高中数学同步讲义（人教A版选择性必修三）第16讲 7.5 正态分布（教师版）

第08讲7.5正态分布课程标准学习目标①通过误差模型初步了解服从正态分布的随机变量的特点。②并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质。③了解正态分布的均值、方差及含义。④了解3δ原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题.。通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题。知识点1：正态曲线（1）连续型随机变量除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.（2）正态的曲线的定义函数fx=1σ2π显然对于任意x∈R，fx>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称①函数的自变量为x,定义域为R②解析式中含有两个常数π和e,这两个是无理数，其中π为圆周率，e为自然对数的底数③解析式中含两个参数μ和σ,其中μ可取任意实数，σ>0,不同的正态曲线μ和σ的取值是不同的.④解析式的前面是一个系数1σ2π，后面是一个以e为底的指数函数的形式,指数为−(x−（3）正态曲线的几何意义由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形（图中阴影部分）的面积，就是X落在区间[a,b]的概率的近似值.（4）正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；③曲线在x=μ时达到峰值1σ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.⑤曲线与x轴之间的面积为1；⑥μ决定曲线的位置和对称性；当σ一定时，曲线的对称轴位置由μ确定；如下图所示，曲线随着μ的变化而沿x轴平移。⑦σ确定曲线的形状；当μ一定时，曲线的形状由σ确定。σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。知识点2：正态分布（1）正态分布若随机变量X的概率密度函数为fx=1σ2πe−(x−μ)22σ2【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x=4，m与8−m关于x=4对称，所以PX<8−m所以PX>8−m故选：A．（2）标准正态分布若随机变量X∼N(μ,σ2),则当μ=0,σ=1时，称随机变量X【即学即练2】（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（

）

A．Y的数据较X更集中B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【详解】观察图象知，X~N30,对于A，Y的密度曲线瘦高、X的密度曲线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1因此Y的数据较X更集中，A正确；对于B，显然P(X≤34)>1对于C，显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；对于D，显然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故选：D知识点3：正态分布的3σ原则：正态分布在三个特殊区间的概率值假设X∼N(μ ， σ2)，可以证明：对给定的k∈特别地，P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.上述结果可用右图表示.此看到，尽管正态变量的取值范围是(−∞,+∞)，但在一次试验中，X在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ−3σ,μ+3σ]【即学即练3】（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（

）参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，PA．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【详解】由题意可知，μ=171，σ=4，所以．故选：A题型01正态密度函数【典例1】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究､应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为fx=1102πe−(x−100)2A．该地水稻的平均株高为100B．该地水稻株高的方差为100C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．随机测量一株水稻，其株高在90,100和在（单位：cm）的概率一样大【答案】C【详解】依题意μ=100,σ=10，所以平均数为100cm，方差为σ依题意PX≥100+20而PX≤80>PX≤70P100−10<X<100故选：C【典例2】（2024·全国·高二假期作业）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数f(x）=1102πA．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为10【答案】B【详解】∵密度函数f(x）=1∴该市这次考试的数学平均成绩为80分该市这次考试的数学标准差为10，从图形上看，它关于直线x=80对称，且50与110也关于直线x=80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）如图，若一个随机变量X服从某正态分布X~Nμ,σ2，且已知函数fx=1σ【答案】51【详解】由图可知，当x=5时，fx=1所以μ=5,σ=1，所以X~N5,1，所以EX=μ=5故答案为:5;1.【变式1】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态分布密度函数fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【答案】B【详解】根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2x，f3且都在f1x的右侧，即比较f1x和f2又f3x的离散程度比f1x和故选：B【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布Bn,p，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布Nμ,σ2，其密度函数φμ,σx=12πσe−x−μ22σ2，x∈A．tB．当x>0时，PC．随机变量X∼Nμ,σ2，当μ减小，σD．随机变量X∼Nμ,σ2，当μ，σ【答案】AC【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：t(−x)=P(Z<−x)=P(Z≥x)=1−P(Z<x)=1−t(x)，故A正确；对于B,当x>0时，tx对于C，D，根据正态分布的3σ准则，在正态分布中σ代表标准差，μ代表均值,x=μ即为图象的对称轴，根据3σ原则可知X数值分布在μ−σ,μ+σ中的概率为0.6826，是常数，故由P(|X−μ|<σ)=P(μ−σ<X<μ+σ)可知，C正确，D错误，故选：AC【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(μ,σ2)则下列结论正确的是（

）．（附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，A．σ=3B．长度误差落在(−3,3)内的概率为0.6826C．长度误差落在(3,6)内的概率为0.1359D．长度误差落在(3,9)内的概率为0.1599【答案】ABC【详解】由图中密度函数解析式，可得σ=3，A选项正确；又由图像可知μ=0，则长度误差落在(−3,3)内的概率为P−3<X<3长度误差落在(3,6)内的概率为P3<X<6==1长度误差落在(3,9)内的概率为P3<X<9故选：ABC.题型02概率分布曲线的认识【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)与分别为（

）A．12−p,12 B．p,12【答案】C【详解】根据题意，且P(ξ<0)=p，则P(0<ξ<1)=1−2p由正态曲线得ξ~N1,12故选：C．【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知三个正态密度函数φix=12πσiA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【答案】C【详解】由题图中y=φixy=φ1x与y=所以σ1故选：C【典例3】（2023下·高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ1（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π⋅σA．甲类水果的平均质量μB．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ【答案】A【详解】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，所以μ1=0.4，μ2因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中），所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即12π⋅σ故选：A．【变式1】（2024·全国·高三专题练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X~Nμ1,62,Y~NμA．D(X)=6 B．C．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【答案】C【详解】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X~Nμ可得随机变量X的方差为σ2=6对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量μ1所以μ1对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X≤38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于Y≤38时随机变量Y对应的曲线与x围成的面积，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D错误.故选：C.【变式2】（2024·全国·高二假期作业）设X~Nμ1,σ1A． B．σ1C．PY≥μ2【答案】D【详解】因为X~Nμ1,σ1所以由图可知，μ1因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以σ1所以PY≥μ2所以C错误，D正确，故选：D【变式3】（多选）（2023上·全国·高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X∼Nμ

A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性【答案】AC【详解】X，Y均服从正态分布，X∼结合正态密度函数的图象可知，可得μ1=μ故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．故选：AC题型03标准正态分布的应用【典例1】（2023下·江苏淮安·高二校考阶段练习）我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X∼N(50,256)，那么附：①若X∼N(μ,σ2)，Y=②当Y∼N(0,1)时，P(Y≤1.5)≈0.9.A．23 B．29 C．26 D．43【答案】C【详解】由题意知：从低到高，即E到D等级人数所占比例为10%，若D等级的原始分最高为X，则P(Y≤X−5016)=0.1所以P(Y≤X−5016)=1−P(Y≤1.5)所以P(Y≤X−5016)=P(Y≤−1.5)，即X−50故选：C【典例2】（多选）（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N0,1，定义函数fx为X取值不超过x的概率，即fx=PX≤xA．f−x=1−fxC．fx在0,+∞上是减函数 D．【答案】AD【详解】因为随机变量X服从正态分布N0,1所以f−xf2x=PX≤2x,2fx所以f2x因为x>0，所以当x增大时，fxP=1−21−f(x)故选：AD.【典例3】（2024·山西·校联考模拟预测）2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数x和样本方差s2（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X~Nμ,σ2，令Y=X−μ（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求PX≤10（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求PZ≥1（结果精确到0.001）以及Z参考数据：1.64≈1.28，0.773420≈0.0059．若【答案】（1）9，1.64；（2）（ⅰ）0.7734，（ⅱ）0.994，4.532.【详解】解：（1）x=6×0.02+7×0.1+8×0.2+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9s2（2）（ⅰ）由题知，σ2=1.64，所以X~N9,1.64，所以PX≤10（ⅱ）由（ⅰ）知PX>10=1−PX≤10PZ≥1故Z的数学期望EZ【变式1】（2024·全国·高二假期作业）《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91,100，[81,90]，71,80、61,70、51,60、41,50、31,40、21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X～N50,256，那么D等级的原始分最高大约为（

附：①若X～，Y=X−μσ，则Y～N0,1；②当Y～N0,1A．23 B．29 C．36 D．43【答案】B【详解】由题意知：X～N50,256则有μ=50，设D等级的原始分最高大约为x，对应的等级分为40，而P(等级分≥40)∴有P(原始分x−5016而PY≤1.3≈0.9∴有x−5016=−1.3故选：B【变式2】（多选）（2023下·高二课时练习）若随机变量ξ~N0,1，Φx=Pξ≤x，其中A．Φ−x=1−ΦxC．Pξ≤x=2Φ【答案】ACD【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知Pξ≤−x所以，Φ−x对于B选项，Φ2x对于C选项，P=Φx对于D选项，Pξ故选：ACD.【变式3】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X~N(0，1)，fx=PX≤x，其中xA．f(-x)=1-f(x) B．fC．f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D．P【答案】ACD【详解】因为随机变量X服从正态分布N0,1，所以正态曲线关于直线x=0对于A，因为fx=PX≤x，所以f对于B，当x=1时，f1=PX≤1>0.5,2f1对于C，结合正态曲线，易得fx在0,+∞上是单调增函数，故C对于D,PX≤x=P故选：ACD题型04特殊区间的概率【典例1】（2024·全国·模拟预测）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是（

）（若随机变量X～Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【详解】由题可知，μ=1000，σ=50，P950≤X≤1100=Pμ−σ≤X≤μ+2σ故选：B．【典例2】（2024上·黑龙江·高二校联考期末）已知某批产品的质量指标X服从正态分布N25,0.16，其中X∈24.6,26.2参考数据：若X∼Nμ,σ2，则P【详解】由题意知，该产品服从X∼N25,0.16，则μ=25,σ=0.4所以P=0.6827即抽到“可用产品”的概率为0.84，故答案为：0.84【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N15,9，其中X∈6,18参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【详解】由题意知，该产品服从X∼N(15,9)，则μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15−3≤X≤15+3×3)=P(μ−σ≤X≤μ+3σ)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用产品”的概率为0.84.故答案为：0.84.【变式1】（多选）（2024上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N100,102，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布NPμ−σ≤ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤ξ≤μ+2σA．EX=100 C．PX≥90≈0.84135 【答案】AC【详解】∵随机变量X服从正态分布N100,1正态曲线关于直线X=100对称，且EX=100，根据题意可得，P90≤X≤110≈0.6827，∴PX≥90X≤120与不关于直线X=100对称，故D错误．故选：AC．【变式2】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布Nμ,σ2，用样本平均数x和标准差S分别作为μ、σ的近似值，其中样本标准差S的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程X（参考数据：若随机变量X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.8186【详解】X+405×0.001×50=300，故X∼N300,50=1−1故答案为：0.8186【变式3】（2024上·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值xi(i=1,2,3,⋯,100)，经计算i=1100xi=7200，参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】97.7%【详解】因为100个数据x1，x2，x3，…，x方差s2所以μ的估计值为μ=72，σ的估计值为σ=6．设该市高中生的身体素质指标值为X，由P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，得P(72−12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545，P所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+1故答案为：97.7%.题型05指定区间的概率【典例1】（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X∼N5.5,σ2A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5，则P(5.5<x<6)=0.5−0.2=0.3，则P(5<x<6)=0.3×2=0.6，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C3故选：B.【典例2】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）己知随机变量X∼N3,σ2,PX≤1A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【详解】由X∼N3,σ2，P故P1≤X≤5故选：C.【典例3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布N1,σ2σ>0，若，则【答案】0.4/2【详解】由可得PX<0=1−0.9=0.1则PX>2=PX<0所以P1<X<2故答案为：0.4.【变式1】（2024上·河南焦作·高二统考期末）已知随机变量X∼N10,σ2，且P(X<11)=0.7，则P(10≤X<11)=A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【详解】根据正态分布曲线的对称性，可得P(10≤X<11)=P(X<11)−P(X<10)=0.7−0.5=0.2故选：B.【变式2】（多选）（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N3.5,0.25，则下列结论正确的是（

A．该正态分布的均值为3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥1【答案】AB【详解】因为X~N3.5,0.25对于A选项，该正态分布的均值为μ=3.5，A对；对于B选项，PX>3.5对于C选项，P4<X≤4.5对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，PX≤3故选：AB.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布N8,σ2，且PX<5【答案】0.2【详解】随机变量X服从正态分布N8,σ2又由PX<5=0.3，则所以P8≤X≤11故答案为：0.2题型06正态分布的实际应用【典例1】（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径X∼N10,4，现在抽取10000件进行检查，则直径在12,14之间的零件大约有（注：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【详解】∵X满足正态分布X∼P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直径在12,14之间的零件大约有1359件.故答案为：1359【典例2】（2024·全国·高三专题练习）2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分N80,σ2．若P【答案】36125/【详解】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率PX>85所以恰有2名考生的成绩高于85的概率P=C故答案为：36125【典例3】（2024上·全国·高三期末）据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔㓞度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔㓞度､力量､速度､而力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X∼Nμ,σ2，其中μ近似为女生短跑平均成绩x,σ2近似为样本方差s2，经计算得s附参考数据：5.79≈2.41，随机变量X服从正态分布Nμ,σ【答案】(1)16.16(2)0.073【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：11×0.04+13×0.12+15×0.36+17×0.28+19×0.12+21×0.06+23×0.02=16.16.（2）由题意知X∼则μ−2σ=11.34,μ+2σ=20.98，故该校女生短跑成绩在11.34,20.98内的概率p=P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，由题意可得Y∼所以PY=9PY=10所以PY≤8【变式1】（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25).为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段67,n内抽取学生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段67,n内的人数为人（附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【详解】因为P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545−∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，该班在[67,82)内抽取了11人，他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案为：11.【变式2】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X.(1)求EX(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X∼Bn,p，则DX=np1−p，当n较大且较小时，我们为了简化计算，常用E请根据上述信息，求：①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.参考数据：若X∼Nμ,σ2【答案】(1)EX(2)①0.683；②0.0015【详解】（1）由题可知X∼则EX记该公司今年这一款保险产品利润为变量Y，则Y=200−5X，所以EY（2）因为X∼Bn,p，当n较大且较小时，EX=25，则由于n较大，X∼Nμ,σ2若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X∈50,100，则XPY=200−5X若该公司今年这一款保险产品利润Y=200−5X<0，则X>40，P(Y=200−5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)=1−0.997答：（1）EX（2）①该公司今年这一款保险产品利润为50∼②亏损的概率为0.0015.【变式3】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径xi123456789101112x28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：i=112(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差s2(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求PA②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N30,82参考公式：若Y∼则PY−μ参考数据：0.6827【答案】(1)μ=30，s2(2)①PA≈0.57；②【详解】（1）样本均值μ=1样本方差s=112（2）①由题意可得，树干直径Y（单位：cm)近似服从正态分布N在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.9545，所以PA②若树干直径Y近似服从正态分布N30,在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间22,38的概率是0.6827，则PA此时事件A发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.事件A是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.题型073δ原则【典例1】（2024下·全国·高三期末）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】(1)70(2)①能，理由见解析②假【详解】（1）设Ai：第i次通过第一关，Bi：第i次通过第二关，甲可以进入第三关的概率为P=P.（2）设此次闯关活动的分数记为X∼Nμ,σ2.①由题意可知μ=171，因为57所以μ+2σ=351，则σ=351−1712=90且，所以前400名参赛者的最低得分高于μ+σ=261，而甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励；②假设乙所说为真，则μ=201，PX≥μ+2σ而572500=0.0228，所以σ=351−201而PX≥μ+3σ所以X≥μ+3σ为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假.【典例2】（2023下·江苏徐州·高二统考期中）电影《流浪地球2》中有许多可行驶、可作业、可变形的UEG地球联合政府机械设备，均出自中国工程机械领导者品牌—徐工集团.电影中有很多硬核的装备，其实并不是特效，而是用国产尖端装备设计改造出来的，许多的装备都能在现实中寻找到原型.现集团某车间新研发了一台设备，集团对新设备的具体要求是：零件内径（单位：mm）在199.82,200.18范围之内的产品为合格品，否则为次品；零件内径X满足正态分布X～N200,0.0036(1)若该车间对新设备安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：199.87，199.91，199.99，200.13，200.19，如果你是该车间的负责人，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．(2)若该设备符合集团的生产要求，现对该设备生产的10000个零件进行跟踪调查．①10000个零件中大约有多少个零件的内径可以超过200.12mm？②10000个零件中的次品的个数最有可能是多少个？参考数据：若随机变量X~Nμ,σ2，则PPμ−3σ<X<μ+3σ≈0.997，0.997【答案】(1)这台设备需要进一步调试，理由见解析(2)①225件；②30【详解】（1）方法1：因为X~N200,0.0所以P200−3×0.06<X<200+3×0.06即P199.82<X<200.08所以五个零件的内径中恰有1个不在μ−3σ,μ+3σ的概率为C5又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，所以小概率事件出现了，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试．方法2：因为P199.82<X<200.08故至少有1个次品的概率为1−0.997又因为试产的5个零件中内径出现了1个不在μ−3σ,μ+3σ内，所以小概率事件出现了，根据3σ原则，这台设备需要进一步调试．（2）①因为μ=200，σ=0.06，所以PX>200.12生产的10000件零件中内径超过200.12mm的件数Y服从二项分布B（10000，0.0225），则EY答：大约有225件零件的内径可以超过200.12mm．②次品的概率为1−P198.82<X<200.12抽取10000个零件进行检测，设次品数为ξ，则ξ~B10000,p，其中p=0.003故Pξ=k=C则C10000即10000!k!即pk解得10001p−1≤k≤10001pk因为p=0.003，所以10001p=30.003，10001p−1=29.003，故k=30．从而10000件零件中的次品数最可能是30．答：这10000件零件中的次品数最可能是30．【典例3】（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x和方差s2(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布Nμ,σ2，用直方图的平均数估计值x作为μ的估计值μ，用直方图的标准差估计值s作为σ（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了μ−3σ,μ+3σ之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用μ和σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的零件个数，求PX≥1及X参考公式：直方图的方差s2=i=1nx参考数据：若随机变量X服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973，0.011≈0.105，【答案】(1)1；0.011(2)（i）需停止生产并检查设备；（ii）PX≥1≈0.0267【详解】（1）由频率分布直方图，得x=0.8×0.1+0.9×0.2+1×0.35+1.1×0.3+1.2×0.05=1s2（2）（i）由（1）可知μ=1，σ所以μ−3σ=1−0.315=0.685显然抽查中的零件指标1.33>1.315，故需停止生产并检查设备．（ii）抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之内的概率为0.9973，所以抽测一个零件关键指标在μ−3σ,μ+3σ之外的概率为1−0.9973=0.0027，故X∼B10,0.0027，所以PX的数学期望EX【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用．已知某批产品的质量指标X服从正态分布N15,9，其中X∈6,18参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827【答案】0.84/21【详解】由题意知，该产品服从X∼N(15,9)，则μ=15,σ=3，所以P(6≤X≤18)=P(15−3≤X≤15+3×3)=P(μ−σ≤X≤μ+3σ)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)，又P(μ+σ≤X≤μ+2σ)=1P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=1所以P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)+P(μ+2σ≤X≤μ+3σ)=0.1573，所以P(μ−σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+3σ)=0.1573+0.6827=0.84，即P(6≤X≤18)=0.84.所以抽到“可用产品”的概率为0.84.故答案为：0.84.【变式2】（2023下·福建泉州·高二校考期中）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）：9797设这10个数据的平均值为μ，标准差为σ．(1)求μ与σ；(2)假设这批零件的内径Z（单位：）服从正态分布Nμ,σ2．从这批零件中随机抽取5个，设这5个零件中内径小于87cm的个数为X参考数据：若X~Nμ,σ2，则Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545【答案】(1)μ=105，σ=6(2)3.027【详解】（1）解：μ=1σ2=1（2）解：由（1）可知，X~N105,36，则87=105−3×6=μ−3σ所以，PZ<87由题意可知，X~B5,0.00135，则E由期望的性质可得E4X+3【变式3】（2023下·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.(1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布N240,6①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.附：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ【答案】(1)60(2)①3274人；②不可信.【详解】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有C21种，在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，则C4若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有A2所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共12+48=60种方法.（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X∼由题知μ=240，σ=60，μ+2σ=240+120=360，μ−σ=240−60=180，则P180≤X≤360所以4000×0.8186=3274.4，所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有3274人；②不可信.μ+3σ=240+3×60=420<425，则PX≥μ+3σ4000名学生中成绩大于420分的约有4000×0.00135=5.4人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，说法错误，此宣传语不可信.题型08根据正态曲线的对称性求参数【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X服从正态分布N3,4，若PX>a−2=PX<6−3a，则A．−2 B． C．12 D．1【答案】B【详解】由题意随机变量X服从正态分布N3,4，即正态分布曲线关于x=3因为PX>a−2故a−2+(6−3a)2故选：B【典例2】（2024·全国·模拟预测）设随机变量ξ服从正态分布N1,4，若，且，则b=．【答案】3【详解】因为，所以．又因为，则2a+b=2b−a，所以b=3a=3.故答案为：3.【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量,且Pξ≤0=Pξ≥a，若x+y=ax>0，y>0,则1【答案】3【详解】ξ∼N1,σ2又Pξ≤0=Pξ≥a，∴则1x当且仅当y=2x，即故答案为：32【变式1】（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量ξ∼N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，则A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【详解】由随机变量ξ∼N1,4，所以函数曲线关于直线ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故选：B【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设随机变量ξ服从正态分布，若P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，则下列结论正确的为（

）A．μ=3 B．PC．Dξ=7【答案】AD【详解】因为P(ξ<2)=P(ξ>4)=a，根据正态分布的对称性，可知，μ=2+4根据对称性可知，P3≤ξ≤4因为ξ∼N(μ,7)，所以Dξ根据对称性可知，P2≤ξ≤3故选：AD【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂生产一批零件（单位：），其尺寸X服从正态分布Nμ,σ2，且PX≤20=0.2，P【答案】23【详解】因为X服从正态分布Nμ,σ2，且P则PX≥26所以，μ=20+26故答案为：23.A夯实基础B能力提升A夯实基础1．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X～N4,σ2，若PX>m=0.8A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9【答案】A【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x=4，m与8−m关于x=4对称，所以PX<8−m所以PX>8−m故选：A．2．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，且Pξ≤0=0.2A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】D【详解】因ξ服从正态分布N2,σ2，且P于是P(2<ξ≤4)=故选：D.3．（2024上·辽宁辽阳·高二统考期末）某市高三年级男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（

）参考数据：Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.683，Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.954，PA．0.477 B．0.478 C．0.479 D．0.480【答案】A【详解】由题意可知，μ=171，σ=4，所以．故选：A4．（2024上·江西上饶·高二江西省广丰中学校考期末）阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（

）

A．Y的数据较X更集中B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大D．P(X>30)+P【答案】D【详解】观察图象知，X~N30,对于A，Y的密度曲线瘦高、X的密度曲线矮胖，即随机变量Y的标准差小于X的标准差，即σ1因此Y的数据较X更集中，A正确；对于B，显然P(X≤34)>1对于C，显然P(X≤38)<P(Y≤38)，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；对于D，显然P(X>30)=12,P(Y≤30)<P(Y<34)=故选：D5．（2024·全国·高二假期作业）据统计2023年“五一”假期哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布N2000,1002附：X~Nμ,σ2，，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=0.9545A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987【答案】C【详解】依题意，μ=2000,P=1−故选：C6．（2024·重庆·统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X∼N5.5,σ2A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5，则P(5.5<x<6)=0.5−0.2=0.3，则P(5<x<6)=0.3×2=0.6，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C3故选：B.7．（2024上·广西北海·高二统考期末）已知随机变量ξ∼N1,4，且Pξ≤m=Pξ>m，则A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【详解】由随机变量ξ∼N1,4，所以函数曲线关于直线ξ=1又Pξ≤m=Pξ>m，且P故选：B8．（2024·全国·模拟预测）据统计，某快递公司的200名快递员每人每月派送的快递件数X服从正态分布，且X~N3000,σ2A．40 B．60 C．70 D．80【答案】A【详解】由题意知，每月派送的快递件数不低于4000的快递员所占比例为60200故每月派送的快递件数在2000,3000的快递员所占比例为1−0.3×22故每月派送的快递件数在2000,3000的快递员人数为200×0.2=40人．故选：A.二、多选题9．（2024上·广西桂林·高二统考期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X~N3.5,0.25，则下列结论正确的是（

A．该正态分布的均值为3.5 B．PC．P4<X≤4.5≥1【答案】AB【详解】因为X~N3.5,0.25对于A选项，该正态分布的均值为μ=3.5，A对；对于B选项，PX>3.5对于C选项，P4<X≤4.5对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，PX≤3故选：AB.10．（2024下·全国·高二随堂练习）某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X,Y，已知X,Y均服从正态分布，X∼NμA．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性C．甲生产线的产品尺寸平均值等于乙生产线的产品尺寸平均值D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值【答案】AC【详解】由图可知，甲乙两条生产线产品尺寸的平均值相等，甲的正态分布密度曲线瘦高，即甲生产线产品尺寸的方差更小，故甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性，故选：AC．三、填空题11．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径X∼N10,4，现在抽取10000件进行检查，则直径在12,14之间的零件大约有（注：P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ−2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ−3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974）【答案】1359【详解】∵X满足正态分布X∼P(6<X≤14)≈0.9544,∴∴直径在12,14之间的零件大约有1359件.故答案为：135912．（2024上·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值X近似服从正态分布N(72,25).为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段67,n内抽取学生，且P(67≤X≤n)=0.8186.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段67,n内的人数为人（附：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973）【答案】11【详解】因为P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)=0.8186=0.9545−∴n=82，即P(67≤X≤82)=0.8186，由已知，该班在[67,82)内抽取了11人，他们的分数为68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81.故答案为：11.四、解答题13．（2024上·全国·高三期末）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定a的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ参考数据：若X~Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545【答案】(1)0.0480.048；众数是82.5，75%分位数是86.6(2)75.4分【详解】（1）根据频率分布直方图，可得：(0.008+0.018+a+0.064+0.038+0.016+0.008)×5=1，解得a=0.048，这组数据的众数为，由(0.008+0.018+0.048+0.064)×5=0.69，则这100份样本试卷成绩的75%分位数是85+0.75−0.69（2）由，所以，因为1−1所以P(X≥μ−σ)=P(X≥82.15−6.75)=P(X≥，所以测试前预估的平均成绩大约为75.4分．14．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数x作为μ的值．参考数据：若X~Nμ,σ2(1)求μ的值；(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有ξ个零部件的质量分数在940,980内，则n为何值时，Pξ=10【答案】(1)μ=960(2)160(3)n=14【详解】（1）x=900+所以μ=960．（2）由（1）知，X~N960,2PX<940该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为0.16×1000=160．（3）每个零部件的质量分数在940,980内的概率为Pμ−σ≤X≤μ+σ由题意可知ξ~Bn,0.68则Pξ=10设fn=C则fn+1令0.32n+0.32n−9>1，得所以当n≤13时，fn+1令0.32n+0.32n−9<1，得所以当n≥14时，fn+1所以n=14时，fn最大，故使Pξ=10最大的B能力提升1．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为0.25%，记10000名客户中获得赔偿的人数为X.(1)求EX(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若X∼Bn,p，则DX=np1−p，当n较大且较小时，我们为了简化计算，常用E请根据上述信息，求：①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元