2023年高考数学压轴题-圆锥曲线第05讲：向量问题二（原卷版）

第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示;

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析儿何中的向量问题（直角，锐角和

钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的

计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：垂直，直角，锐角和钝角

的向量表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中.

1、垂直

当直线/818C时，利用向量进行数量积的翻译，即方反=0,（用斜率翻译时，要注意斜率不存在的情

况）

2、向量模长

当|£-加■）+M时，通过平方推导，转化为IB=0,即翻译成垂直.

3、定角

求解角度的大小时，通过向量的夹角公式进行翻译，向量的数量积，即73=0.

4、直角，锐角和钝角

当为直角时，则工4=0；

当为锐角时，则屋5>0；

当为钝角时，则15<0；

【考点剖析】

考点一：已知垂直求参

例L已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为

2(√2-l),且椭圆的离心率为孝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(LO)作直线/交C于P、。两点，且。尸∙LOQ求直线/的方程.

变式训练1：已知椭圆标准方程为W+E=l(α>b>0),椭圆的左右焦坐标分别为耳(-L0),凡(LO),离心

ab

率为玄，过点马直线/与椭圆交于尸,。两点.

2

(1)求椭圆的方程；

(2)若片PlE。，求直线/的方程.

变式训练2：在平面直角坐标系XOy中，。为坐标原点.动点P与定点厂(-2,0)的距离和它到定直线/:x=-g的

距离的比为常数2,动点尸的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)过点尸的直线机交曲线C于4B两点，若NAOB=90。，求直线机的方程.

变式训练3：已知抛物线C：/=2PX(P>0)的焦点为尸，点力(4,ZH)在抛物线C上，且AOlF的面积为gp?

(。为坐标原点).

(1)求抛物线C的方程；

(2)直线/：y="+l与抛物线C交于Al,N两点，若OMLON,求直线/的方程.

考点二：垂直(证明)

例L已知抛物线cE=2px(p>0)的焦点与椭圆：+：=1的一个焦点重合.

⑴求抛物线C的方程；

⑵若直线/：X=Wy+4交抛物线C于/(七,必)，8卜,力)两点，O为原点，求证：OA1as.

变式训练1：已知椭圆C：W+E=1(。>6>0)的左右顶点分别为4(-2,0),4(2,0),右焦点为尸，点7(1,当

ab~2

在椭圆上.

⑴求椭圆C的标准方程;

(2)P为椭圆上不与4,4重合的任意一点，直线4R4P分别与直线x=4相交于点M,N,求证：FMLFN.

变式训练2：已知抛物线C：/=2px(p>0)经过点(1,2).

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

⑵设过点尸(2,0)的直线/与抛物线C交于A,8两点,若罚=2沆，MNIy轴.垂足为N,求证：PM1PN.

变式训练3：已知抛物线C：r=2px(p>0),斜率为1的直线/过抛物线C的焦点，与抛物线C交于A,B

两点，且网=8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点Pm过点P作直线PM,PN与抛物线C相切，切点分别为M,N,证明：PMLPN.

考点三：向量模长相等（垂直）

例L设椭圆E:5+/l（a>b>0）的离心率为当，点（对在椭圆E上.

⑴求椭圆E的方程；

（2）设E的右顶点为，若直线/与椭圆E交于4,3两点（48不是左右顶点）且满足陀+国=W-西,

求原点O到直线/距离的最大值.

22

变式训练1：设椭圆E:鼻+==1仅>6>0）过股（2,四），N（n,l）两点，。为坐标原点

⑴求椭圆E的方程；

⑵设E的右顶点为D,若直线/号=H+机与椭圆E交于A,B两点（A,B不是左右顶点）且满足

I次+方卜|耳-丽I,证明:直线I过定点，并求该定点坐标.

2ι,2

变式训练2：已知双曲线C:v\-A=l(a>O,b>O)的左焦点为P,右顶点为力,渐近线方程为夕=士瓜，

F到渐近线的距离为√L

⑴求C的方程；

⑵若直线/过尸，且与C交于P，。两点(异于。的两个顶点)，直线x=f与直线的交点分别为

M,N.是否存在实数f,使得I丽+丽卜I丽-丽|?若存在，求出r的值；若不存在，请说明理由.

变式训练3：已知椭圆「：—+^=1,焦点为过X轴上的一点M(%,0)(WeR)作直线/交椭圆

10025

于48两点.

⑴若点M在椭圆内，

①求多边形力片8匕的周长；

②求的最小值/(加)的表达式；

⑵是否存在与X轴不重合的直线/,使得你+2函=|以-2函成立？如果存在，求出加的取值范围；如果

不存在，请说明理由.

考点四：定角(直角)

例1.已知椭圆C*∕l(α>b>O)的短轴的两个端点分别为力(0,1),8(0,-1),离心率为牛

⑴求椭圆C的方程；

(2)设点N(0,-3),点M为椭圆C上异于A,B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线P=3交于

点、P,直线与直线y=3交于点0,求证：DPNQ为定值.

22

变式训练1：已知椭圆。会+£=1(。>岳>0)的离心率为右焦点为尸，点私0),且MFl=L

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点F的直线I(不与X轴重合)交椭圆C于点MN,直线MA,NA分别与直线x=4交于点P,Q,求NPFQ

的大小.

变式训练2：已知椭圆。：5+，=1(。>6>0)经过点"，孝)，其离心率为孝，设直线/：y=丘+机与椭

圆C相交于A、8两点.

⑴求椭圆C的方程；

2

⑵已知直线/与圆f+V=§相切，求乙4。8的大小(。为坐标原点).

变式训练3设耳尺分别是椭圆uW+*∙=l(a>b>0)的左、右焦点，E是椭圆C的上顶点，MFF2是

ab

等边三角形，短轴长为2√L

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知48分别为椭圆左右顶点，位于y轴两侧的P,。分别是椭圆C和圆/+/=/上的两个动点，且

直线尸。与X轴平行，直线XP,8尸分别与J轴交于Λ1,N,证明：ZMQN=90°.

考点五：锐角和钝角

例1.已知点(T当在椭圆E:1+t=l(α>b>0)上，E的离心率为B.

2a2b22

(1)求E的方程；

(2)设过定点40,2)的直线/与E交于不同的两点反C,且NCo5为锐角，求/的斜率的取值范围.

变式训练1：已知椭圆。：［+，=1(。>6>0)的长轴长为2夜，短轴长为2.

(1)求椭圆C的焦点坐标；

(2)直线啊=x7与椭圆C相交于48两点，点F为椭圆C的左焦点，若ZAFB为锐角,求实数〃1的取

值范围.

r2p2

变式训练2：如图所示，椭圆C：5+A=l(α>b>0)的左右顶点分别为4、A2,上下顶点分别为鸟、B2,

ab

四边形4用4旦的面积为4,周长为4√L直线/：N=丘+√Σ与椭圆交于不同

的两点P和。.

(1)求椭圆的方程；

(2)若OPl°。,求斤的值.

(3)若NPoQ为锐角，求左的取值范围.

变式训练3：已知椭圆。:£+4=1(。>6>0)的短轴长为2&,离心率为3.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/平行于直线y=2χ,且与椭圆C交于48两个不同的点，若NZOB为钝角，求直线/在X轴上的

a

截距机的取值范围.

【当堂小结】

1、知识清单：

(1)椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；

(2)线段垂直的向量数量积点乘为零；

(3)直角，锐角和钝角的向量表示；

2、易错点：垂直，直角，锐角和钝角的向量表示;

3.考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4,核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1.已知抛物线C：F=2px(p>0),点尸(2,4)在抛物线C上.

⑴求抛物线C的方程；

⑵不过原点的直线/：y=x+机与抛物线交于不同两点P,Q,若。尸1。。，求〃?的值.

2.已知椭圆C：[+4=1(〃>6>0)经过点为(0,2),且e=也.

a"b"2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=h+m与椭圆C相切于点“，与直线X=X。相交于点N.已知点P(-2,0),且nwjL*v,求此

时吃的值.

3.已知抛物线。：/=21(。>0)过点力(4,4),F是抛物线C的焦点，直线/尸交抛物线C于另一点3,O

为坐标原点.

⑴求抛物线C的方程和焦点F的坐标；

⑵抛物线C的准线/上是否存在点N使ANIBN,若存在请求出N点坐标，若不存在请说明理由.

4.已知双曲线C的中心在原点，抛物线/=2氐的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线经过点(1,6),

又知直线/：y=丘+1与双曲线C相交于48两点.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若a1丽，求实数A■值.

5.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点是圆/+/-2》=0与X轴的一个交点

⑴求抛物线C的方程；

⑵若过点(8,0)的直线/与抛物线C交于不同的两点A、B,。为坐标原点，证明：OALOB.

v22

6.已知椭圆u]+g∙=l(α>b>O)的左焦点尸(-2,0),右顶点4(3,0).

⑴求C的方程；

⑵设B为C上一点(异于左、右顶点)，M为线段48的中点，。为坐标原点，直线。〃与直线/：X=-B交

于点N,求证：ABLNF.

7.已知椭圆。5+，=1(。>/>>0)的离心率为孝，4、4分别为椭圆左、右顶点，B1、当分别为椭圆

上、下顶点，且四边形4瓦4鸟的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点”(-£,0)的直线/与椭圆C相交于P、Q(异于点4、A2)两点，证明：AtPLAiQ.

8.设椭圆E:、■+="=l(α>6>0)过Λ∕(右,

O为坐标原点.

a^bI

⑴求椭圆E的方程；

⑵椭圆E的右顶点为D,直线/子=云+m与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足

∖DA+DB∖=∖DA-~DB∖,且直线1与以原点为圆心半径为;的圆相切，求直线I的方程.

9.设椭圆E：W+《=im>6>0）的离心率为立，点

在椭圆E上.

⑴求椭圆E的方程；