工程制图技术基础第2章 点直线平面的投影

第2章点的投影2.3直线的投影2.5直线与平面以及两平面之间的相对位置2.2多面正影投和点的投影2.1投影法2.4平面的投影1投影中心投影面投影线空间点投影SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。2.1投影法2.1.1投影法的建立2

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投影特性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心32.1.2投影法的分类投影法可根据投射线平行或汇交分为两类。1.中心投影法特点：投影光线交于一点。42.平行投影法特点：投影光线相互平行。斜投影法正投影法特点：投影光线相互平行且垂直投影面。5投影特性投影:大小与物体和投影面之间的距离无关,度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法正投影法61.2.3正投影的根本特征1.点的正投影特征

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。反之

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。72．直线、平面的正投影特征〔1〕实形性直线或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形，这种特征称为实形性〔以下图a〕。〔2〕积聚性直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚一点或直线，这种特征称为积聚性〔以下图b〕。〔3〕类似性直线或平面倾斜于投影面时，其投影为小于原长或原形的类似形，这种特征称为类似性〔以下图c〕。8返回9物体的单面投影图结论：利用单面投影图无法确定物体的空间形状2.2.1多面正投影通常将物体放置在两个或更多投影面间，向这些投影面作投影，形成多面正投影。

2.2多面正影投和点的投影影投方向102.2.2点在两投影面体系第一分角的投影投影面正面投影面〔简称正面或V面〕水平投影面〔简称水平面或H面〕投影轴ox轴V面与H面的交线〔简称x轴〕HVOX两个投影面互相垂直1.两投影面体系建立11空间互相垂直的正立投影面〔简称正面或V面〕和水平投影面〔简称水平面或H面〕所构成的体系称为两投影面体系。V、H面交线称为投影轴，用OX表示。它将空间划分为四个分角：第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。这里重点讲述的是第一分角中的情况。122.点的两面投影形成及投影规律a点A的水平投影a

点A的正面投影●●●XOVHAaa

xa注意：

空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。〔a〕立体图13H●●●XOVHAaa

点的两面投影特性:〔1〕aa⊥OX轴〔2〕aaxa

axxa=Aa〔A到V面的距离〕=Aa〔A到H面的距离〕a投影面展开省略不画绕X轴下旋转90º不动Va

●●aX14HWV2.2.3点在三投影面体系中的投影1.三投影面体系的建立正面投影面--V面水平投影面--H面侧面投影面--W面投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线OZ轴

V面与W面的交线OY轴

H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y152.点的三面投影形成及投影规律a点A的水平投影a'点A的正面投影a

点A的侧面投影●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY如：空间点A16HWV●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay绕Z轴向右旋转90º绕X轴向下旋转90º不动〔1〕投影面展开aa●x●●azZaa

yayaXYH

YWO

省略不画17●●●●XYZOVHWAaa

a

〔2〕点的三面投影规律〔1〕aa⊥OX轴〔2〕aax=a

ax=xaazay●●YWZaza

XYHayWOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ轴=y=Aa〔A到V面的距离〕a

az=x=Aa〔A到W面的距离〕a

ay=z=Aa〔A到H面的距离〕a

aza

ay=18例点B的两个投影b,b,求第三●b

●●b

bbxbz解法一:通过作45°线使b

bz=bbx解法二:用圆规直接量取b

bz=bbxZOXYWYHYHYW投影b"。bz●●b

bbxZOXYHYW●b

19〔3〕点的三面投影和直角坐标的关系Aa′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHWxyzxyzy表示点A到W面的距离表示点A到V面的距离

表示点A到H面的距离

20例求空间点C的坐标(12,10,15)，试作其三面投影图。XOcxczZYHYWcyHcyW40203020点C:X坐标=12毫米；Y坐标=10毫米；Z坐标=15毫米。c″c′c可见点的坐标〔〕，可以求出点的三面投影。

212.2.4两点的相对位置

空间两点的相对位置，就是指两点之间上下、前后和左右方位关系，它可以通过两点的坐标大小来判断。X坐标值大者在左，反之在右。Y坐标值大者在前，反之在后。Z坐标值大者在上，反之在下。22O比较A、B两点的相对坐标△x△xz△z△y△△yA点在B点之右A点在B点之后A点在B点之上23OXb

bc

cC=c

ca

ba

aXOVHA=aB=b

特殊位置点242.2.5重影点及其投影的可见性

1.重影点空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，那么称此两点为该投影面的重影点。●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●●b

Bb

(b)●b

●●●a

a

b

XYWOYH●●()a（b）Z被挡住的投影加()A、B为水平投影面的重影点25d

(c

)cdCDa(b)a

b

ABa

b

a(b)d

(c

)cdA、B为水平投影面的重影点C、D为正面投影面的重影点返回26O

两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。2.3.1直线及属于直线的点的投影

1.直线的投影2.3直线的投影O272.属于直线的点属于直线的点有两个主要投影特征：(1)附属性

属于直线的点，其各个投影必属于该直线的同面投影.(2)定比性属于直线的点，分割直线成定比，投影后比例关系不变.

28例如以下图所示，侧平线DE的两面投影及属于该直线的K点的正面投影，试求出其水平投影k。方法1

方法2

292.3.2各种位置直线的投影特征

在三投影面体系中，直线与投影面的相对位置可以分为三种情况：垂直、平行和倾斜;其投影特性取决于直线与三个投影面间的相对位置。下面分别讨论它们的投影特征。1.投影面垂直线

凡垂直于某一投影面，同时平行于另两个投影面的直线.投影面垂直线正垂线〔垂直于Ｖ面〕铅垂线〔垂直于Ｈ面〕侧垂线〔垂直于Ｗ面〕30投影面垂直线VWHYXZ铅垂线AB⊥H正垂线AC⊥V侧垂线AD⊥WCDBA31它们的共同投影特征可归纳为两点：

〔1〕直线在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；〔2〕直线的其余两个投影，均平行于相应的投影轴，且反映该直线的实长。32——正垂线AB⊥V2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的V投影面上,投影有积聚性。投影特性:●a

(c

)acc

a

ZOXYHYW33——铅垂线AB⊥

H●a

b

a(b)a

b

ZXYHYW2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的H投影面上,投影有积聚性。投影特性:O34——侧垂线AB⊥

W2.另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。1.在其垂直的W投影面上,投影有积聚性。投影特性:●a

d

ada

(d

)ZXYHYWO352.投影面平行线

凡平行于某一投影面，同时倾斜于另两个投影面的直线.

投影面平行线正平线〔平行于Ｖ面〕水平线〔平行于Ｈ面)侧平线〔平行于Ｗ面〕〔1〕直线在其平行的投影面上的投影，反映直线实长，同时还反映该直线与另两个投影面之间的真实倾角。它们的共同投影特征可归纳为两点：

〔2〕直线的其余两个投影均分别平行于相应的投影轴。36投影面平行线VWHYXZ侧平线水平线正平线37——水平线AB∥H38γβXZ″baaabbOYHYW′′″——水平线实长1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″ZXYoAB∥Hab=ABa

b

∥OXa

b

∥OYW39——正平线AB∥V40——正平线1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Va

b

=ABab∥OXa

b

∥OZZVHabAaaγ

BbbW

γ′′″″oXYγ

XZ″baaabbOYHYW′′″实长41——侧平线AB∥W42——侧平线VHAaβBbW

aba

bβ′′″″ZoXY1、在其平行的那个投影面上的投影反映实长,并反映直线与另两投影面倾角的真实大小。2、另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。投影特性：AB∥Wa

b

=ABa

b

∥OZab∥OYH

″bYW″实长YHβXZbaaabO′′433.一般位置直线凡同时倾斜于三直线投影面的其投影特征为三点：

〔1〕一般位置直线的三个投影与投影轴都倾斜;〔2〕一般位置直线的任一投影均不反映该直线实长，且小于实长。〔3〕任一个投影与投影轴的夹角，均不反映空间直线与任何投影面间的真实倾角。44VWHYXZBA

一般位置直线45

一般位置直线Z

YHaOXabbaYWb

HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY一般位置直线的投影

46例点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

用第三投影求解b

aba

c

b

a

47例判断点C是否在线段AB上。c

abca

b

●●abca

b

c

●●在不在a

b

●●aa

b

c

bc不在应用定比定理另一判断法?XXZXOYHYW●c

48两直线平行：AB//CD两直线相交:CD与DE空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉〔异面〕两直线交叉DE与FG2.3.3两直线的相对位置491.两直线平行bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

OX

性质1：空间平行的两直线在同一的投影面内的投影相互平行，反之也成立。性质2：空间平行两直线长度之比等于其投影长度之比，但反之并不一定成立。假设：AB∥CD；那么：ab∥cd；ab∥cd；ab∥cd。50例判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两组同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB与CD平行。AB与CD不平行。

对于特殊位置直线，只有两组同面投影互相平行，空间直线不一定平行。a

b

c

d

b

d

c

a

dO(1)abcc

a

b

d

XZYHYWZcbadd

b

a

c

(2)XOYHYW51⒉两直线相交空间两直线相交时的投影特征：其同面投影必相交，且交点的投影连线垂直于相应的投影轴。a

c

VXb

HDacdCAKd

bOBkk

cabd

b

a

c

d

Xkk

52●cd

d例过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

Xk

k53例判断直线AB、CD的相对位置。′c′′a′bdabcd相交吗？不相交！为什么？

交点不符合空间一点的投影特性。判断方法？⒈应用定比原理⒉利用侧面投影X54⒊两直线交叉为什么？两直线相交吗？不相交！

交点不符合点的投影规律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′X凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线55cacabddbOX′′′1(2)2●′1●′投影特性：

同面投影不会同时平行，同面投影可能相交，但交点的投影连线不垂直相应的投影轴。“交点〞是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●3(4)34●●′′′●accAaCVbHddDBb′′′′211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43

(4)3Ⅲ●●●●●返回562.4.1平面的表示法不在同一直线上的三个点直线及线外一点两平行直线两相交直线平面图形

平面的几何元素表示法2.4平面的投影abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX572.4.2各种位置平面的投影特征

平面在三投影面体系中，平面相对于投影面的位置有三种情况：垂直、平行和倾斜。下面分别讨论它们的投影特征。1.投影面垂直面

凡垂直于一个投影面，而与另两个投影面倾斜的平面

投影面垂直面正垂面(⊥

V)

铅垂面(⊥

H)侧垂面(⊥

W)共同投影特征

〔1〕平面在所垂直的投影面上的投影，积聚成一直线，该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角；〔2〕平面的另两个投影均为小于实形的类似形。58侧垂面1.投影面垂直面VWHYXZ正垂面铅垂面59铅垂面60c

c

铅垂面abca

b

b

a

积聚性铅垂面γβ投影特征：1〕在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：水平投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2)另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW61正垂面62c

c

正垂面abca

b

b

a

积聚性正垂面γ

投影特征：1〕在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：正面投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2〕另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性XOYHYW类似性63侧垂面64c

c

侧垂面abca

b

b

a

积聚性侧垂面

β投影特征：1〕在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。即：侧面投影积聚成直线。该直线与两投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。2〕另外两个投影面上的投影为类似形。Z类似性类似性XOYHYW651.投影面平行面

凡平行于一个投影面，同时垂直于另两个投影面的平面

投影面平行面

正平面(∥V)水平面(∥H)

侧平面(∥W)共同投影特征

〔1〕平面在所平行的投影面上的投影，反映该平面的实形；〔2〕平面的另两个投影均积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。66XYZHVW侧平面正平面水平面2.投影面平行面67水平面68积聚性积聚性实形性水平面投影特征：1〕它在水平投影面上的投影反映实形。2〕它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW69正平面70积聚性积聚性实形性正平面投影特征：1〕它在正面投影面上的投影反映实形。2〕它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW71侧平面72积聚性积聚性侧平面投影特征：1〕它在侧面投影面上的投影反映实形。2〕它在另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。a

b

c

a

b

c

abcZXOYHYW实形性733．一般位置平面凡同时倾斜于三投影面的平面

其投影特征为：

(1〕三个投影均不反映该平面的真实大小；(2〕三个投影均没有积聚性；(3〕三个投影均为小于实形的类似形。74XYZHVW

一般位置平面三个投影都为类似形。投影特性：a

b

c

a

c

b

abcZXOYHYW平面与三个投影面都倾斜。75例试分析如下图物体各外表的空间位置，并利用各种位置平面的投影特征，补画出该物体的俯视图。物体上P面的投影76物体上Q、R面的投影物体上Q、R面的投影772.4.3属于平面的点和直线点和直线属于平面的几何条件1．假设点属于平面内任一直线，那么点属于平面；2．假设直线经过平面内两点，或过平面内一点且平行于平面内一直线，那么直线属于平面平面内取点、取线的方法

在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别点、线是否属于平面；完成平面上的点和直线的投影完成多边形的投影。78取属于平面的点

取属于平面的点，要取自属于该平面的直线EDd'de'e79取属于平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的两点。EDFd'de'eff'80例一平面ABCD,E∈ABCD平面,求;并判别F是否属于平面ABCD。

81例如下图，试完成平面图形的水平投影。返回82

直线与平面、平面与平面在空间的相对位置有平行和相交两种情况。垂直是相交的特殊