2024年安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学中考数学模拟试卷+

2024年安徽省合肥市庐江县柯坦初级中学中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。1．（4分）下列四个数中，最小的是（）A．﹣3 B．﹣3.5 C．0 D．|﹣5|2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（）A．115×104 B．115×105 C．1.15×106 D．1.15×1073．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a64．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（）A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．采用的调查方式是全面调查 B．总体中重量的达标率一定是80% C．样本的中位数是25.2kg D．样本的平均数是25.1kg8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（）A．62° B．59° C．56° D．45°9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（）A．DE的最小值是 B．∠DEO总小于60° C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是 D．△DOE周长的最小值是+3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为．12．（5分）因式分解：a3﹣a＝．13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为．14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．（1）cos∠DBC的值为；（2）的值为．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；（2）根据上述等式规律写出第n个等式；（3）证明（2）中你所写等式的正确性．20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．六、（本题满分12分）21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：根据信息解答：（1）填空：该班共有名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为；（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．（1）求证：BC＝DC；（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．八、（本题满分14分）23．（14分）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（1，0）和点C（3，0），直线l：y＝kx+2k+3经过定点D．（1）求a和b的值及点D的坐标；（2）如图1，当k＝﹣1时，位于直线l上方的抛物线上有一点P，过点P作PM∥y轴交直线l于点M，求PM的最大值；（3）如图2，连接并延长AB，将射线AB绕点A顺时针旋转45°后，与抛物线相交于点E，求点E的坐标．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。1．（4分）下列四个数中，最小的是（）A．﹣3 B．﹣3.5 C．0 D．|﹣5|【分析】根据两个负数比较，绝对值小的反而大，负数小于0，0小于正数，即可解答．【解答】解：∵|﹣3|＝3，|﹣3.5|＝3.5，∴3.5＞3，∴﹣3.5＜﹣3，∵|﹣5|＝5，∴在﹣3，﹣3.5，0，|﹣5|这四个数中，﹣3.5＜﹣3＜0＜|﹣5|，∴最小的是﹣3.5，故选：B．【点评】本题考查了有理数大小比较，绝对值，熟练掌握两个负数比较，绝对值小的反而大是解题的关键．2．（4分）去年12月8日，2023世界新能源汽车大会“碳中和愿景下的全面电动化解决方案”论坛在我国海南国际会展中心隆重召开，随后，中国汽车工业协会发布了《2024中国汽车市场整体预测报告》．预测2024年中国新能源汽车销量将达1150万辆左右，1150万用科学记数法表示为（）A．115×104 B．115×105 C．1.15×106 D．1.15×107【分析】用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【解答】解：1150万＝11500000，用科学记数法表示为1.15×107．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定是关键．3．（4分）下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．（﹣a2）3＝a6【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项和幂的乘方与积的乘方法则进行逐项判断即可．【解答】解：A、a3与a2不是同类项，故不能进行合并，不符合题意；B、a3•a2＝a5，故该项不正确，不符合题意；C、a8÷a2＝a6，故该项正确，符合题意；D、（﹣a2）3＝﹣a6，故该项不正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．4．（4分）下列四个几何体中，其主视图是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据简单几何体的主视图的性质结合轴对称图形，中心对称图形的定义进行判断即可．【解答】解：A．圆锥体的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，因此选项A符合题意；B．正方体的主视图是正方形，正方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项B不符合题意；C．圆柱体的主视图是长方形，长方形既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项C不符合题意；D．球体的主视图是圆，圆既是是轴对称图形，又是中心对称图形，因此选项D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体主视图的形状以及中心对称图形、轴对称图形的定义是正确解答的关键．5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：解①得：x＞﹣3，解②得：x≤2，故不等式的解集为：﹣3＜x≤2，在数轴上表示为：故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．6．（4分）如图、AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，则下列结论一定正确的是（）A．∠ABE＝∠FCB B．∠GAC＝∠GCA C．FG＝GC D．BF＝BH【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．【解答】解：A、∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠ABE＝∠ACB＞∠FCB，故本选项说法错误，不符合题意；B、当△ABC为等腰直角三角形时，AB≠AC，∵AD是中线，∴AD不是角平分线，∴∠GAC≠∠GCA，故本选项说法错误，不符合题意；C、∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，当FG＝GC时，DG是△CBF的中位线，则GD∥BF，故本选项说法错误，不符合题意；D、∵∠ACF＝∠BCF，∠BFC＝90°﹣∠BCF，∠BHF＝∠EHC＝90°﹣∠ACF，∴∠BFC＝∠BHF，∴BF＝BH，故本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的角平分线、中线和高的概念是解题的关键．7．（4分）某超市销售一种袋装大米，在包装袋上标有净重：25±0.25（kg）．一次，主管部门对超市预销售的500袋这种大米进行重量检测，从中随机抽取了10袋，测得他们的重量如下（单位：kg，包装袋的重量已扣除）：25.1，25.4，24.9，25.2，25.2，25.2，25.0，24.7，25.1，25.2，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．采用的调查方式是全面调查 B．总体中重量的达标率一定是80% C．样本的中位数是25.2kg D．样本的平均数是25.1kg【分析】根据全面调查与抽样调查、样本估计总体、中位数的概念、平均数的计算公式计算，判断即可．【解答】解：A、采用的调查方式是抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意；B、总体中重量的达标率大约是80%，而不是一定是80%，故本选项说法错误，不符合题意；C、样本的中位数是25.15kg，故本选项说法错误，不符合题意；D、样本的平均数为：（25.1+25.4+24.9+25.2+25.2+25.2+25.0+24.7+25.1+25.2）＝25.1（kg），本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是中位数、平均数、全面调查与抽样调查以及样本估计总体，掌握相关的概念是解题的关键．8．（4分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，D为优弧BC上任意一点，若∠A＝28°，则∠D＝（）A．62° B．59° C．56° D．45°【分析】连接OB，由切线的性质求得∠ABO＝90°，则∠BOC＝∠A+∠ABO＝118°，所以∠D＝∠BOC＝59°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝28°，∴∠BOC＝∠A+∠ABO＝28°+90°＝118°，∴∠D＝∠BOC＝×118°＝59°，故选：B．【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（4分）已知关于x的函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．【解答】解：∵函数y＝ax2﹣（a+1）x+（a﹣1）的图象与坐标轴共有两个不同的交点，∴当a＝0时，此时y＝﹣x﹣1与两坐标轴两个交点，当a≠0时，则或，解得，a＝或a＝1，由上可得，a的值是0，或1，共4个．故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．10．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AB边上的动点，连接OE，DE，DE交AO于点F．若AB＝2BC＝4，∠DAB＝60°，则下列结论中错误的是（）A．DE的最小值是 B．∠DEO总小于60° C．当点E是AB的中点时，△EOF的面积是 D．△DOE周长的最小值是+3【分析】由题可证△ADB是直角三角形，A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的最小值是3；B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，连接DG，易知∠DGO＝60°．以DG为直径画⊙P交AB于点H，当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于60°；C．易得▱ABCD的面积为，当E是AB的中点时，△AOE的面积为，OE∥AD，则，可得△EOF的面积是为；D．如图2，作D关于AB的对称点D′，连接OD′，交AB于E，此时△DOE的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，则∠ODD'＝60°，推出∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，此时△DOE的周长＝．【解答】解：由题可知△ADB是直角三角形，，A．当DE⊥AB时，DE取最小值，可得DE的最小值是3；B．如图1，过点O作OG⊥BD交AB于G，连接DG，则∠DGO＝60°．以DG为直径画⊙P交AB于点H，当E与G或H重合时，∠DEO＝60°，当点E在线段GH上（不含端点），∠DEO大于60°；C．易得▱ABCD的面积为，当E是AB的中点时，△AOE的面积为，OE∥AD，∴，可得△EOF的面积是为；D．如图2，作D关于AB的对称点D′，连接OD′，交AB于E，此时△DOE的周长取最小值，，∠ADD'＝∠AD'D＝30°，∴∠ODD'＝60°，∴∠DOD'＝90°，OD'＝DD'•sin60°＝3，此时△DOE的周长＝．故选：B．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积．平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）代数式有意义时，x应满足的条件为x≥0且x≠1．【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．【解答】解：由题意得，解得：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．12．（5分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案为：a（a+1）（a﹣1）【点评】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的边AB∥x轴，OA＝AB，点B关于直线OA的对称点B′的坐标为，若反比例函数的图象经过点B．则k的值为．【分析】过点B作x轴的垂线，根据轴对称的性质求出点B的坐标即可解决问题．【解答】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M，因为点B和点B′关于OA对称，所以∠B′OA＝∠BOA，OB＝OB′．因为AO＝AB，所以∠AOB＝∠ABO，又因为AB∥x轴，所以∠ABO＝∠BOM，所以∠AOB＝∠BOM，所以∠B′OA＝∠AOB＝∠BOM＝30°．因为点B′的坐标为，所以OB＝OB′＝．在Rt△BOM中，sin30°＝，所以BM＝，所以OM＝，则点B的坐标为（3，）．将点B坐标代入y＝得，k＝．故答案为：．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征及坐标与图形变化﹣对称，熟知反比例函数的图象和性质及轴对称的性质是解题的关键．14．（5分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D为AC的中点，点M在BC边上，且满足，MP⊥BD，垂足为N，交AB于点P．（1）cos∠DBC的值为；（2）的值为．【分析】（1）设CM＝a，则BM＝5a，根据勾股定理求出BD＝3a，再根据余弦定义求解即可；（2）延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，结合直角三角形的性质求出∠DBC＝∠E，∠ECM＝∠BCD＝90°，则△EMC∽△BDC，根据相似三角形的性质得出＝，设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，根据比例的性质求出CE＝2a，根据平行线的性质推出△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，根据相似三角形的性质等量代换求解即可．【解答】解：（1）设CM＝a，则BM＝5a，∴BC＝CM+BM＝6a，∵AC＝BC，∴AC＝6a，∵点D为AC的中点，∴CD＝3a，∵∠C＝90°，∴BD＝＝3a，∴cos∠DBC＝＝＝，故答案为：；（2）如图，延长PM，交AC的延长线于点E，过点A作AF∥BC交MP的延长线于点F，∵∠ACB＝90°，MP⊥BD于N，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BDC+∠E＝90°，∴∠DBC＝∠E，又∵∠ECM＝∠BCD＝90°，∴△EMC∽△BDC，∴＝，设CM＝a，则BM＝5a，CD＝3a，∴＝，∴CE＝2a，∵AF∥BC，∴△ECM∽△EAF，△AFP∽△BMP，∴＝＝＝，＝，∴AF＝4a，∴＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）计算：．【分析】先计算二次根式、负整数指数幂和平方，再计算加减．【解答】解：＝﹣4+2+3＝1．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．16．（8分）“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？【分析】设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，根据开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了50%，结果提前2小时完成了任务，列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设“青年志愿团”原计划每小时植树x棵，由题意得：﹣＝2，解得：x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，答：“青年志愿团”原计划每小时植树20棵．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）请将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．【分析】（1）利用点平移的规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．18．（8分）如图，在同一水平地面上有AB和CD两栋楼，从楼AB顶部A点处测得楼CD的底部D点的俯角为45°，从楼CD顶部C点处测得楼AB的G点的俯角为33.5°，且BG＝1米，已知楼AB高25米，求楼CD的高度．（精确到1米，参考数据：sin33.5°≈0.55，cos33.5°≈0.83，tan33.5°≈0.66）【分析】过点C作CF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，从而可得∠EAD＝∠ADB＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD长，从而在Rt△CFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：如图：过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得：CD＝BF，CF＝BD，AB⊥BD，AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝25米，∴BD＝＝25（米），∴CF＝BD＝25米，在Rt△CFG中，∠FCG＝33.5°，∴FG＝CF•tan33.5°≈25×0.66＝16.5（米），∵BG＝1米，∴CD＝BF＝BG+FG＝1+16.5≈18（米），∴楼CD的高度约为18米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；（2）根据上述等式规律写出第n个等式；（3）证明（2）中你所写等式的正确性．【分析】（1）根据前几个等式，可得第5个等式：＝；（2）第n个等式：＝；（3）证明等式左边等于等式右边即可．【解答】解：（1）＝；（2）＝；（3）∵左边＝＝＝＝＝右边，∴等式成立．【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键．20．（10分）已知AB是半径为r的⊙O的直径，C，D分别为⊙O上的两个动点（A，B两点除外，且在直径AB的同侧），CE⊥AB于点E，F是CD的中点．（1）如图1，若CD∥AB，求证：EF＝r；（2）如图2，若CD不平行于AB，r＝5，求EF的长的最大值．【分析】（1）连接OF、OC，证明四边形OECF是矩形即可解答；（2）延长CE交⊙O于点G，连接DG，首先证明点E是CG的中点，得出EF＝DG，进而在DG取得最大值时求出EF的最大值．【解答】（1）证明：如图1，连接OF，OC，∵CE⊥AB，∴∠CEO＝90°，∵CD∥AB，∴∠ECD＝90°＝∠CEO，∵F是CD的中点，∴OF⊥CD，∴∠OFC＝90°，∴四边形OECF是矩形，∴EF＝OC＝r；（2）解：如图2，延长CE交⊙O于点G，连接DG，∵AB是半径为r的⊙O的直径，AB⊥CG于点E，∴E是CG的中点，又∵F是CD的中点，∴EF＝DG，又∵DG的最大值为2r＝10，∴EF的长的最大值是5．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．六、（本题满分12分）21．（12分）某校九年级举行了“爱我中华，学习强国”党史知识测试，并把成绩分成A、B、C、D四个等级，学校决定对成绩为D等级的学生分批进行培训．王老师随机抽取了一个班的成绩进行统计，并绘制了两幅不完整的统计图如图：根据信息解答：（1）填空：该班共有40名学生，扇形统计图中，C等级对应扇形的圆心角的度数为99°；（2）若该校九年级一共有600名学生，估计该校九年级需要参加培训的学生有多少名？（3）该班成绩为D等级的5名同学中，有2名是男生，3名是女生，从中任选两名参加第一批培训，请利用画树状图或列表法，求选中的两名同学恰好都是男生的概率．【分析】（1）根据A等级的人数以及占比即可求出参加知识测试的总人数；先求出C等级的人数，然后根据C等级人数得占比即可求出对应的圆心角度数．（2）用总人数乘以样本中D等级的人数占比即可求出答案．（3）画树状图，共有20种等可能的结果，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）该班的学生数为：8÷20%＝40（名），C等级的人数为：40﹣8﹣16﹣5＝11（名），C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝99°．故答案为：40，99°；（2）600×＝75（名），估计该校九年级需要参加培训的学生有75名；（3）根据题意画图如下：共有20种等可能的结果，被选中的两名学生恰好都是男生的结果有2种，∴被选中的两名学生恰好都是男生的概率为．【点评】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识．七、（本题满分12分）22．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，O是BD的中点，AO的延长线交BC于点E，∠CBD＝∠BAE．（1）求证：BC＝DC；（2）若AE⊥BC，求证：BD2＝4CD•BE．【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出∠BAE＝∠OBA，等量代换得出∠CBD＝∠OBA，结合平行线的性质求出∠CDB＝∠CBD，根据等腰三角形的判定即可得解；（2）根据等腰三角形的性质得出∠COD＝90°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△COD∽△OEB，根据相似三角形的性质即可得解．【解答】证明：（