2023届重庆市部分学校高三年级上册学期期末效果验收数学试题

重庆市部分学校2023届高三上学期期末效果验收

数学

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4={幻/<25},B={-5,-3,-1,0,1,3,5},则A[8=()

A.3一5,-3,—l,0,l,3,5}B.{X|3<%<5)

C.1x|—5<x<5jD.|x|3<%<51

2.设复数z=>!■一立i,则《对应的点在第几象限()

22|z|

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.下列函数中，在上单调递增的是()

C.y^e2'D.y=log](x+?J

4.已知(2+狗(1-6)'(aeR)的展开式中的有理项的系数和为48,则。=()

A.3B.2C.1D.4

5.定义在R+上的函数/(x),如果对于任意给定的等比数列{4},使{/(4)}变为等差数列，

则称/(x)为“变比差函数”.则选项中定义在IV上函数是“变比差函数”的是()

A./(%)=2x4-1B./(x)=lgxC./(x)=x2D.f(x)=x3

6.已知函数/(x)是R上的奇函数，且=-/(x),且当xdo,：时，f(x)=2x-3,则

/(-2021)+/(2022)-/(-2023)的值为()

A.4B.-4C.OD.-6

22

7.已知双曲线工=的左、右焦点分别是6,居，过点大的且垂直于X轴的直

ah

线与双曲线交于A,8两点，现将平面A"鸟沿耳鸟所在直线折起，点A到达点P处，使二面角

P-耳6的平面角的大小为3(),且三棱锥P-丹的体积为』/c,则双曲线的离心率为

6

()

A.72B.Gc.2D.75

8.如图，在长方体ABCQ-A4GR中，AB=及BC=4iB\B=E,ACBD=O,

E为线段BC上动点，则下列说法不正确的是()

A.三棱锥3-ADE体积为定值

B.若尸为OE上一动点，三棱锥。-AGP表面积不为定值

C.若尸为四边形ABC。内一动点，且RP与CG所成角的大小为£，则线段AP所扫过的面

6

积为工

6

D.OE与AG所成角的最大值为90°

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如果平面向量”=(1,-2),h=(Y,3),那么下列结论正确的是()

A.aLbB.a//(3a+b^

7

C.|a+W=AD.向量a+b在a上的投影向量为-不。

10.下列四个命题中为真命题的是。

A."a〈b”是"Cie：be2”的必要不充分条件

B.设是两个集合，则“A8=A”是“AqB”的充要条件

C.“Vx>0,ex>0”的否定是“3x<O,ex<On

D.8名同学的数学竞赛成绩分别为：80,68,90,70,88,96,89,98,则该数学成绩的15%分位数为

70

11.函数/(x)=26cos(2(wx-g-2sin26yx的图象如图所示，将其向左平移出个单位

长度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期为24

B.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线x-2y+l=0垂直

C.函数y=g(x)-sinx的图象关于直线x=?对称

D.函数g(2x+§在-上单调递减

12.若圆G：(x-4+(y-。『=16与圆G：f+(y—4二侪佳〉。)的公共弦AB所在的直线

方程为2ov+2)y-7=0,则下列结论正确的有()

A.a=2,b=1

B.网=考

C.两圆公切线的四个切点所围成的四边形面积为32挺

D.对任意ZwR,在直线y=Mx+l)上总存在一点P,则使过点尸所作的圆C2的两条切线互

相垂直

第n卷(非选择题)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分，我国古人认为，世界物

质可分五类：木、火、土、金、水，五物又与五色相对应，青、赤、黄、白、黑，反映到人的

身心上又分别与忧愁、惊恐、喜庆、哭泣、疾病相对应，若从木、火、土、金、水五类物质和

忧愁、惊恐、喜庆、哭泣、疾病五种身心中各任选2类元素，求取出2类物质与2种身心相对

应的概率为.

14.设点P为抛物线f=4y上到直线2x-y-6=0距离最短的点，且在点P处的切线与x轴和

>轴的交点分别是M和N,则过两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为.

r-

15.已知aeR+/eR+,且a+Z?=l,则①一1+——4>9-,②2"+2”<28，③0<lna」nb<l,

al+b2

④j4a+l+j4b+lW2®,正确的有（请把正确的序号全部填在横线上）.

Inx0

16.若函数〃x）=丁一a，”>U恰有3个零点，则。的取值范围为.

x2+2x-a,x<0

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.（10分）已知数列｛%｝各项都不为0,前”项和为S“，且，数列也｝满足仇=-1",用=么+〃.

□

在①3a“—2=S“，②4=2，2sM=3S“+2,③4=1，且怆国是馆4一和lg2的等差中项这

三个条件中任选一个，补充到横线处解答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）令％=苦，求数列｛%｝的前〃项和为T”.

18.（12分）在乙钻。中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,且2》+tanA=2tanAcos2上+c,/\ABC

2

的外接圆的直径为1.

（1）求角A的大小；

（2）若且在平面ABC内存在点E,满足8E=±AC-士A8,求△8CE面积的最大值.

333

19.（12分）为帮助特殊儿童较好的进行康复治疗，需要购买某种康复治疗仪2台，具体购买

方式为：购进仪器同时购买部分耗材，每个400元，在使用期间耗材不足时再购买，每个1000

元.已知2（）（）台这种治疗仪在使用期内更换耗材情况如下表：

(1)记J表示2台机器使用期内共需更换的耗材数，求J的分布列(以频率代替概率)；

(2)要使使用期内耗材平均费用最低，试说明购买机器的同时购买的耗材数为22和24,哪种

更合适？

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC-AMG中，已知分别为AA，AC的中点，。为线段

BC上的一动点，且4c=8C=2,44=20.

(1)若AA=4,求四棱锥8-AC。的体积；

(2)若直线AQ与平面48片4所成的角的大小为30。，求平面QMN与平面所成角的正

弦的最小值，并确定此时点。的位置.

21.(12分)已知椭圆C§+*l(a>b>0)的中心在原点，且焦距为4,离心率为0=丰.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点P为椭圆外一点，右焦点为尸，过点P的椭圆的两条切线方程的斜率分别为勺,心,

且加=4•自，且帆设亭，设|弘|的最小值为f，求f的最大值.

22.(12分)已知函数/(x)满足/(x)=/<l)lnx+；x2+(/(e)—e)x+；e2.

(1)求/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)令g(x)=«r/'(x)+D-2+1,若g(x)«-2恒成立，求。的取值范围.

xaa

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1【答案】C

2【答案】C

3【答案】A

4【答案】C

5【答案】B

6【答案】B

7【答案】A

8【答案】D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9【答案】CD

10【答案】ABD

11【答案】ABD

12【答案】AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.

【答案】-

10

14.

【答案】4

15.

【答案】①③

16.

【答案】^-1,-1

四、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

17.

【答案】(1)见解析；(2)1=8+3(〃—4)X(?).

【解析】(1)选①，由34-2=S"，可得又%-2=S,i(在2),

3

两式相减得3a“—3a,i==%，整理得an,

a

因为数列｛4｝各项都不为0,所以数列｛4｝是以|■为公比的等比数列.

令〃=1,则34—2=S]=q,解得q=1,

故4=5-

选②，由2s向=35“+2,可得2S〃=3Se+2（〃之2），

=a9

两式相减得2。〃+]=3%,整理得an+｝^n

因为数列｛q｝各项都不为0,所以从第2项起，数列｛a,,｝是以|■为公比的等比数列,

o（o2z21

且七、〃-]、〃-（》）.

令〃=1,则2q+2/=3q+2,解得4=1,满足上式.

吟唱]

选③，因为1g庖是lg<%和lg3的等差中项，

所以lga,i+lg3=21g廊，计算得见=|《1，

因为数列｛4｝各项都不为O,所以数列｛《,｝是以1为首项之为公比的等比数列，

由2+1=>+〃，得2+1-bn=〃，

/、/\/\（〃一2）（〃+1）

则当〃二2时，4=。+（4-耳）+他一州）+…+一如）=----y一-，

当n=1时，也满足上式，所以瓦一L.

⑵由⑴得%=箸=（一）（|「，

所以q=0+4+,+C"=（T）x（"|+°x（"|++（"一2）x（'|），

》=(-l)x0+Ox[(|++5-2)x(|1

3L"丫“

—x1——

12\2J(3Y

两式相减得一彳(=(―-------o------(〃—2)x—=-4+6——nx--

2j__12)\2)\2y

2

所以<=8+3(〃-4)

18.

【答案】(1)A=—；(2)—.

327

【解析】(1)因为2〃+tan4=2tanAcos2C+c,

2

(rA

所以(2。一c)cosA=2cos2---1sinA,B|J(2Z>—c)cosA=cosCsinA,

2J

因为AA8C的外接圆的直径为1,所以8=2RsinB=sin8,c=2RsinC=sinC,

所以2sinBcosA=sinAcosC-+-cosAsinC=sinB,

因为sin3>0,所以COSA=—

2

因为Aw(O,;r),所以A=5.

(2)因为BE=，AC-2A3,所以AB+BE=4(4C+AB),

333V>

设点。为ZJC中点，则AE=2A。，

3

[1>J3

所以SABCE=Z^^ABC=—bcsinA=~rbc.

5o12

由余弦定理Y=6+c2-乃ccosA,可得3=/+。2-儿2%,当且仅当h=c时，等号成立,

9

所以S&BCE=*bc<*,

出

所以ABCE面积的最大值为一.

19.

【答案】(1)分布列见解析；(2)22.

【解析】(1)每台机器更换的耗材数为8,10,12,14,

。的可能的取值为16,18,20,22,24,26,28,

应『J,P("18)=丈x里x2」,

%=16H

.200J16'720020020

(60丫504019

P(4=20)=

(200J20020010()

4060.49

H----x---x2=---

200200200

+幽X^

200200100

「口6)=输粉24,

所以自的分布列为：

(2)购买耗材所需费用含两部分，一部分为购买仪器时购买零件的费用，另一部分为备件不

足时额外购买的费用，

当购买机器的同时购买的耗材数为22时，费用的平均值为

400x22+1()(X)x2x—+1(X)()x4x—+1(X)()x6x—=9955；

1001()16

当购买机器的同时购买的耗材数为24时，费用的平均值为

400x24+1000x4x—+1000x6x—=10375,

1016

购买机器的同时购买的耗材数为22时更合适.

20.

【答案】(1)—;(2)见解析.

3

【解析】(1)证明：在直三棱柱ABC-46a中，有=

又因为AC=3C=2,所以AC2+BC2=AB2,

所以ACJLBC,

因为三棱柱ABC-451a是直三棱柱，所以

又CCJAC=C,所以BCJL平面AC£4,

5X5CX4X2X2

所以匕£1~A/l|CC]Ca71=-3ZAi|C|CC/l1=-3=—3•

（2）取44的中点E,连接AE，GE，

因为AC=3C,所以GE，A4，

因为三棱柱ABC-451a是直三棱柱，所以AA_LC|E,

又AAag=4,所以GE，平面ABB出.

所以NGAE为直线AG与平面ABB出所成的角，即ZQAE=30°,

在等腰直角三角形44G中，qE=；A\B[=五,

从而AG=2C1K=2形，所以AA,=JAC；-4C；=2,

以C为原点，以CA,CB,CC,为X,XZ轴建立如图空间直角坐标系,

所以3（0,2,0），D（0,A,2）（0<A<2），M（2,0,l），N（l,0,0），

BM=(2-2,1),W=(-l,0,-l),QN=(l,-4-2),

2x-2y+z=0

设平面3Am的法向量为〃=(%,y,z),即＜

MNn=0-x-z=0

令z=2,得x=-2,y=-1,2,-1,2),

■

设平面。MN的法向量为机=(x0,y0,zo),=即卜「H「2z°=0

MN-/n=0[~xo一z。=0

令z()=2,得%=_2,%=_?,；.机=(-2,-4,2),

A,A

~~~248^

2+------+---------

4—6(2—6)7

人i11］曰•/\&Ii、4后

令（二---，贝ij/w一一,一一，且sin〈〃,m〉=----J—z------->-----，

A-6146」3Y81J+241+251

（当r-L即2=2时，等号成立）

4

4国

二当。点与四重合时，平面与平面BWV所成角的正弦的最小，最小值为一市.

21.

22________

【答案】（1）—+^-=1；（2）273-76.

62

【解析】（1）由题意可知，2c=4,e=£=净，所以。="，

a3

/.b1=a1—c1=6—4=2,

x2y2

所以椭圆的标准方程为"+4=L

62

（2）由题意可知，两条切线直线的斜率存在且不为零，

设过点P（Xfy,y0）的切线方程y-%=&（x-%），

,y-yQ=k（x-x0）

联“，x2y2,

---1----1

I62

消去y可得（1+3女2卜2+6后（、0-.））》+3（为一-6=0,

由于直线与椭圆C相切，贝lJ/=36父（M,-K）2-4（1+3公）［3（%-5）2-6］=（）,

化简并整理得（片-6）^-2x0y0k+$一2=0.

因为两条切线方程的斜率分别为3及2，

2_2

所以kk=—V^，y：=mx^—6m+2,所以片+y（j=（1+加）%一6/篦+2，

12%—6

故|PF\=J*+y：-4%0+4=+-4%-6m+6,

易知当/=--—时，有.=遍2—+——~-

m+\1lmin'「73（/n+l）

因为网所以/TZyLn=遍j2—('"+1)+3(204253-卡，

当且仅当*就可即―当时，等号成立’

22.

3

【答案】(1)2(e-l)\+2y-3r+4^-l=0;(2)-e<a<0.

f'(\\

【解析】⑴f'(x)=^-^+x+f(e)-e,令/1,得/(e)=e-l,

九

再由/(x)=r(l)lnx+g/_x+；e2,令x=e,得=

所以/(%)的解析式为/(x)=—(e—l)2lnx+g/7+92,

所以/⑴=?2-；，

所以切线方程为y—ge2+g=—(e—l)2(x-l),BP2(e-l)2x+2y-3e2+4e-l=0.

(2)结合(1),可得g(x)=«xf'(x)+—~—--@二+1=ax2-xlnx,

xa

因为g(x)<-2恒成立，所以ax2-x\nx+—<0恒成立，