角平分线的基本模型（一）全等类-2023年中考数学常见几何模型（全国通用）

角平分线的重要模型（一）全等类

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类

模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）

【模型解读与图示】

已知如图1,OP为NAO5的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在03上截取

ON=OM,连结PN即可.即有AQWPmAONP,利用相关结论解决问题.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022・湖北十堰•九年级期末）在aABC中，NACB=2NB,如图①，当Z_C=90。，AD为NBAC的角平分线

时，在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD.

①②③

（1）如图②，当NO90。，AD为NBAC的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？不需要证明,

请直接写出你的猜想；

（2）如图③，当AD为4ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,

并对你的猜想给予证明.

2.（2022・山东烟台•九年级期末）已知在ABC中，满足NACB=2/3,

（1）【问题解决】如图1,当NC=90。，AD为NBAC的角平分线时，在AB上取一点E使得AE=AC,连接DE,

求证：AB=AC+CD.

（2）【问题拓展】如图2,当NCW90。，AO为NBAC的角平分线时，在AB上取一点E使得A£=AC,连接DE,

（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由.

（3）［猜想证明】如图3,当AD为他。的外角平分线时,在BA的延长线上取一点E使得AE=AC,连接DE,

线段AS、AC,8又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

3.（2022•浙江•九年级期中）（1）如图1,在A43C中，乙4cB=2乙B,NC=90。，为N8/C的平分线交8C

于D,求证：AB=AC+CD.（提示：在48上截取/E=/C,连接。E）

（2）如图2,当NCH90。时，其他条件不变，线段/凤AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需

要证明.（3）如图3,当乙4c*90。，乙4c2=248,4D为八43。的外角NC4尸的平分线，交5c的延长线于

点。，则线段AC.CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明.

4.（2022•北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分NBAE,ZACE=90°,则线段AE、48、OE的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分NR4E,EC平分NAED,若/ACE=120。，则线段48、BD、

DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

己知如图1,OP为NQ45的角平分线、于点M时，辅助线的作法大都为过点P作PN，03

即可.即有PA/=PN、bOMPmbONP等,利用相关结论解决问题.

邻等对补模型：已知如图2,/尸是的角平分线，EP=DP

辅助线：过点尸作尸GL/C、PF±AB

结论：①NB4C+NEPD=180°（A、E、尸、O四点共圆）；②DF=EG；®AD=AE+2DF

1.（2022•北京•中考真题）如图，在AABC中，AO平分NBACDELAA若4c=2,。《=1,则5AAe0=

BDC

2.(2022•山东泰安•中考真题)如图，△"(：的外角NACD的平分线CP与内角/ABC的平分线BP交于点P,

若/BPC=40°,贝ljNCAP=()

C.50°D.60°

3.(2022・江苏扬州•中考真题)如图，在中，BE、DG分别平分/ABC、ZADC,交AC于点E、G.

(1)求证：BE〃DG,BE=DG；(2)过点E作所，A3,垂足为尸.若A5CD的周长为56,EF=6,求AABC

的面积.

4.(2022・河北・九年级专题练习)已知0P平分乙ZZ>CE的顶点C在射线。尸上，射线CD交射线

于点F,射线CE交射线OB于点G.

(1)如图1,若CO16M,CEVOB,请直接写出线段CF与CG的数量关系；

(2)如图2,若乙408=120。，Z.DCE=^AOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由.

模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

已知如图bOP为NAO3的角平分线，于点P时，辅助线的作法大都为延长交03于点N

即可。即可构造△尸0N丝△POM,有AQW.是等腰三角形、OP是三线等，利用相关结论解决问题.常见

模型如图2。

1.（2022•安徽合肥•一模）如图，ABC中，平分NR4C,£是8c中点，AD±BD,AC=1,AB=4,

13

A.1B.2C.-D.-

22

2.（2022•绵阳市•九年级期中）在A42C中，AB=AC,ZS/C=9O,2。平分ZABC交/C于点D

（1）如图1,点、F为BC上一点,连接/下交AD于点£若AB=BF,求证：AD垂直平分NE

（2）如图2,CELBD,垂足£在区D的延长线上.试判断线段CE1和AD的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,点尸为8C上一点，乙EFC=W"BC,CE1EF,垂足为E,EF与AC交于点、M.直接写出线段

CE与线段乩f的数量关系.

3.（2022•福建•厦门九年级期中）如图，在AABC中，AB=AC,/54C=90°,

（1）如图1,2。平分NABC交AC于点。，尸为BC上一点，连接A尸交2。于点E.

（i）AB=BF,求证：2。垂直平分AF；（ii）若求证：AD=CF.

（2）如图2,8。平分NABC交AC于点。，CE±BD,垂足E在。的延长线上，试判断线段CE和8。的

小，

数量关系,并说明理由.（3）如图3,F为BC上一点,NEFCCELEF,垂足为E,EF^AC

交于点。,写出线段CE和尸。的数量关系.（不要求写出过程）

图1图2图3

4.（2022•安徽黄山•九年级期中）如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,。是AC边上一动点，CELBD

于E.（1）如图（1）,若8。平分NABC时，①求/ECD的度数；

②延长CE交BA的延长线于点尸，补全图形，探究8。与EC的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图（2）,过点A作AFLBE于点尸，猜想线段BE,CE,A尸之间的数量关系，并证明你的猜想.

课后专项训练

1.（2022•江苏常州•一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且=AB=15,AD=12.过

AF

顶点C作GM于£,则族的值为（）

A.773B.9C.6D.7.2

2.（2021•四川成都•二模）已知,如图,BC=DC,ZB+ZD=180°.连接AC,在AB,AC,AD上分别取点E,P,

F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,ZkAPE的面积为4,则AAPF的面积是（）

A.2B.4C.6D.8

3.（2022•福建・福州立志中学一模）如图，&45C中，乙42C=45。，CDL4B于点、D,BE平分UBC,>BE1AC

于点8,交CD于点尸，〃是8C边的中点，连接。打交BE于点G,现给出以下结论：①△/C。三△尸8。；

②4E=CE；③△DG尸为等腰三角形；④S四边形ADGE=S四边形GHCE.其中正确的有（写出所有正

确结论序号）.

4.（2020・重庆市松树桥中学校八年级月考）如图，aABC的面积为9cm2,BP平分/ABC,AP_LBP于P,连

接PC,贝iJaPBC的面积为cm2.

5.（2020•江苏省灌云高级中学城西分校八年级月考）如图，在aABC中，NA=90。，AB=AC,NABC的平

分线BD交AC于点D,CEXBD,交BD的延长线于点E,若BD=4,则CE=.

6.（2021•四川眉山市•八年级期末）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90,B。平分NABC交AC于点D.

Cl）如图1,点F为BC上一点，连接AF交8。于点E.若48=BF,求证：3。垂直平分AF.

（2）如图2,CE±BD,垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和B。的数量关系，并说明理由.

（3）如图3,点F为BC上一点，NEFC=；/ABC,CE±EF,垂足为E,EF与AC交于点M.直接写出线段

CE与线段F/W的数量关系.

7.（2022•北京西城•二模）在A48C中，AB=AC,过点C作射线CQ,使（点夕与点8在直线

NC的异侧）点。是射线C9上一动点（不与点C重合），点£在线段8C上，且AD/E+乙4CD=90。.

（1）如图1,当点£与点C重合时，与CB'的位置关系是,若BC=a,则。的长为；（用

含。的式子表示）（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接DE.①用等式表示NBAC与4DAE之间的数量

关系，并证明；②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.

1?C（E）BEC

图1图2

8.（2022•重庆•二模）已知：如图1,四边形N8CD中，NABC=135。，连接/C、BD,交于点E,

BDLBC,AD=AC.

AD

里」

图1图2D图3

⑴求证:ZZMC=90°；⑵如图2,过点2作BFLAB,交DC于点尸，交/C于点G,DBF=2SCBF,

求证：AG=CG；（3）如图3,在（2）的条件下，若AB=3,求线段G尸的长.

9.(2022•陕西西安•一模)如图，和△8CE都是等边三角形，Z^5C<105°,AE与DC交于点F.

(1)求证：AE=DC；(2)求NBFE的度数；(3)若/尸=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm