2022-2023学年安徽舒城桃溪中学数学高一第二学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.已知点A（—2,0）,点3（0,4）,点尸在圆（x—3）2+（y-4『=20上，则使得A4P3

为直角三角形的点尸的个数为（）

A.5B.2C.3D.4

2.已知A（3,l）,B（-l,2）,若NACB的平分线方程为y=x+l,则AC所在的直线方程

为（）

A.y=2x+4B.y=—x—3C.x—2y—1=0D.3x+y+l=0

3.一个圆柱的母线长为5,底面半径为2,则圆柱的轴截面的面积是（）

A.10B.20C.30D.40

4.已知关于x的不等式。4>x+6的解集为3,9）,则。+力的值为（）

A.4B.5C.7D.9

5.在长方体A88—A5G。中，==20,A。=2,则异面直线AC与BQ

AV2WRV15„V15n7V2

A.--------B.--------C・------D.---------

15151512

6.已知A,3为锐角，且满足tanA+tanB+Jj=GtanAtan3,则cos(A+B)=

7.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、

秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所

对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=!（弦X矢+矢X矢），公式中“弦”

2

指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得

弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为g,弦长为40j5米的弧田，其

实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中

乃“3,6~1.73）

A.14B.16C.18D.20

8.在平面直角坐标系xoy中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数,V=/（x）的

图象恰好经过k个格点，则称函数f（x）为A阶格点函数.下列函数中为一阶格点函数的

是（）

/兀、1

A.y=sinxB.y=cos(x+—)C.y=lgxD.y=f

6

八cos—,0<x<8,

9.已知/（x）是定义在及上的奇函数，且当工时，f（x）={6,那

log2x,x>8,

么我学归旗■二()

A1R百

C.-D.近

2222

10.不等式—/―3%+4>0的解集为()

A.(-4,1)B.(-1,4)

C.(-co,-4)U(1,+oo)D.(-oo,-1)U(4,+oo)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

JT

11.如果函数>=5由2%+。352》的图象关于直线》=立对称，那么该函数在

7C

xe0,-上的最小值为.

12.已知。是ABC内的一点，NAOB=NAOC=150°,

°$=1，网=?,|。4=

2,贝iJ0A+08=；若0C=加。A+则

m+n=.

13.已知函数,丫=优，y=xh,y=log°x的图象如下图所示，则a,b,c1的大小关

系为.(用“〈”号连接)

14.已知原点O(0,0),则点O到直线x+y+2=0的距离等于.

15.设/(九)=/+。〃-4)x+2为偶函数，则实数加的值为.

16.在区间［-1,2］上随机取一个数x,则xG［0,l］的概率为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.如图，已知平面ABC。，A8C。为矩形，M、N分别为AB、PC的中点,

PA=AD,AB=2,AD=y/2.

(1)求证：MN〃平面PAD；

(2)求证：面平面PCD；

(3)求点3到平面MNC的距离.

18.已知等差数列「满足二=f,二一二一.一，公比为正数的等比数列-二3满足

口2=」，□工■工

—9:JJ-H..

(1)求数列7_,：二」的通项公式;

(2)设，求数列一、的前一项和-.

rI1匚JJJ匚

19.在平面直角坐标系xOy中，已知点P,8,C坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2),

E为线段BC上一点，直线E尸与x轴负半轴交于点A，直线8P与AC交于点。.

(2)求ABOE与AABE面积之和S的最小值.

20.已知函数/(x)=Asin(o>x+。)(4>0,。>0,|同<乃)，它的部分图象如图所示.

TT54

(2)当xe时，求函数/(x)的值域.

21.设数列｛q｝的前项和为S,,若S,=24-%,且％,。2+1，%成等差数列♦

(1)求数列｛4｝的通项公式；

111164

⑵若了+工+工+…+工<花的，求〃的最大值.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1、D

【解析】

令ZAPB、ZABP、4L4P是直角三种情况讨论，求出点P的轨迹，将问题转化为点

P的轨迹图形与圆(x-3)2+(y-4)2=20的公共点个数问题，即可得出正确选项.

【详解】

①若Z4P8为直角，则AR6P=0,设点P(x,y)，AP=(x+2,y),BP=(x,y-4),

则AP-8P=x(x+2)+y(y—4)=x2+y2+2x—4y=0,即(x+l/+(y—2)。=5,

此时，点P的轨迹是以点(-1,2)为圆心，以石为半径的圆，

圆(x+l『+(y—2)2=5与圆(x—3)2+(y—4)2=20的圆心距为

d=J(T_31+(2_4『=2石,275-75<^<275+75.

则圆(x+l『+(y—2)2=5与圆(万一3)2+(丁一4)2=20的相交，两圆的公共点个数为

2；

4-01

②若ZABP为直角,由于直线AB的斜率为丁；=2,则直线总的斜率为-三，直线

心的方程为y=—gx+4,即x+2y-8=0,圆(x-3『+(y—4曰=20的圆心到直

线的距离为黑。®=卡<20贝恒线必与圆(x-3)2+(y—4)2=20相交,

直线总与圆有2个公共点；

③若ZBAP为直角，则直线PA的方程为x+2y+2=0,圆(%一3)2+(^-4)2=20的

|3+2x4+2|13

圆心到直线的距离为>26,直线24与圆

Vl2+27

(x-3)2+(y—4)2=20相离，直线R4与圆(x—3)2+(y-4)2=20没有公共点.

综上所述，使得AAPB为直角三角形的点P的个数为4.

故选：D.

【点睛】

本题考查符合条件的直角三角形的顶点个数，解题的关键在于将问题转化为直线与圆、

圆与圆的公共点个数之和的问题，同时也考查了轨迹方程的求解，考查化归与转化思想

以及分类讨论思想的应用，属于难题.

2、C

【解析】

设点A(3,1)关于直线y=x+l的对称点为A'a，x),贝！I1，解得

X+1__+3]]

、2一2

%,=02x-y+4=0

(，即4(0,4),所以直线48的方程为2%-丁+4=0,联立,解

"1=4y=x+i

x=-3

得。,即3(—3,—2),又43,1),所以边AC所在的直线方程为X—2y—1=。，

选C.

点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题。解题时要结合实际情况，准确地

进行求解。

3、B

【解析】

分析：要求圆柱的轴截面的面积，需先知道圆柱的轴截面是什么图形，圆柱的轴截面是

矩形，由题意知该矩形的长、宽分别为5,4,根据矩形面积公式可得结果.

详解：因为圆柱的轴截面是矩形，

由题意知该矩形的长是母线长5,

宽为底面圆的直径4,

所以轴截面的面积为4x5=20,故选B.

点睛：本题主要考查圆柱的性质以及圆柱轴截面的面积，属于简单题.

4、D

【解析】

将原不等式化简后，根据不等式的解集列方程组，求得。涉的值，进而求得G+力的值.

【详解】

由。五>x+6得x-。6+6<0,依题意上述不等式的解集为(仇9),故

人a”+6°,解得。=5,人=4（6=9舍去），故a+〃=9.

9-3a+6=0

故选:D.

【点睛】

本小题主要考查类似：已知一元二次不等式解集求参数，考查函数与方程的思想，属于

基础题.

5、C

【解析】

连接BD，交AC于。，取。2的中点E，连接QE、AE,可以证明NEQ4是异

面直线AC与BQ所成角，利用余弦定理可求其余弦值.

【详解】

连接BD，交AC于。，取。3的中点E,连接0E.

由长方体ABCD-AgG2可得四边形ABCD为矩形，所以。为的中点,

因为E为。。的中点，所以OEIBR,

所以NEOA或其补角是异面直线AC与BDt所成角.

在直角三角形EOO中，则00=JAB"：。-=日DE=6,所以0E=也.

2

在直角三角形ADE中，AE=V6.

在AAOE中，cosZEOA=-8-6,

2xV3xV515

故选C.

【点睛】

空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也

可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.

6、D

【解析】

2

由tanA+tan8+G=6tanAtan8,得tan(A+8)=，A-\-B=—TT,即可

得到本题答案.

【详解】

由tanA+tan3+G=GtanAtanB,得tanA+tan3=->/3(l-tanAtanB),

tanA+tanB2

所以tan(A+8)=A+B=—7T,

1-tanAtanB3

21

所以cos(A+5)=cos—=——

32

故选：D

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.

7、B

【解析】

根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利

用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.

【详解】

如图所示，扇形的半径为尸=4x40百+sin工=40,

23

―4土—5、匚12万，八216001

所以扇形的面积为7'二］乂4。=—-—,

233

又三角形的面积为一Xsin3x402=400百，

23

所以弧田的面积为屿箸-400ga丝詈-400x1.73=908(加2),

TT

又圆心到弦的距离等于40xcos1=20,所示矢长为40-20=20,

按照上述弧田的面积经验计算可得,(弦x矢+矢

2

2)=gx(4073x20+2()2)=892(M),

所以两者的差为908-892=16(m2).

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其

中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析

问题和解答问题的能力，属于中档试题.

8、A

【解析】

根据题意得，我们逐个分析四个选项中函数的格点个数，即可得到答案.

【详解】

根据题意得：函数7=或11%图象上只有(0,0)点横、纵坐标均为整数，故4为一阶格

点函数；

函数y=cos(x+?］没有横、纵坐标均为整数，故8为零阶格点函数；

函数y=/gx的图象有(1,0)，(10,1),(100,2),…无数个点横、纵坐标均为整数,

故C为无穷阶格点函数；

函数>=7的图象有…(-1,0),(0,0),(1,1),…无数个点横、纵坐标均为整数,

故。为无穷阶格点函数.

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中分析出函数的格点个数是解答本题的

关键，属于中档题.

9、C

【解析】

试题分析：由题意得，/(-16)=-/(16)=-log：16=4,故

2乃1

/(/(-16))=/(-4)=-/(4)=-cos—故选C.

32

考点：分段函数的应用.

10、A

【解析】

将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.

【详解】

原不等式等价于d+3x—4<0,即(x+4)(x—l)<0,解得T<x<l.

故选A.

【点睛】

本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11->—y/3

【解析】

根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出“值，再利用x的取值范围求

出函数的最小值.

【详解】

解：y=sin2x+acos2x=Jl+a，sin2x■,+cos2x■.a,

I\Jl+a2Vl+«2)

„1.„a

令cos6=_/，-,则sin",,,

y/l+CTvl+tz

贝！Jy=\Jl+a2(sin2xcos6+cos2x-sin6)=\J\+a2sin(2x+6).

7T

因为函数丫=5抽21+。以力2*的图象关于直线.[=一对称，

所以sin|2x—+«cos2x—=±Jl+2,

贝（j+2^1a-±J1+&2

22

平方得工+正。+3/=1+/.

424

整理可得("一百『=0,则4

所以函数丁=sin2x+6cos2x=2sin2x+cos2x=2sin[2x+f].

73

因为xeO.y,所以+?，与，

当2x+(=与时，即犬=',函数有最小值为—JL

故答案为：-也.

【点睛】

本题主要考查三角函数最值求解,结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是

解决本题的关键.

19110百

JL/、-------

23

【解析】

对式子|。4+。@两边平方，再利用向量的数量积运算即可;式子OC=〃?04+"08两

边分别与向量04,。8进行数量积运算，得到关于牡〃的方程组，解方程组即可得答

案.

【详解】

V\0A+05(=+OB'+2OA•08=1+；+2考.(―斗=；,

:.\OA+OB\=^.

,:0C=m0A+nOB,

2

0AOC=m0A~+nOA-OB,

2

OBOC=mOAOB+nOB,

解得：m=-2-\/3,n=—・

33

故答案为:分一竽

【点睛】

本题考查向量数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能

力和运算求解能力，求解时注意将向量等式转化为数量关系的方法.

13、b<a<c

【解析】

函数y=ax,y=x,y=logcX的图象如图所示，

由指数函数y=a,x=2时，yG(1,2)；对数函数y=logcx,x=2,y£(0,1)；幕函数

y=xb,x=2,y€(1,2)；

可得(1,2),be(0,1),cG(2,+oo).

可得b<a<c

故答案为：bVaVc.

14、V2

【解析】

由点到直线的距离公式得：点O到直线x+y+2=0的距离等于

=丁2，故答案为72•

15、4

【解析】

根据偶函数的定义知/(—x)=.Ax),即可求解.

【详解】

因为/0)=/+(相一4次+2为偶函数，

所以/(—x)=x*123-(m-4)x+2=f(x)=x2+(m-4)x+2,

故一5?-4)=加-4,解得加=4.

故填4.

【点睛】

本题主要考查了偶函数的定义，利用定义求参数的取值，属于中档题.

1

16、-

3

【解析】

直接利用长度型几何概型求解即可.

【详解】

因为区间总长度为2—(-1)=3,

符合条件的区间长度为1-0=1,

所以，由几何概型概率公式可得，

在区间［-1,2］上随机取一个数x,贝UxG［0,l］的概率为1,

故答案为：

【点睛】

解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几

何概型问题关维是计算问题的总长度以及事件的长度.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）注.

2

【解析】

（1）利用线面平行的判定定理，寻找面PAD内的一条直线平行于MN,即可证出；（2）

先证出一条直线垂直于面PCD,依据第一问结论知，MN也垂直于面PCD,利用面面

垂直的判定定理即可证出；

（3）依据等积法VB-MNC=VN_MBC，即可求出点B到平面MNC的距离.

【详解】

证明：（D取。。中点为G,连接NG,AG,"、N分别为AB、PC的中点，

:.NG//CD,NG=-CD,AM//CD,AM.AMNG是平行四边形，

22一

"N〃AG,AGu平面Q4D，MN«平面尸AD，二MV〃平面PAD

证明：（2）因为%_L平面ABC。，所以而=A

\CDA面PAD,而AGu面B4O,所以CDJ_AG,

由R4=4）,G为PD的终点，所以AGLPZ）

由于又由（1）知，MN//AG

：.MN_L平面PDC,MNu平面MPC,.•.平面MPC_L平面PCD

SZ.A2M»7ZB>CC=2-BCBM=—2,SZ.AM/rJ/VNvC=-2MN-NC=—2,

则点B到平面MNC的距离为"=上m=注

22

（也可构造三棱锥B-PMC）

【点睛】

本题主要考查线面平行、面面垂直的判定定理以及等积法求点到面的距离，意在考查学

生的直观想象、逻辑推理、数学运算能力.

【解析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得;

(2)由(1)知,二：__,利用错位相减法即可得到数列一

口.号=

的前-项和-

【详解】

(1)设等差数列」的公差为-，等比数列」、的公比为

I-二1口I-DJ口

因为。所以％—0<=无=4,解得二=才

所以二二=1二3+(二一3)二=5+(二-3)x：=：二一J

由.及等比中项的性质，得.，

又显然-必与-同号，所以

所以>"二；.又公比为正数，解得

J口

所以-，5旷=针"

(2)由(1)知,r二二n二丁二T®JC-J

口口=+=-J=7=»

则-/.J，：，_；©•

-二=p+r+,?+…4-rrTT

②.

J二••、二・•

KW+…+W+

①-②，得

扣。=外掾+>~+另一音=1+/+：+•一+当一争

JCT«JG+3

..='1■—^

所以

加

【点睛】

用错位相减法求和应注意的问题⑴要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数

的情形；（2）在写出“S“”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准

确写出“S,-qSn”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，

应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

19、（1）>=-3x；（2）6+2.

【解析】

（1）求出的直线方程后可得A的坐标，再求出PB的直线方程和AC的直线方程

后可得。的坐标，从而得到直线8的直线方程.

（2）直线8C的方程为x+y-2=0,设七（a,2-a）,求出PE的直线方程后可得A

的坐标，从而可用“表示S,换元后利用基本不等式可求S的最小值.

【详解】

（1）当时，直线用的方程为丫=》+1，

所以A（—l,0）,直线AC的方程为y=2x+2①，又直线8P的方程为>=一（尤+1②,

①②联立方程组得一|，，所以直线8的方程为v=-3x.

（2）直线8c的方程为x+y-2=0,设E（a,2-a）,

直线PE的方程为丁=上H％+1,所以

因为A在x轴负半轴上，所以0<。<1,

S=SM8E+SAOEB=；（2—j]x（2-a）+2_,0<a<l.

2（a-\）2\-a

S=g（3/+；+4）N百+2（当且仅当f=@）,

令f=l-a,贝U0<f<1,

而当f=且时，a=l-走

33V7

故S的最小值为6+2.

【点睛】

直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于》的轴

的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于）’轴的直线没有截距式，注意根据题设所

给的条件选择合适的方程的形式.直线方程中的最值问题，注意可选择合适的变量（如

斜率、倾斜角、动点的横坐标或纵坐标等)构建目标函数，再利用基本不等式或函数的

单调性等求目标函数的最值.

20、(1)f(x)=2sin(2令;(2)［一百,2］.

【解析】

试题分析：

(D依题意，A=2,T=»,则。=2,将点21的坐标代入函数的解析式可得

夕=2%乃一f(攵EZ),故0二一函数解析式为/(x)=2s由

66<07

■jr-rryirr

(2)由题意可得-,结合三角函数的性质可得函数/