位“祥和数”痂(千位数字是a,十

位数字是b,百位数字和个位数字都是c,0<a<9,0<b<9,0<c<9),求支电的值.

C

28.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是

边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m>n.(以上长度单位：cm)

(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；

(2)若每块小长方形的面积为10cnA四个正方形的面积和为58cm2,试求图中所有裁剪线(虚

线部分)长之和.

29.先把下列各式写成平方差的形式，再分解因式.

(1)a2-7；

⑵3x2-2.

30.先化简，再求值：

(1)已知a+b=2,ab=2,求a?b+2a2b?+ab3的值.

(2)求(2x-y)(2x+y)-(2y+x)(2y-x)的值,其中x=2,y=l.

31.先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,贝I」

原式=A?+2A+1=(A+1)2

再将“A”还原，得：原式=(x+y+1)2.

上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问

题：

(1)因式分解：1+2(x-y)+(x-y)2=.

(2)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4

(3)证明：若n为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.

32.

(1)已知y(2x+1)-x(2y+1)=-3,求6,+6y2-I2%y的值；

(2)已知a2-a-1=0,求a3-2a+2019的值.

33.

(1)已知x2y=2,%—2y=5/—2x2y2的值.

(2)先化简，再求值：(汽+2y)(%—2y)—(2y—%)2，其中x=2,y=—1.

34.观察下列式子：

(x+1)(/—%+1)=%3+1;

(x+2)(%2—2%+4)=%3+8;

(2m+n)(4m2—2mn+n2)=8m3+n3;

(1)上面的整式乘法计算结果比较简洁，类比学习过的平方差公式，完全平方公式的推导过程，

请你写出一个新的乘法公式(用含a、b的字母表示)，并加以证明；

(2)直接用你发现的公式写出计算结果：(2a+3b)(4a2-6ab+9b2)=；

(3)分解因式：m3+n3+3mn(m+n).

35.对于多项式x3-5x2+x+10,我们把x=2代入此多项式，发现x=2能使多项式x3-5x2+x+10的值为0,

由此可以断定多项式x3-5x2+x+10中有因式x-2(注：把x=a代入多项式，能使多项式的值为0,则多项

式中一定含有因式(x-a),于是我们可以把多项式写成：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),分别求出m,n

后再代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)中,就可以把多项式x3-5x2+x+10因式分解).

(1)求式子中m,n的值；

(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解因式x3+5x2+8x+4.

36.因式分解：

(1)3m2-24m+48；

(2)x3y-4xy.

37.因式分解：

(1)a3b~2a2b2+ab3

(2)(N+4)2—16x2.

38.因式分解：

(1)m3n—6m2n+9mn；

(2)4x2-(x2+1)2；

(3)(—2>°22.|.(一2)2021—22020

39.因式分解：

(1)4x2-64

(2)81a4-72a2b2+16/

(3)(%2—2x)2—2(久2—2%)—3

40.解答下列各题：

(1)分解因式：4a2-8ab+4b2-16c2

(2)计算：(2a+b)(2a-b)+b(2a+b)-8a2b^-2b

(3)化简求值：(含-/尸泊3，其中x一

(4)解分式方程：隰-1=七•

41.因式分解

(1)6x2-3x；

(2)16m3-mn2；

(3)25m2-IQmn+n2；

(4)9a2(x-y)+4b2Cy-x).

42.已知a+b=-3,ab=2,求下列各式的值：

(1)a2b+ab2；

(2)a2+b2；

(3)a4+b4；

43.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法

就无法分解，如x2-4y2-2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后

两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子

的分解因式了。

过程为:x2—4y2—2x+4y=(x+2y)(%—2y)—2(x—2y)=(%—2y)(x+2y—2)；

这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式：9%2—6xy+y2-16；

(2)AABC三边a,b,c满足a2-ab-ac+be=0,判断AABC的形状.

44.定义：将一个大于0的自然数，去掉其个位数字，再把剩下的数加上原数个位数字的4倍，如果

得到的和能被13整除，则称这个数是“一刀两断”数，如果和太大无法直接观察出来，就再次重复这

个过程继续计算，例如55263—5526+12=5538,55381553+32=585,585—58+20=

78,78+13=6,所以55263是“一刀两断”数.

3247—324+28=352,35+8=43,43+13=3……4,所以3247不是“一刀两断”数.

(1)判断5928是否为“一刀两断”数：▲(填是或否)，并证明任意一个能被13整除的数是“一刀

两断”数；

(2)对于一个“一刀两断”数m=1000a+100b+10c+d(l<a<9,0<b<9,0<c<9,0<d<9,a,b,c,d

均为正整数)，规定G(m)=|之|.若m的千位数字满是l《a44,千位数字与十位数字相同，

1a—a1

且能被65整除，求出所有满足条件的四位数m中，G(m)的最大值.

45.已知x+y=4,xy=3,求下列各式的值.

(1)(%—y)2

(2)x2y+xy2

46.因式分解

(1)x3-xy2；

(2)m3-6m2+9m；

(3)m2(m-1)+4(1-m)；

(4)(a2+4)2-16a2.

47.已知a,b,c为AABC的三条边的长.

(1)证明：a2—2ac+c2—b2<0；

(2)当a,b,c满足条件a2+2ac—b2—2bc=(^L请判断AABC的形状，并说明理由.

48.

(1)因式分解：16-租4

(2)计算：(3久y2)2+(-4盯3).(一盯)

49.因式分解：

(1)a2+2a；

(2)%2-16.

50.计算

(1)分解因式：2%3-8%；

(2)一个多边形的内角是1080。，求多边形的边数.

51.因式分解:

(1)9a3+6a2b+ab2

(2)(x-1)(x-3)+1

(3)x2-3x-40.

52.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+%+%(%+1)+%(%+I)2

=(1+%)[1+x+%(%+1)]

=(1+%)2(1+%)

=(1+X)3

(1)上述分解因式的方法是.

(2)若分解1+久+%(%+1)+%(%+I)2H-----F%(%+1)2021,则结果是.

(3)依照上述方法分解因式：1+尤+无(X+1)+£(％+1)2+…+4尤+l)n(n为正整数).

53.因式分解

(1)2(a-3)3-a+3

(2)a2-b2-2b-1.

54.如图1,有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正

方形③的纸片.

(1)已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169,长方形②的周长为34,求长方形②的面

积.

(2)如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形

(在图2虚线框内画出图形)，并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式.

55.

(1)因式分解：x3-2x2+x；

(2)解方程：岩-1=£•

56.综合题。

(1)分解因式：5a2-10ab+5b2；

(2)一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数.

57.因式分解：

(1)3x(a-b)-6y(b-a)

(2)4x2-64

(3)-a+2a2-a3.

58.分解因式：

(1)3x-12x3

(2)a2-4a+4-b2.

59.分解因式

(1)9x3-x；

(2)2m2-4m+2.

60.我们用存表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即

xyz=100%+10y+z.

(1)说明abc+bca+cab一定是111的倍数;

(2)①写出一组a、b、c的取值，使+瓦S+而F能被11整除，这组值可以是a=,

b=,c=；

②若访？+而F能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系

是.

61.综合题。

(1)因式分解：a3-2a2+a；

(2)因式分解：(3x+y)2-(x-3y)2；

(3)解方程：当=1-

x—ZZ—x

62.

(1)分解因式：2ax2+4ax+2a.

(2)解方程：)】=另一3

x—Zx—L

63.阅读下列材料：

材料1、将一个形如x?+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把

x?+px+q因式分解成(x+m)(x+n).

x2+4x+3=(x+1)(x+3)(2)x2-4x-12=(x-6)(x+2)

材料2、因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1

解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A,则原式=A?+2A+1=(A+l)2

再将“A”还原，得：原式=(x+y+1)2

上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题:

(1)根据材料1，把x2-6x+8分解因式.

(2)结合材料1和材料2,完成下面小题:

①分解因式：(x-y)2+4(x-y)+3；

②分解因式：m(m+2)(m2+2m-2)-3.

64.观察下列算式，完成问题：

算式①：42—22=12=4*3

算式②：62-42=20=4X5

算式③：82-62=28=4X7

算式④：102-82=36=4x9

(D按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：;

(2)上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”.若设两个连续偶数

分别为2n和2n+25为整数)，请证明上述命题成立；

(3)命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，

请举出反例.

65.

(1)因式分解：3a2-6a+3.

(5x-2>3(x+1)

⑵解不等式组X-1/11-x

-2--1一_3-

66.分解因式:

(1)3ax2+6axy+3ay2

(2)a2(a-3)-a+3.

67.将下列各式分解因式：

(1)-3a3+12a

(2)a2(x-y)-4a(y-x)+4(x-y)

68.有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合(或把某项

适当地拆分)成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如血工+几无+

my+ny—(mx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(m+ri)=(m+n)(x+y).根据上面的方法因式

分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)m?—mn2—m2n+v?.

(3)已知a,b,c是△ABC的三边，且满足a?-ab+c?=2ac-be,判断△4BC的形状并说明理

由.

69.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x,十位上和个位上的数字之和为y,如果x=y,那

么称这个四位数为“和平数”.

例如：1423,x=l+4,y=2+3,因为x=y,所以1423是'和平数”.

(1)直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是;

(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所

有“和平数”；

(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位

置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”.

例如：1423与4132为一组“相关和平数”

求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数.

70.给出三个整式a2,b2和2ab.

(1)当a=3,b=4时,求a2+b?+2ab的值;

(2)在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分

解.请写出你所选的式子及因式分解的过程.

71.如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次

排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到

个位排出的一串数字是6,4,7,4,6,从个位到最高位排出的一串数字也是：6,4,7,4,6,所以

64746是“和谐数”.再如：33,181,212,4664,都是“和谐数”.

(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；

(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(iWx*,x为自然数)，十位上

的数字为y,求y与x的函数关系式.

72.综合题。

(1)因式分解：6xy2+9x2y+y3

,3(%-1)<5x+1

(2)解不等式组:V—1

手>2x-4

73.计算与分解因式

计算:

(1)(2x2y)2.(-5盯2)+(14x4y3)

(2)^x+y-m+n)(x-y-m-n).

(3)16x4-1；

C4)(a-b)(5a+26)+(a+66)(b-a).

74.把下列各式分解因式

(1)(x+1)2-1

(2)2m2-4mn+2n2

(3)a2(x-y)+b2(y-x)

75.因式分解

(1)x2+3x+2；

(2)x2(x-y)+(y-x).

76.阅读下列材料：

分解因式：4%—16x3

小天的做法：小泉的做法I小云的做法：

原式=x(4-l6x。①原式=4x(1-4/)①原式=16P-4x①

-x(22-(4x),|②=4x(1-4xXl+4JC)②=4x(4/-1)②

■x(2-4xX2+4x)③=4x(2x-IX2x+l)③

请根据上述材料回答下列问题：

(1)小云的解题过程从步出现错误的，错误的原因

是：.

小朵的解题过程从步出现错误的，错误的原因是.

小天的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：.

(2)若都错误，请你写出正确的解题过程.

77.因式分解:

(1)2x3y~Sxy；

(2)(x2+4)2-16x2.

78.由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”

进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2><3=(x+2)(x+3)

(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+)；

(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.

79.已知「=(右袈+矣).

(1)化简T；

(2)若%为AABC的面积，其中NC=90。，ZA=30°,BC=2,求T的值.

80.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是

边长都为n的小正方形，五块是长为m,宽为n的全等小长方形，且m>n(以上长度单位：cm)

(1)观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为；

(2)若每块小长方形的周长是20cm且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40cm-,求这张长

方形纸板的面积是多少平方厘米？

81.回答下列问题：

(1)填空：/+妥=(x+J)2—=(%—])2+；

(2)填空：若a+1=5,贝Ia?+多■=；

aaz

(3)若a2-3a+l=0,a。。,求a2+-^的值.

三'实践探究题

82.阅读下列材料：将一个形如/+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=nm且p=m+n,

则可以把/+px+q因式分解成(久+m)(x+n).

例如：(1)%2+4%+3=(%+1)(%+3)；(2)x2—4%—12=(%—6)(x+2).

根据材料，把下列式子进行因式分解.

(1)%2—6%+8；

(2)%2—2%—15；

(3)(%-4)(%+7)+18.

83.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题:

l+x+x(l+x)+x(1+x)2

=(1+x)[l+x+x(l+x)]

=(1+x)[(1+x)(1+x)]

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是(填提公因式法或公式法中的一个);

(2)分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3=；

1+x+x(1+x)+x(1+x)2+...+x(1+x)n=(直接填空)；

(3)运用上述结论求值：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3,其中x=V6-1.

84.阅读下列材料：

我们把多项式a2+2ab+b2及a2-lab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式,

我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的

值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能

分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.

如：%2+2%—3=(%2+2%+1)—4=(%+I)2—22=(%+1+2)(x+1—2)=(%+3)(%—1)；

x2—10x+30=/—10%+25+5=(%2—10%+25)+5=(%—5)2+5,

因为(尢—5)220,即(％—5)2的最小值是0,所以%2-10%+30的最小值是5.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：%2-4%-5；

(2)求a2+2a+2021的最小值；

(3)求—/+2%+2019的最大值.

85.数学教科书中这样写道：

“我们把多项式+2ab+炉及一2ab+/叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，

我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的

值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负

数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：%2+2%—3=(%2+2%+1)—4=(%+I)2—4；

例如求代数式2/+4%—6的最小值；2久2+4久一6=2(%2+2%-3)=2(%+I)2—8.

根据阅读材料用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：m2-6m+5；

(2)当a,b为何值时，多项式。2+房一4a+106+33有最小值，并求出这个最小值；

(3)已知a—b=8,ab+c2-4c+20=0,求a+b+c的值.

86.如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为(x+a),宽为(x+b).

S甲=.

s乙=-•

根据条件你发现关于字母X的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达

是.

(2)利用你所得的规律进行多项式乘法计算：

①(x+4)(x+5)=

②(x+3)(x-2)=

③(x-6)(x-1)=

(3)由(1)得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左

地使用x2+(a+b)x+ab多项式进行因式分解.请你据此将下列多项式进行因式分解：

(T)X2+5X+6

②X?-x-12.

87.阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他

公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：x3+y3=(x+y)(x2—xy+y2)；

立方差公式：x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2).

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：a3-8；

(2)先化简，再求值：正焕吆)+，—，其中x=3.

、%2―2%%3-8)%2—4

88.阅读材料：若n?-2mn+2n2-8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2-2mn+2n2-8n+16=0,/.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m-n)2+(n-4)2=0,/.(m-n)2=0,(n-4)2=0,/.n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+y的值；

(2)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求a+b+c的值.

89.阅读材料：将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式.

解：将x+y看成整体，令x+y=A,则原式=A?+2A+1=(A+1)2,再将A还原，原式=(x+y+1)

2

上述材料解题过程用到了整体思想，整体思想是数学中的常用方法，请根据上面方法完成下列各小

题.

(1)因式分解：(m+n)2-6(m+n)+9；

(2)设乂=(a-b)(a-b-2)+1.

①因式分解M；

②若M=0,求a-b的值.

90.阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法

分解，如x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式,

前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为:

x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)

=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)

=(x-2y)(x+2y-2)

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

(1)分解因式x2-2xy+y2-25；

(2)ZkABC三边a,b,c满足a?-ab-ac+bc=0,判断AABC的形状.

91.待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项

系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值.

待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：x3-1.

因为X3-1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多顶式和一个二次多项式的乘积.

故我们可以猜想x3-1可以分解成(X-1)(x2+ax+b),展开等式右边得：x3+(a-1)x2+(b-a)x

-b,根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a-1=0,b-a=0,-b=-

1可以求出a=l,b=l.所以x3-l=(x-1)(x2+x+l).

(1)若x取任意值，等式x2+2x+3=x?+(3-a)x+s恒成立，则a=；

(2)已知多项式x3+2x+3有因式x+1,请用待定系数法求出该多项式的另一因式.

92.阅读下列材料：

一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组

运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这

种因式分解的方法叫做分组分解法.如：

因式分解：ccm+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(a+b)+n(a+b)

=(a+/))+(m+n)

(1)利用分组分解法分解因式：

①37n—3y+am—ay；

(2)a2x+a2y+ft2%+b2y

(2)因式分解：a2+2ab+b2-1=(直接写出结果).

93.阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积,

而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x?+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n).

例如：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3).

运用上述方法分解因式：

(1)x2+6x+8；

(2)x2-x-6；

(3)x2-5xy+6y2；

3

(4)请你结合上述的方法，对多项式x-2x2,3x进行分解因式.

94.(阅读材料)

把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方

法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用.

例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8.

原式=a?+6a+9—1=(a+3)2—1=(a+3—1)(a+3+1)=(a+2)(a+4)

②求x2+6x+ll的最小值.

解：x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2；

由于(x+3)2>0,

所以(x+3)2+2”,

即x2+6x+ll的最小值为2.

请根据上述材料解决下列问题：

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；

(2)用配方法因式分解：a2-12a+35；

(3)用配方法因式分解：x4+4；

(4)求4x?+4x+3的最小值.

95.阅读材料：若m?—2mn+2n2—8n+16=0,求m、n的值.

解：Vm2—2mn+2n2—8n+16=0,

/.(m2—2mn+n2)+(n2—8n+16)=0,

(m—n)2+(n—4)2=0,

/.(m—n)2=0,(n—4)2=0,

An=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知X?—2xy+2y2+6y+9=0,求％、y的值；

(2)已知AABC的三边长分别为a,b,c都是正整数，且满足a?+b2—10a—12b+61=0,求AABC

的边a、b的值；

(3)已知a—b=8,ab+c2—16c+80=0,求a+b+c的值.

96.(阅读材料)我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pxq(p,q是正整数，且

pSq).在n的所有这种分解中，如果p,q两因数之差的绝对值最小，我们就称pxq是n的最佳分解,

并规定当pxq是n的最佳分解时，F(n)=:例如：18可以分解成“18,2'9或3*6,因为18-1

>9-2>6-3,所以3x6是18的最佳分解，从而F(18)=|=1.

(1)F(15)=,F(24)=,...；

猜想：F(x2)=(x是正整数).

(2)若F(x2+x)=|,且x是正整数，求x的值；

97.教科书中这样写道：“我们把多项式a?+2ab+b2及a2-2ab+b?叫做完全平方式”，如果一个多项式不

是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项,

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将

一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值

等问题。

例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+l)・4=(x+l)2-4=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-l)；求代数式2x?+4x・6的最

小值，2X2+4X-6=2(X2+2X-3)=2(X+1)2-8.可知当x=・l时，2x?+4x-6有最小值，最小值是-8,根据阅读材

料用配