高中数学同步讲义（人教A版选择性必修三）第10讲 7.2 离散型随机变量及其分布列（学生版）

第03讲7.2离散型随机变量及其分布列课程标准学习目标1.通过具体案例，了解离散型随机变量的概念，理解随机变量的分布列及其性质。2.通过具体案例，了解两点分布的概念及特点。3.会求离散型随机变量的分布列及两点分布列的相关量。通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题知识点01：离散型随机变量（1）随机变量的定义一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：①取值依赖于样本点．②所有可能取值是明确的．（2）随机变量与函数的关系共同点：随机变量和函数都是一种映射区别:随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.（3）离散型随机变量的定义对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的特征：①可用数值表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③试验之前不能确定取何值；④试验结果能一一列出；⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值（4）连续型随机变量的定义随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.知识点02：离散型随机变量的分布列（1）离散型随机变量的分布列的定义一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．①解析式法：i,②表格法：…………③图象法:（2）离散型随机变量的分布列的性质①，②注意：①.列出随机变量的所有可能取值；②.求出随机变量的每一个值发生的概率.【即学即练1】1．（2024上·辽宁·高二校联考期末）设，随机变量的分布列为：589则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，所以.故选：D知识点03：两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,

表示“失败”,定义如果，则，那么的分布列如下所示：01我们称服从两点分布或者分布.【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值()(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.题型01随机变量【典例1】（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（

）A．取到的球的个数 B．取到红球的个数C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率【典例2】（2024·全国·高二假期作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（）A．两次掷出的点数之和B．两次掷出的最大点数C．第一次与第二次掷出的点数之差D．两次掷出的点数【典例3】（2024·全国·高二假期作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（

）①某机场候机室中一天的旅客数量；

②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某篮球下降过程中离地面的距离；

④某立交桥一天经过的车辆数X．A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的【变式1】（2024·全国·高三专题练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（）A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和B．某人早晨在车站等出租车的时间C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性【变式2】（2024·全国·高二假期作业）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（

）A．取到产品的件数 B．取到正品的概率C．取到次品的件数 D．取到次品的概率【变式3】（2024·全国·高二假期作业）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（

）A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数题型02分布列及其性质的应用【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（

）A．0 B． C． D．1【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（

）A． B．C． D．【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则.【典例4】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为.0123【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为，，则的值为（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（

）A． B．C． D．以上均不正确【变式3】（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则常数.【变式4】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则.题型03求离散型随机变量的分布列【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列．【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.学生数(人)x25y10打饭时间(秒/人)10152025已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．(1)确定x，y的值；(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率)【典例4】（2024·全国·高二假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大?(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．【变式1】（2024·全国·高三专题练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项.为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列.【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的分布列.【变式4】（2024·全国·高二假期作业）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列题型04由随机变量分布列求概率【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量X的概率分布为X01234P0.150.150.150.25m若随机变量，则等于（）A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7【典例2】（2024·全国·高二假期作业）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（

）A． B． C． D．【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为：X123Pm则，．【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X的分布列，则的值为（

）A．1 B． C． D．【变式2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123Pa若离散型随机变量，则（

）．A． B． C． D．【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列如下表：X1234Pm则．题型05两个相关随机变量的分布列【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表所示．0123(1)求随机变量的分布列；(2)若，求实数的取值范围．【变式1】（2024·全国·高二假期作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是．【变式2】（2024·全国·高二假期作业）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．(1)当时，求Y的值；(2)写出X与Y之间的关系式；(3)若，求的值．题型06两点分布【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则；若，则.【典例3】（2023上·高二课时练习）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．【变式1】（2023下·山东聊城·高二统考期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么．【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．【变式3】（2023上·高二课时练习）掷一颗骰子，观察掷得的点数.(1)求点数X的分布；(2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．2．（2024·全国·高二假期作业）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（

）A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点3．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（）A． B． C． D．4．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．5．（2024·全国·高二假期作业）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（

）A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点6．（2024·江苏·高二假期作业）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则（

）A． B．C． D．7．（2024·全国·高三专题练习）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（

）A． B． C． D．8．（2024·全国·高二假期作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（

）

A． B． C． D．二、多选题9．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量ξ的分布列为：ξ－2－10123P若，则实数的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．1010．（2023下·河南周口·高二校联考期中）已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．三、填空题11．（2023下·高二课时练习）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20则等于.12．（2023下·高二课时练习）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则.四、解答题13．（2023·全国·高二课堂例题）设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值．14．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．(1)求p的值；(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．B能力提升1．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．2．（2023下·浙江·高二校联考期末）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每