2024届新高考数学一轮复习配套练习 数学归纳法

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题7.6数学归纳法

练基础

1.（202卜全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式1+2+3++（2“+1）=（〃+1）（2〃+1）时，从〃=%

到〃=左+1等式左边需增添的项是（）

A.2k+2

B.[2a+1)+1]

C.K2Z+2)+(2Z+3)]

D.[(4+1)+1][2(4+1)+1]

2.（2020.全国高三专题练习）己知“为正偶数，用数学归纳法证明1-丄+丄一丄+…+丄=2

234nA

丄+丄

时，若已假设〃=MQ2,左为偶数）时命题成立，则还需要用归纳假设证（

〃+2〃+42〃丿

A.〃二&+1时等式成立B.〃=%+2时等式成立

C.〃=22+2时等式成立D.〃=2（k+2）时等式成立

3.（2020.全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1+丄+丄+…+—1—n>2）,

232"-I

时，由w=A（后2）时不等式成立，推证〃=A+1时，左边应增加的项数是（）

A.2尸1B.2*-1

C.2*D.2*+1

4.（2021•全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式丄+」一++」-wd（〃GN*,〃22）时

〃+1〃+22〃5'7

可将其转化为证明（）

二+GN->2

+，

52712

*

<1-GN/->2

+

-527?

丄og\

川>^

勧/

5

丄O\

<1-M>^

v*/

2n

5.（2019•浙江高二月考）利用数学归纳法证明“1+：+：+...+不=<〃（〃€”的过程中,

232—1

由假设“〃=攵”成立，推导“n=%+1”也成立时，左边应增加的项数是（）

A.kB.攵+1C.2AD.2*+1

6.（2020.上海徐汇区.高三一模）用数学归纳法证明l+2+22+..+25"T（〃eN*）能被31整除时，从上到

4+1添加的项数共有项（填多少项即可）.

7.（2019•湖北高考模拟（理））已知正项数列｛%｝满足％=1,前〃项和S“满足

4s,=3,1+3）2（〃£2,”eV），则数列｛4｝的通项公式为q=

8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）己知正项数列｛a.｝中，ai=l,an+i=l+4（n€N*）用数学归

纳法证明：an<an+1（nGN*）.

9.（2021•全国高三专题练习）数列｛风｝满足S“=2〃-

（1）计算q、出、％，并猜想/的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

10.（2021•全国高三专题练习（理））已知数列｛为｝满足：%=1,点9"2）（〃wN）在直线y=2x+l上.

（1）求出，。3，。4的值，并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.

练提升

用丿

1.（2021•全国）已知数列｛a,J满足4+1=a“+”（〃GN*）,4>0,则当心2时，下列判断一定正确的

%

是（）

A.«„<«+1B.an+2-an+l<an+l-an

C.an>nD.aH>n+\

2.（2021•浙江高三专题练习）已知数列｛«,｝,满足4=a（O<a<l）,（1+a“）%=ln（l+4j（〃eM）,

则（）

A.0<a„<«„<-B.0<«„<«„<-

+1n+ln

C.0<a<-<aD,0<«<-<a

nnn+lx+lnn

3.（2020-浙江省桐庐中学）数列｛4｝满足。“+1=一片+%（〃6"）,el0,1j,则以下说法正确的个数

)

①Ova,.

②a：+a；+〃；++a；<4；

1111

③对任意正数从都存在正整数优使得=+三+0++三9成立;

@a<

n〃+1

A.1B.2C.3D.4

4.（2021•全国高三其他模拟（理））已知数列｛6J满足:=0,4+]=ln,"前〃项

和为S“（参考数据：In2《0.693,ln3=1.099,则下列选项错误的是（）.

A.｛%,-｝是单调递增数列,｛外“｝是单调递减数列

B.a„+an+1<ln3

C.S2020<670

D.a2n-\-a2n

5.（2021.上海市建平中学高三开学考试）有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如｛2｝的“积数”

为2,｛2,3｝的“积数”为6,11,；,：,…的“积数”为、，则数集知=卜付=：,24〃42021,〃6“｝的

所有非空子集的“积数”的和为.

6.（2021.浙江高三期末）已知数列｛。“｝满足4>0,前〃项和为S“，若%=3,且对任意的荘N*,均

有a2k+i=2Iog2a2k+1,则q=----------；S20=--------.

7.（2020•江苏南通•高三其他）数列｛%｝的前"项和为凡,记S“=£!,数列｛〃｝满足〃=q,

,=11

么=%+S„an（〃22）,且数列也｝的前”项和为刀,.

n

（1）请写出R“，S”,T”满足的关系式，并加以证明;

（2）若数列｛4｝通项公式为a,=击，证明：〈<2+21n〃.

8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列｛4｝的公比4>1,且4+。3+4=14,

4+1是%，4的等差中项，数列｛2｝满足：数列｛凡也,｝的前〃项和为〃.2".

（1）求数列｛%｝、｛<｝的通项公式;

（2）数列｛c.｝满足：9=3,c“+]=数+&,〃eN*,证明J+c2+•,•+，“>十一），"eN"

Cn2

9.（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列｛4｝的前〃项和为S“，已知％,an,S“成等差数列，且

%=S4+2,neN*.

（1）求数列｛a,,｝的通项公式；

（2）记么=云，〃wN*,证明：4+4+

10.已知点&（a2办）满足an+i=an.bn+1,bn+1=-^（nGN*）,且点匕的坐标为（—1,1）.

l-4an

（1）求过点Pl,P2的直线的方程；

（2）试用数学归纳法证明：对于neN*,点匕都在（1）中的直线2上.

练真题

4■

1.（2020•全国高考真题（理））设数列仿“｝满足团=3,a"+I=3a“-4〃.

（1）计算色，鱼，猜想｛&｝的通项公式并加以证明；

（2）求数歹M2%,｝的前c项和$.

2.（2017浙江）已知数列｛%｝满足：玉=1,x“=x,+|+ln（l+x“+1）（〃eN*）.

证明：当〃eN*时

（I）0<x„+l<x„；

（II）21-当W号；

（III）戸.

3.(湖北省高考真题)已知数列｛4｝的各项均为正数，"="(1+丄)"%(〃eN+),e为自然对数的底数.

n

(I)求函数求x)=l+x-e*的单调区间,并比较(1+丄)"与e的大小；

n

(H)计算厶，她，生她，由此推测计算”我;也的公式,并给出证明；

q4a2442/a\a2an

(III)令&=(4见a„y,数列｛《,｝,｛%｝的前〃项和分别记为s“，。，证明：Tn<eSn.

4.(2021•全国高三专题练习)设数列｛小｝满足m=3,an+i=3an-4n.

(1)计算G,“3,猜想｛3｝的通项公式并加以证明；

(2)求数列｛2"a“｝的前〃项和S”.

5.(江苏省高考真题)已知函数篇。)=屮(》>0),设/(x)为九(x)的导数，〃eN.

(I)求2据)+打传)的值;

⑵证明：对任意的等式也周+“冏卜夸成立.

6.(2021•上海普陀区•高三其他模拟)如图，曲线C：Ay=l(x>0)与直线/：y=x相交于4,作A用丄/交

X轴于左，作用4勿交曲线C于4，……，以此类推.

X

(1)写出点4,&和旦，生应的坐标;

(2)猜想A,(〃eN*)的坐标，并用数学归纳法加以证明.

专题7.6数学归纳法

练基础

1.(2021•全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明等式1+2+3++(2〃+1)=(〃+1)(2〃+1)时，从〃=%

到〃=攵+1等式左边需增添的项是()

A.2k+2

B.[2伏+1)+1]

C.[(2-+2)+(21+3)]

D.[a+l)+l][2(^+l)+l]

【答案】C

【解析】

分别写出〃=左和〃=左+1时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.

【详解】

当〃=%时，左边=1+2+3++(2%+1),共2Z+1个连续自然数相加，

当〃=左+1时，左边=1+2+3++(2k+1)+(2k+2)+(2k+3),

所以从〃=无到〃=厶+1,等式左边需增添的项是[(2%+2)+Qk+3)].

故选：C.

2.(2020•全国高三专题练习)已知〃为正偶数，用数学归纳法证明1-丄+丄-丄+…+丄=2

234n-\

(丄；+丄+…时，若已假设〃=人(心2,人为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证()

A.w=k+l时等式成立B.〃=A+2时等式成立

C.〃=2%+2时等式成立D.〃=2(A+2)时等式成立

【答案】B

【解析】

直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可.

【详解】

解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设〃=依无-2)为偶数)时命题为真，

则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即〃=左+2时等式成立，

不是〃=&+1,因为人是偶数，k+1是奇数，

故选：B.

3.(2020.全国高三专题练习(理))用数学归纳法证明不等式“1+丄+丄+…+―一n>2y

232,-1

时，由壮2)时不等式成立，推证”=A+1时，左边应增加的项数是()

A.B.2*-1

C.2kD.2*+l

【答案】C

【解析】

根据数学归纳法、不等式特点知”=左有左侧1+丄+丄+...+―一，〃=左+1有左侧

232*-1

i+丄+丄+…+4+=+亠+…+亠

即可判断增加的项数.

32k-l2k2A+12A+,-1

【详解】

〃=%时，左边=ld----F—+...+—r-----,而〃=&+1时，左边=

232A-1

,111111

"

141F...H—:-----1—TH—:-------—7:,

232k-\2k2k+\2A+'-1

丄-111

增力口J—rH—7------—T-T共（2好1-1）一（2*—1）=2*项,

242左+12A+I

故选：C.

4.（2021•全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式丄+」一14/、

+—<—{^neN",〃22）时,

〃+1n+2

可将其转化为证明（）

N2

二+，«>

5心

N

<1-丿4

+">

-力

/>

【解析】

4

各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于二，利用排除法即可.

【详解】

11735

根据放缩法证明不等式，首先排除A,C；D选项当〃=2时，左端值为一+—===^,

341260

411133

右端为——,不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.

542065

故选：B.

5.（2019•浙江高二月考）利用数学归纳法证明“l+g+；+.“+R0”的过程中，

由假设“〃=女”成立，推导“〃=%+1”也成立时，左边应增加的项数是（）

A.kB.攵+1C.2kD.2«+1

【答案】C

【解析】

利用数学归纳法证明“l+g+；+...+5g<〃（〃eN*,〃>l）”的过程中，假设“〃=%”成立

1H---1---F...H—----<k（nGN*,n>1）；当〃=Z+1时，

232k-1

+-+―+•••+-7~-+—r+-r~-+••••+-7_-T_-<Z+1（〃eN*,n>1）

232A-12，2A+12k+2*-1

故增加的项数为力项.

故答案为：C.

6.（2020•上海徐汇区•高三一模）用数学归纳法证明1+2+2?++25"T（〃GN*）能被31整除时，从后到

Z+1添加的项数共有项（填多少项即可）.

【答案】5

【解析】

分别写出〃=左和〃=攵+1时的对应的结果，再比较差异，得到答案.

【详解】

当〃=%时，原式为：1+2+22+...+2"T,

当〃=k+1时,原式为1+2+22+...+25*-1+2*+25k+l+2Sk+2+25k+3+25k+4，

比较后可知多了吩k+25A+1+25*+2+25A3+25A4，共5项.

故答案为：5

7.（2019•湖北高考模拟（理））已知正项数列｛&｝满足q=1,前〃项和S“满足

45„=（«„_]+3>（〃22,〃eN*），则数列｛%｝的通项公式为an=.

【答案】2〃—1

【解析】

当〃=1时，4=1；

2

当胃=2时，4s2=(4+3)=16,S2=4,a2=3；

当〃=3时，4s3=(4+3f=36,S3=9,%=5；

当〃=4时，4s4=(。3+3产=64,S4=16,4=7,猜想得。〃二2〃一1,

故为=2〃-1,下面用数学归纳法证明：

①q=1,满足an=2/?-1,

②假设〃=%时，结论成立，即为=2%-1,可得既=公，

则4sl=(4+3>=Qk+2)2=4伏+1)2,

2

・•・Sg=(%+1),ak+｝=SM-Sk=(Z+一r=2k+1

=2(2+1)-1,也满足。〃=2〃-1,

结合①②可知，an=2/1-1,故答案为

8.(2019届江苏省扬州市仪征中学摸底)已知正项数列｛&J中，％=lfan+1=1+勺(ri6N*)用数学归

纳法证明：an<an+1(nG/V*).

【答案】见解析.

【解析】

G当九=1时，02=1+*-=：，所以，几=1时，不等式成立；

厶1+/2丄/

◎假设九=k(fc6/V*)时;V翫+1成立，则当n=k+l时，

aaa1

anCa_1Ik+i_11k+i1k\_1

k+2.k+l-1+-1+Q-k-+--i----^k+1—1+-1+a--/c--+--i----。+71T+Ta/cJ-T1Z+Z以7lT+Z«-k+i

=%+1-―>0,

(1+以)(1+依+1)'

所以，n=k+l时，不等式成立.

综上所述，不等式册VQ九+1(71WN*)成立.

9.(2021•全国高三专题练习)数列｛aj满足S.=2〃—a"(〃eN").

(1)计算4、4、％，并猜想4的通项公式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.

372n—1

【答案】（1）q=l；4=5；%=7；％=^F（〃GN）

（2）证明见解析.

【详解】

分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，

证明猜想即可.

详解：

（1）当〃=1时，q=S[=2-q,

，q=1；

当〃=2时，4+q=S?=2x2—4,

,3

・・。）=一;

2

当〃=3时，a]+a2+a3=S3=2x3-a3,

7

—1

由此猜想%=芸彳〃6?<*）;

（2）证明：①当〃=1时，6=1结论成立，

2k-1

②假设力=厶（kNl,且左wN*）时结论成立，即％二行匕

当〃=4+1时,%+]=S^+]_&=2仏+1）——2k4-ak=2-^-ak—aM,

・»丄/，・2+为2^-1

・・2%—2+..ak+l=---=—不一，

工当〃=k+1时结论成立，

2〃一]

由①②可知对于一切的自然数〃eN*，a〃=今二成立.

10.（2021.全国高三专题练习（理））己知数列｛为｝满足：a'=1,点（％，%+1）（〃'"）在直线y=2x+l上.

（1）求4，。3，。4的值，并猜想数列｛。丿的通项公式;

（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想.

【答案】（1）4=3，岀=7，%=15；=2"-1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；

（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.

【详解】

⑴点（a”,a“+1）5eN*）在直线y=2x+l上可知，数列｛%｝满足：an+l=2an+1,

q=1,二。2=3,%=7,%=15.可猜得a“=2"-1.

（2）当〃=1时，。［=2-1=1成立，

假设当〃=攵（％21,左eN）时，%=2一成立,

则当〃=&+1时，%+|=2%+1=2（2"—1）+1=21一1成立，

就是说〃wN*，猜想正确；

综上，«„=2"-1.

练提升

1.（2021•全国）己知数列｛a,J满足a.+i=4+2（〃GN*）,at>0,则当〃22时，下列判断一定正确的

是（）

A.a,,<n+lB.an+2-an+｝<an+l-an

C.an>nD.aH>n+\

【答案】C

【解析】

根据特殊值法，分别令％=1,%=3,即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.

【详解】

因为数歹IJ｛«„｝满足4M=4+"（〃eN*）,%>0,

11

若4=3,则4=4+—=3n+.>n3,不满足4<〃+1,故A错误；

123

若«=1,则a,=4-I——2<2+1,=3<3+1,%=%""1—=4<4+1,

O]«2a3

不满足4,2〃+1,故D错误；

又此时包一。3=。3一“2=1，不满足a“+2-a“+i<4+1-1”,故B错误；

1I~~r1

因为4>0,所以凡=%+一之2/4•一=2,当且仅当弓=一，即4=1时，等号成立;

q丫qa\

构造函数/(x)=x+&,k>2,>3k,所以Yn/,

则/(%)=i一与>o在%w伏，住)上显然恒成立，

所以/(x)=x+g,(Z22)在xe[Z,+8)上单调递增；

222

因此y=x+-■在xw[2,+8)上单调递增，所以%="2+122+万=3,

猜想4,2〃，对任意2恒成立；

下面用数学归纳法证明：

(1)当〃=2时，/=4—N2al—=2,显然成立；

⑵假设当〃=%仏23)时，不等式成立，即62%恒成立；

k

则〃=%+1时，an+\~ak+一，

%

因为函数〃x)=x+£(人2)在上单调递增；

X

所以/(X)2/仏)=后+1,

k,,

即4+i=4+—2％+1成立；

由(1)(2)可得；an>n,对任意〃22恒成立；故C正确.

故选：C.

2.(2021•浙江高三专题练习)已知数列{%},满足q=a(O<a<l),(1+4)%=ln(l+4)(〃eN*),

则（）

C1

A.0八<a<a<-1B.0<a<a<-

nn+lnll+lnn

C.0八<a<-1<aD.。<%<*.

nnn+l

【答案】B

【解析】

转化条件为a,M=T—U（〃eN*）,令小）=\『）,（0<.］）,通过导数可得/（x）单调递增,

1+。“

通过数学归纳法可证明如果0<4<J/eN*,则0<4+1<，再令夕(x)=lnx-x+l,x>0,

Ki+-

k

通过导数证明9（x）W0（l）=0后，适当放缩可得0<。“〈丄，进而可证明a.即可得解.

n

【详解】

ln(l+4)

因为(1+4)%=ln(l+%儿zeN*),所以4+in&N

1+见

令小）=2，（。<1），则r（上等苧

'l+x（1+X）

当0<xWl时，/（x）=（［J尤）2>。，/（X）单调递增,

由题意，0<q=a<；,

如果0<%<丄MeN*,则0<%TJ(l+4)<业1

k1+WTT

k

设O(x)=lnx-x+l,x>0,则°〈力=丄-1,

X

所以9（x）在（0,1）上单调递增，在（1,”）上单调递减,

所以e(x)<0(1)=0,即InxWx—1,

因为1+：>1,所以In1+：I<14-1-1=1,

kkk

in1

041

所以%+i<

T+T

i+丄

kk

所以对于任意的〃eN*,均有0<。“<丄,

n

ln(l+%)<1+4-1_4

所以4+1=&--

1+M1+为1+4

故选：B.

ae

3.（2020•浙江省桐庐中学）数列｛%｝满足。,用=一1+4（〃€乂)-\[°，2,则以下说法正确的个数

()

①0<%+1<%；

②：2

a+裙++«„<«|;

1111,

③对任意正数力，都存在正整数”使得一+----+-----++:------>b成立;

1一册

1

④

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

利用二次函数的性质及递推关系得%>0,然后作差。,用一%，可判断①，已知等式变形为a；=a,,-4+1，

111

求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得"；一+-——++-——>〃，可判断③，利用数学归纳法

思想判断④.

【详解】

4+1=一片+a”=一（。“-g）2+；，若则

aaaa

•,*。〃+1-n~~nV°，；・°<n+\<n，①正确；

由已知crn=an-an+｝，

；・a；+4；++a；=(q—g)+(4-。3)++(%-。〃+】)=4一。〃+1<，②正确;

<1Ai1

由0,不及①得一<1一。<1,------<2,

I2丿21-%

111

：：〃

/.-------+:-------+--+---—----->,

1—41—1CLn

1111,

显然对任意的正数人在在正整数，“，使得…,此时匚丁二+巨++:——"成立，③

1一4”

正确；

⑴已知4<5成立,

5）假设“*则…Y+%=一1%

又-----------------------------------7<0,即--------H--------<-------,/.a..<-------

(〃+1)2n+]n+2("+2)(〃+l)2(n+1)2n+\n+2n+,n+2

由数学归纳法思想得④正确.

；.4个命题都正确.

故选：D.

4.（2021•全国高三其他模拟（理））已知数列｛a,,｝满足：4=0,a,.=ln（e%+l）—a”（〃eN*）,前〃项

和为S“（参考数据：In2yo.693,ln3=1.099,则下列选项错误的是（）.

A.｛%,i｝是单调递增数列,｛外“｝是单调递减数列

B.a„+an+l<\n3

C.^2020<670

D-a2n-\~a2n

【答案】c

【解析】

铝■，/+2=答?，2也M="+l，构建g(X)=Z=辻，求导分析可知导函

设/”=2,则有。用

bn%+1尤+1

数恒大于零，即数列｛4“_』，｛%J都是单调数列，分别判定白<a，">打，即得单调性，数列｛%｝与｛"｝

的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归

纳法证分两边证"“t(正里<4“，即可证得4,-1<

【详解】

*.*an+x=In+1)—an(几£N"),4=0,

a2=ln(d)+1)-0=ln2,/=In3-In2=Ing,q=Ing-Ing=Ing,

设/”=bn,b“>0,bn+l==*("+>%="1=纟卢,则bn+2=空型=等?,

e"b„blt+ib„+l

令g(x)=-L—,则g'a)=7_Tj>0,g(x)单调递增，

X+l(x+l厂

b-b

将S“一2，")，S","+2)看作是函数y=g(x)图象上两点，则产葭工>o,

bn-*

二数列仍2-1｝，｛b2"｝都是单调数列，

a35

b｛=e'=\,同理4=2,4=5，b4=—,即伪<仇，%>%,

•••｛仇小｝单调递增，｛%,｝单调递减，而数列｛4｝与｛2｝的单调性一致，

•••｛出,-｝是单调递增数列,｛4“｝是单调递减数列,A正确；

,b.t+1

由e"”=bn得an=Inbn,bn+l=

要证an+an+l=Inbn+Inbll+l=ln(b„b„+l)<In3,即证bnbn+｝<3,口卩勿+143,即证2W2,

b+1

也即要证噴一42,等价于

"〃一1

显然〃=2时，4=1,时，”1=咪—>1,故/_121成立，

.•.不等式%+4+14如3成立.B正确;

欲证an+an+l+all+2>ln3,只需证In勿+Inbn+l+Inbn+2>ln3,即In（〃也田%2）2In3

即。也+自+2N3=2•产•我，=2^+1>3O^>1,显然成立,

U"uI丄

1998

故a“+a,向+%+2Zln3>1,所以^2020>$998>W-'I=666,

故C选项错误；

欲证4,1＜4”，因单调性一致则只需证为1T＜%.，只需证%I(当丄＜以“

,\[5+\^5+1両4"+1=,2优,1+1=2-------!—＜2—7^------=旧+'

因为4=1〈丁，若%一，则2向％T+I处T+175+1^2；

2

▽田明厶C6+1卄厶V5+1両%-2=^±1=2一丄＞2—_7^—=旦

又因为包=2＞方一，右勾,＞方一，则-公+1匂+16+1।12，

由数学归纳法有b2n_,＜立里＜则＜。2“成立

故D选项正确。

故选：C

5.(2021•上海市建平中学高三开学考试)有限集S的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如｛2｝的“积数”

为2,｛2,3｝的“积数”为6，[1，J，g，…，口的“积数”为5,则数集M=卜|x=，2V〃42021,〃GN*｝的

所有非空子集的“积数”的和为.

【答案】1010

【解析】

先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集厶=｛4，4，/丄M,,｝，积数和

S„=(1+«,)(1+«2)L(l+a„)-l,由此即可计算得到答案.

【详解】

先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集A=｛4,4，/丄M,｝，积数和

S“=(l+q)(l+4)L(1+«„)-1.

当"=1时，S〃=1+4-1=%=S],成立;

假设几=k(k之1)时，Sk=(1+%)(1+%)L(1+/)—1

当〃=Z+1时，SM=Sk+aM+Sk-=Sk+(S*+l)・％x

=(1+6)(1+cij)L(1+%,)—1+(1+q)(1+)L(1+)/+]

=(1+4)(1+%)L(1+dk)(1+dk+])—1

综上可得,VeN*,S〃=(1+%)(1+〃2)L(1+a,丿一L

则数集Mx=-,2<n<2Q21,neN*的所有非空子集的“积数”的和为:

小n

一x些

（i+扑扑扑［D2342021

2022

-1=1010

2

故答案为：1010.

6.（2021.浙江高三期末）已知数列｛。“｝满足%>0,前〃项和为S“，若%=3,且对任意的JleN*,均

有a；k=2=2log2a2k+1，则4=；S?。=.

【答案】12146

【解析】

由递推关系计算出旳，再计算出片,然后可以计算见，％，&，归纳出｛%｝的通项公式（可用数学归纳法证

明），求得和S20.

【详解】

因为。〃>0,nwN*,

由已知%=3=21og2〃2+l，%=2,2M=a；=4,4=1,

46

a；=2"”=2=16,牝=4,=2log2^z4+1=5,a：=2"*=2,6Z6=8,

归纳结论«2„-1=2〃-1,a2n=2",

证明：(1)〃=1,由上面知已经成立;

假设〃时，假设成立，即%T=2%T,%I=2«，

a+l2+2k+l

则a2t+,=210g2a2k+1=210g22%+1=2左+1,a1k+2=2-'=2*,a2k+2=2,

由数学归纳法知外,i=2〃一1，%”=2"，对一切〃eN*成立.

222(12)

S20=(l+3++19)+(2+2++2,°)=10+~-^2146.

1—2

故答案为：1;2146.

7.(2020•江苏南通高三其他)数列｛叫的前〃项和为此，记数列也卜满足e=4,

bn=^+Snan(n>2),且数歹ij也｝的前n项和为T..

n

(1)请写出R“，S”,7；满足的关系式，并加以证明；

(2)若数列｛凡｝通项公式为《,=击，证明：T„<2+2\nn.

【答案】(1)T„=R„S„,证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)R,,,Sn,厶,之间满足的关系式是：T„=R„Sn,证明如下：

当〃=1时，4•E=a-4xl=0,所以工=与母成立，

〃；

假设当拉=化时，=6•人成立，即4+4+/++4=(l+g++4（。|+。2+/++%）

l+g+g+—+：）（4+a2+a3+i+4）+4+i

当〃=Z+1时、bt+b2+b3++hk+hk+]

l+g+；++a2+a3++«A.）+-^-+5J+I«/.+1

=["g+g++£|（4+4+43++《）++%+：；；+」+

1+丄+丄+11+1+丄+丄+

+—+-----(4+4+4++%)

23kZ+1I23

(q+“2+%++%+%l)，

所以n+i=%+/\+1成立，所以T,=R「5„成立.

(2)由⑴得T“=R”•S”,即++丄］(4+出+“3++«„),

\23n)

因为为=击，所以北=(1+訳++#-2.3,

当〃=1时，7；=l<2+21nl=2,成立;

假设当〃=女时，〃v2+21n&成立，(=(l+g+g+

v2+21nR,

当〃“+1时，％=［吗+g+R占卜〜。

1+lnA1

<2+2\nk+4-------<2+21n(^+l),

2A-1k+\

所以当”=左+1时，不等式4“<2+21n(A+l)成立,

所以4<2+21n〃.证毕.

8.(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)己知等比数列｛为｝的公比q>l,且。2+/+%=14,

%+1是％%的等差中项，数列也｝满足：数列｛4。｝的前“项和为〃2".

⑴求数列｛叫、色｝的通项公式；

(2)数列