备考2024年新高考数学一轮复习 利用传统方法求角度和距离

专题8.3利用传统方法求角度和距离

题型一求异面直线的夹角

题型二求直线与平面的夹角

题型三求平白与平面的夹角

题型四已知夹角求距离

题型五求几何体的体积

题型六利用等体积法求点到面的距禺

才典例集练

题型一求异面直线的夹角

例1.（2023春•全国•高一专题练习）在棱长为2的正方体ABC。-ABCQ中，为底面人/夕.的中心，E为BC

的中点，则异面直线AO,与QE所成角的余弦值是.

例2.（2023•河北•校联考一模）如图，在三棱锥A-3CD中，AB1CD,AD1BC,S.BD=3AC,点、E,尸分别

为AD,BC的中点，则异面直线AC与3D所成角的大小为,AC与EP所成角的余弦值为.

举一反三

练习1.（2023春•广东广州•高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体ABC。中，”是BC的中点，尸是线段AW

上的动点，则直线和BC所成角的大小（）

A.一定为90。B.一定为60。C.一定为45°D.与P的位置有关

练习2.（2022秋.贵州遵义.高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，SAL平面ABCD,四

边形ABCD为平行四边形，NABC=60且SA=AB=BC=2,E为9的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦

值为（）

D.半

练习3.（2023•江苏•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-44G中，ABC是等边三角形，A\=AB,D,E,

厂分别是棱AA，BB、,8c的中点，则异面直线。尸与GE所成角的余弦值是.

练习4.（2023春•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱ABC-中，AB=AC^AAl,

ZABC=ZBlBA=ZBlBC=60°,则异面直线A片与BG所成角的余弦值为（）

A.正B.BC.@D.亚

2266

练习5.（2023・甘肃定西•统考模拟预测）如图，正方体中，E,P分别是。R,DB的中点，则异面

直线跖与AQ所成角的正切值为（

D.V3

题型二求直线与平面的夹角

例3.（2021春•广东佛山•高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD,

ADYCD,且平分/ADC,E为PC的中点，AD=CD=1,DB=272.

P

⑴证明以〃平面3DE；

（2）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.

例4.（2022秋.浙江杭州•高二统考期末）如图，在三棱锥P-ABC中，M是AC的中点，AC,平面上4B,PBVPC,

AB=2,AC=4,AP=1.

（1）求证：尸3_L平面PAC；

（2）求直线BM与平面PAC所成角的正弦值.

举一反三

练习6.（2023春・山东临沂・高三校考期中）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是A3,

PC的中点.

⑴求证：平面PAD；

（2）若尸3中点为Q,求证：平面"NQ〃平面PAD.

（3）若PA_L平面A5CD,AB=PA=2,求直线P8与面上4£＞所成的角.

练习7.（2023・安徽合肥・合某中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家

里必备的用具、如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的

球面上，且一个底面的中心与球。的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）

B.8n26

A，—2L.---u.-----

255

练习8.（2023•全国•高三专题练习）在长方体ABC。-451GA中，AB=1,BC=2,相=5,则与平面ABC。

所成角的正切值为（）

A.1B.2C.好D.75

25

练习9.（2023•新疆喀什•校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A/B/GD中，AAi=2AB,E、尸分别为A4/、AC

的中点.

DiG

⑴求证：EF〃平面CDA1B1；

⑵求EF与平面DBBiD!夹角的余弦值.

练习10.（2023・全国•模拟预测）如图，在多面体A2CDE中，平面ACD_L平面A5C,鹿，平面ABC,ACD是

边长为2的正三角形，AB=BC=^~,BE=6

3

⑴点M为线段8上一点，求证：DEVAM-,

（2）求AE与平面BCE所成角的正弦值.

题型三求平面与平面的夹角

例5.（2023・全国•高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱ABCD-A]gGP中，A4,=2AB,E,尸分别为CG,441

的中点，则下列结论错误的是（）

A.gE_L平面

B.直线gE与直线BP所成的角为90

C.平面BEE与平面ABC。的夹角为45

D.直线2歹与平面ABC。所成的角为45

例6.（2023春•浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）己知四面体ABC。,。在面4BC上的射影为。,

。为ABC的外心，AC=AB=4,BC=2.

⑴证明：BC±AD；

（2）若E为中点，0*2,求平面ECO与平面ACO夹角的余弦值.

举一反三

练习11.（2023・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCQ为正方形，己4,平面ABCQ,

PA=AB=a,求平面喇与平面PDC所成二面角的大小.

练习12.（2023・上海黄浦・上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱ABC-Agq中，AA=2,AC=1,延长CB至

D

(1)求证：CA1DA；

(2)求平面B]AD与平面ADC所成锐二面角的余弦值.

练习13.(2023春•江西景德镇•高二景德镇一中校考期中)如图，在圆柱中，。。=2,A为圆。上一定点，B

为圆。上异于点A的一动点，OA=2^3,过点。作平面A3。的垂线，垂足为C点.

R

(1)若求证：BC1QA.

(2)若工A03为等边三角形，求二面角A-QB-。的余弦值.

练习14.(2023春・吉林•高三校联考期中)如图，四棱柱ABCD-ABIGA的底面ABC。是菱形，相，平面ABCD,

AB=1,AAl=2,ZE4D=60。，点尸为。2的中点.

(1)求证：直线8。」/平面PAC；

⑵求二面角q-AC-尸的余弦值.

练习15.(2023春•全国•高三专题练习)如图，在圆锥尸。中，已知PO」底面。，尸0=0,。的直径AB=2,

C是A3的中点，。为AC的中点.

(1)证明：平面尸QD_L平面PAC；

(2)求三棱锥O-PBC的体积；

⑶求二面角3-%-C的余弦值.

题型四已知夹角求距离

例7.(2023・上海徐汇•统考三模)如图，已知顶点为S的圆锥其底面圆。的半径为8,点。为圆锥底面半圆弧AC的

中点，点尸为母线£4的中点.

S

(1)若母线长为10,求圆锥的体积；

7T

(2)若异面直线尸。与SO所成角大小为:，求P、。两点间的距离.

4

例8.(2023春・河南安阳•高三安阳一中校考阶段练习)如图所示，在平行四边形ABC。中，AB=2BC=86,

TT

NDAB=§,E为边的中点，将VADE沿直线DE翻折为..ADE，若尸为线段A'C的中点.在VADE翻折过程中,

⑵若二面角A-DE-C=60。，求AC与面4团所成角的正弦值.

举一m

练习16.(2023・上海•高三专题练习)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AB±BC,

AB=AD,BC=2AB,瓦尸分别为棱BC,3尸中点.

p

(1)求证：平面AEF〃平面OCP；

(2)若平面PBC1平面ABC。，直线AP与平面P8C所成的角为45，且CPLPB,求二面角尸-AB-C的大小.

练习17.(2023•上海•高三专题练习)如图，正四棱柱中，AB=2,点、E、E分别是棱8c和CG的

中点.

(1)判断直线AE与2歹的关系，并说明理由；

JT

(2)若直线RE与底面ABC。所成角为;，求四棱柱ABC。-ABCA的全面积.

4

练习18.(2023春•福建泉州•高三校联考阶段练习)如图所示，三棱台ABC-EFG中，底面ABC,

1AC3=90,AB=2EF.

(1)证明：AFG是直角三角形；

⑵若AC/C芸5问彳为何值时，直线小平面的所成角的正弦值为华？

练习19.(2021春.广东佛山.高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，&41

底面ABC。，E是SC上一点.

/:\E

/也

坛

B%「一

⑴求证：平面EBD_L平面5AC;

Q4

⑵当茄的值为多少时’二面角3-SC-O的大小为12。。.

练习20.（2023•河南•校联考模拟预测）在四棱锥P-AfiCD中，底面ABCQ,ZABC=ZACD^6O°,AB^BC=2,

CD=1,且二面角尸-3C-A为60。，则四棱锥尸—ABCD的侧面积为（）

A.3+5/B.10D.11

题型五求几何体的体积

例9.（2023春•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，尸平面ABCD,平面

平面PBC.

（1）证明：四边形ABC。是正方形;

⑵若PA=A3=3,用为PC上一点，且满足PC=3RW,求三棱锥尸-ABM的体积.

例10.（2023・甘肃定西•统考模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，ABAD=60,

AC与交于点。，OPL底面ABC。，OP=6，点、E,尸分别是棱B4,尸8的中点，连接OE,OF,EF.

(1)求证：平面OEF〃平面PCD；

(2)求三棱锥O-PEF的体积.

举一m

练习21.(2023.贵州.校联考模拟预测)《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形

状的几何体.如图，在羡除45CD砂中，底面ABCD是边长为2的正方形，EF〃AB,EF=6,EA=ED=FB=FC=3.

⑴证明：平面ADE_L平面EBC.

⑵求四棱锥C-石的体积.

练习22.(2023春•高三平湖市当湖高级中学校联考期中)如图，在正方体43。-480|口中9=2,瓦尸分别是

棱AA，CG的中点，设尸是线段3Q上一动点.

⑴证明：PE〃平面瓦卯；

(2)求三棱锥P—BDF的体积.

练习23.(2023•青海海东・统考模拟预测)如图，四棱锥P-ABCD的底面是等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=2,

PC=6，PC，底面ABC。，”为棱AP上的一点.

p

⑴证明：ABVCM-,

1PM

(2)若三棱锥尸-CZW的体积为二，求妥的值.

练习24.(2023春•河南商丘・高三商丘市实验中学校联考阶段练习)如图，在直三棱柱ABC-中，AC=6,BC=8,

AB=10,招=5,点。为棱AB的中点，点E为棱44上一点.

(1)证明：AC1B.C;

(2)求三棱锥B-ECD的体积；

(3)求直线AG与平面BB£C所成角的余弦值.

练习25.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)如图，四边形ACCH与四边形BCG4是全等的矩形,

AB=y/2AC=^AAi,若尸是441的中点.

(2)如果AC=1,求三棱锥4-AGP与多面体ABCPB、的体积比值.

题型六利用等体积法求点到面的距离

例11.（2023•重庆沙坪坝•重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱ABC-A4c中各条棱长均为2,点

M,N,E分别为棱ACAVAB的中点.

（1）求异面直线MN和CE所成角的正切值;

⑵求点B到平面MEN的距离.

例12.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，在直角三角形A3C中，ZABC=90,DE//BC,BD=2AD=4,DE=l,

将VADE沿OE折起到△「_用的位置，使平面PDEL平面BCED,点Af满足CM=2MP.

（1）证明：BCLME-,

⑵求点M到平面PBE的距离.

举一

练习26.（2023•广西南宁•南宁二中校考模拟预测）如图在多面体ABC-ABG中，AAJ/BBX11CC,,抽，平面人耳£,

△A4G为等边三角形，AB\=BB[=2,A4,=3,C£=l,点M是AC的中点.

⑴若点G是△44。的重心，证明：点G在平面22幽内;

⑵求点G到"BG的距离.

练习27.(2023•河南郑州•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)如图，在正三棱柱ABC-中，E为CC,上一

点，AB=CE=2,M=3,。为B与上一点，三棱锥的体积为2回.

3

(1)求证：平面AOE，平面

⑵求点E到平面4G。的距离.

练习28.(2023春•四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PC。，平

面ABCD,已知底面ABCD为梯形，AB//CD,AB=BD=2CD=2,ZBDC=60°.

(1)证明：BC±PD.

(2)若PC_L平面ABCD,PC=V3,求点A到平面PBD的距离.

练习29.(2023・江西上饶•校联考模拟预测)如图，在三棱柱ABC-ABC】中，底面ABC1平面⑨用民△ABC是正

三角形，。是棱8C上一点，且05=302,44=42.

c,

(1)求证：BjQ±\D-

4

⑵若AB=2且二面角\-BC-B｝的余弦值为力，求点A到侧面BBCC的距离.

练习30.(2023•陕西西安•统考一模)在斜三棱柱ABC-A£C'中，一ABC是边长为2的正三角形，侧棱44，=2』,

顶点A，在平面ABC的射影为BC边的中点。.

(1)求证：平面BCC'B'AOA;；

⑵求点C到平面AAB的距离.

专题8.3利用传统方法求角度和距离

题型一求异面直线的夹角

题型二求直线与平面的夹角

题型三求平白与平面的夹角

题型四已知夹角求距离

题型五求几何体的体积

题型六利用等体积法求点到面的距禺

才典例集练

题型一求异面直线的夹角

例1.（2023春•全国•高一专题练习）在棱长为2的正方体ABCD-ABCQ中，为底面A与GA的中心，E为BC

的中点，则异面直线AQ与QE所成角的余弦值是.

【答案】叵J屈

66

【分析】根据给定条件，作出并证明异面直线与C£所成角，再计算作答.

【详解】在棱长为2的正方体A3。-AgCQ中，取A2AA中点尸,加，连接跖,。洒,4/,。阳，如图,

因为石为2。的中点，有EFIICDI/CREF=CD=C、D\,则四边形CQ£E是平行四边形,

于是RF//QE,又=即有四边形3是平行四边形,

因此AM//RF//GE,则ZOtAM是异面直线AO,与C,E所成的角或补角,

而。I为底面4B|GA的中心，则OXM//CQ,又CQ1平面ADD^,

从而平面ADAA，而AMu平面则。幽，A",

叵

在，0|K4中，O{M=1,AM=TM+4AF=A/5,AQ=A/6,于是cosNQAM=&^

AO1~6~

所以异面直线AO,与GE所成角的余弦值是我.

6

故答案为：叵

6

例2.（2023•河北•校联考一模）如图，在三棱锥A-BCD中，AB1CD,ADJ.BC,S.BD=3AC,点E,尸分别

为AD,8C的中点，则异面直线AC与8D所成角的大小为,AC与EP所成角的余弦值为.

10

【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.

取A8的中点G,连接EG,FG,则尸G〃AC,EGHBD,故—EFG或其补角为异面直线AC与EF所成的角,

过A作AO_L平面BCD于点O,连接8。，CO,DO,则AO_LCE>,

又旗_LCD,且ABAO=A,故C£>_L平面AO3,故BO_LCD,同理可得。O_L2C,

即。为△BCD的垂心，故BDLCO,又AO_L3D,AOCO=O,AOu平面AOC,

COu平面AOC,故5。人平面AOC,故AC13D,即AC与所成角为90。；

所以NEGF=90°,由3。=34。可得双7=3打7,故cosNEFG=里=叵,

EF10

即异面直线AC与EF所成角的余弦值为叵；

10

故答案为：①90°,②叵.

10

举一反三

练习1.（2023春・广东广州•高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体ABCD中，”是BC的中点，尸是线段AM

上的动点，则直线和3c所成角的大小（）

A.一定为90。B.一定为60。C.一定为45。D.与尸的位置有关

【答案】A

【分析】连接。可以证到BC-LDM,BCLPM,从而证到3C/平面所以即可得解.

【详解】解：连接DM,

四面体ABCD是正四面体，”是8C的中点,

.•.△DBC>一MC是等边三角形,

:.BC1DM,BCA.PM.

DMu平面DMP,PMu平面DMP,DM\PM=M,

平面DMP,又DPu平面DMP,

BCLDP,

直线。尸与BC所成角为90°.

故选：A.

练习2.（2022秋.贵州遵义•高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥S-9CD中，平面ABCD,四

边形ABCD为平行四边形，NABC=60且SA=AB=BC=2,E为9的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦

值为（）

D

B

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】B

【分析】分别取SB,BC,C£＞的中点F,G,H,连接EF,FG,GH,FH,BD,AC,则可证明/GF4为异面直线SC与。E

所成的角，分别在三角形中由勾股定理求出FG,切和GH的长度，利用余弦定理计算得到答案.

【详解】如图所示：

分别取SB,BC,CD的中点£G,H,连接EF,FG,GH,FH,BD,AC.

由NABC=60且AS=BC=2可得一ABC是等边三角形，

^\EF//AB^LEF=-AB,DH//ABSLDH=-AB,故EF"DH且EF=DH,

22

所以四边形EFHD为平行四边形，故ED//FH,

因为尸G〃SC,所以为异面直线SC与DE所成的角（或其补角），

因为&4,平面ABC。，AD,ACu平面ABCD,SALAD,SA±AC,

故_S4C和.E4D均为直角三角形，

所以/G=[sC=gjSA2+AC2=gj4+4=0,FH=ED=y/EA"+AD2=75，

GH=-BD=-x2y/3=y/3,

22

由余弦定理得cosZGFH=5丫：=巫.

2V5xV25

则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为叵.

5

故选：B

练习3.（2023・江苏•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-A4G中，..ABC是等边三角形，AA^^AB,D,E,

产分别是棱AA，BB「8C的中点，则异面直线。尸与GE所成角的余弦值是.

【答案】叵

10

【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.

【详解】如图，在棱CG上取一点使得CG=4C”，取CG的中点G,连接8G,HF,DH,由于G,E分别

是棱cq,8月的中点，所以8E=GG,BE//Cfi,

故四边形BGGE为平行四边形，进而GE〃BG,

又因为尸，H分别是BC,CG的中点，所以加'〃台G,所以HF〃QE,则或其补角是异面直线DF与

所成的角.

设AB=4,贝"=2,CH=1,AD=2.

从而HF=4CF2+CH2=5DH=JAC?+(AD-CHY=后,

AF=4AB2—BF2=2/，DF=^AF2+AD-=4>

16+5-17V5

故cos/DEH=

2X4XA/5-10

故异面直线。尸与GE所成角的余弦值是官.

故答案为：逝.

练习4.（2023春•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱ABC-A4G中，AB=AC=A\,

ZABC=ZB,BA=ZB1BC=60°,则异面直线A片与BG所成角的余弦值为（）

正

D-T

【答案】c

【分析】将三棱柱补成如图所示的四棱柱ABC。-AgC.,则异面直线A片与BG所成角即为4CQ,设AB=2,

求出BG，G2B。，由余弦定理求解即可.

【详解】解析：将三棱柱补成如图所示的四棱柱ABC。-44GA,

连接G2BC，由四棱柱的性质知，ABJ/QD,

所以异面直线ABi与BCt所成角即为CQ与BG所成角，

则所求角为4G。，设钻=2,则AZ）=2,/BAD=120。,

由余弦定理可得：BD=VAB2+AD2-2AB-AD-cos120°='4+4-2x2x2x

同理可得BG=2/,因为/q2A=60。，BB[=BA=2,所以44=。6=2,

故选：C.

练习5.（2023•甘肃定西•统考模拟预测）如图，正方体A8CO-ABCQ］中，E,尸分别是。口，的中点，则异面

直线EF与A2所成角的正切值为（）

【答案】B

【分析】根据异面直线的夹角的求法和线面位置关系即可求解.

【详解】

如图所示，连接直线BR,

因为E,F分别为直线DD,和直线08的中点,

所以跖为，的中位线,

所以斯PR8,

则异面直线EF与AD｛所成角的正切值即为直线DtB与口A所成角的正切值,

[ABLAD

因为Ln一人，

[AB_L

所以AB1平面ADRA,

ADju平面ADDlAi,

所以ADX,

所以BAR为直角三角形，

所以tanN即4=选=5=卓

故选：B.

题型二求直线与平面的夹角

例3.(2021春•广东佛山・高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习)如图，在四棱锥尸-ABCD中，尸。,平面ABCD,

AD^CD,且08平分/ADC,E为PC的中点，AD=CD=1,DB=2也.

P

(1)证明Bl〃平面3DE；

(2)求直线3C与平面PBD所成的角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

3

【分析】(1)设ACBD=O,得到E0是三角形PAC的中位线，WEOHPA,利用线面平行的判定定理即可得证;

(2)证明AC_L平面P6D,可得/C3O即为直线3c与平面PB£>所成的角，再解RtACBO即可.

【详解】(1)令AbBD=O,连结OE,

,?D3平分ZADC,；.ZADO=ZCDO,

又AD=CD,DO=DO,：.AAOD=ACOD,：.AO=CO,

.•.点。为AC的中点，

E为尸C的中点，〃卓，

OEu平面BDE,PAa平面BDE,

r.PA〃平面3£>E；

(2)由(1)可知AC13D,

尸。_L平面ABC。，ACu平面ABC。，:.ACO

又PDf8。=。,尸£>,8。<=平面尸5。，.：471平面尸5。，

:.ZCBO即为直线BC与平面尸8。所成的平面角，

显

在RtCBO中，OC=显,0B二匹,二tan/C20=空=3=：,

22OB3V23

~T

“C

例4.(2022秋.浙江杭州.高二统考期末)如图，在三棱锥尸-ABC中，M是AC的中点，AC,平面RW,PBLPC,

AB=2,AC=4,AP=1.

(1)求证：RB_L平面PAC；

(2)求直线BM与平面PAC所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；

4

【分析】(1)证明尸3LC4,原题即得证；

(2)连结尸M,N5MP就是直线8M与平面PAC所成的角，解直角三角形求出=2应，PM=出,即得解.

【详解】(1)；AC_L平面Z.PBLCA

又,：PBLPC,PCcAC=C,PC,ACu平面PAC,

/>3_L平面PAC

(2)连结PM,由(1)知尸3_L平面P4C

NBMP就是直线8M与平面PAC所成的角,

RtABAf中，AB=1,AM=2,:.BM=2舱.

Rt.AMP中，AP=l,AM=2,:.PM=卮

PM不诉

cos/BMP=-----

BM272-4

sinNBMP=

所以直线创/与平面PAC所成角的正弦值为逅.

4

第二反三

练习6.(2023春・山东临沂・高三校考期中)如图，已知点P是正方形?1BCD所在平面外一点，M,N分别是A3,

PC的中点.

⑴求证：MN〃平面PAD；

(2)若尸3中点为Q,求证：平面"NQ〃平面PAD.

(3)若PA_L平面A5CD,AB=PA=2,求直线P8与面上4£>所成的角.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)45°

【分析】(1)取尸。的中点E,连接AE,NE,即可证明四边形4W2VE为平行四边形，所以MN//AE,从而得证;

(2)依题意可得M2〃AP即可得到〃平面PAQ,再结合(1)的结论，即可得证；

(3)依题意可得平面R4D_L平面ABCD,由面面垂直的性质得到平面上4。，则NE%即为直线PB与面PAD

所成的角，再根据边长的关系得解.

【详解】(1)取尸口的中点E,连接AE,NE,

因为N是PC的中点，所以NE//DC且NE=LDC,

2

又M是A3的中点，ABCD是正方形，所以A〃〃DC且=

22

所以NE"4M且=,

所以四边形AWE为平行四边形，所以MN〃AE,

又MN<Z平面PAD，AEu平面PAD,所以MN〃平面R4D.

P

(2)因为。为尸3的中点，〃是AB的中点

所以MQ//AP,又平面尸AD,APu平面PAD,所以〃平面PAD,

又MN〃平面PAD,MQcMN=M,MQ,血Wu平面MNQ,所以平面A/NQ〃平面PAD.

(3)因为PA_L平面ABCD,PAu平面尸AD,所以平面从D_L平面ABC。，

又ABCD为正方形，所以ABJ_AD,ABu平面ABCD,平面从De平面ABCD=AD,

所以AB上平面PAD,

所以N3/N即为直线尸3与面24。所成的角，又AB=PA=2,所以△身也为等腰直角三角形，

所以N3PA=45。，

即直线尸8与面PAD所成的角为45。.

练习7.(2023・安徽合肥・某中学校考模拟预测)米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家

里必备的用具、如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球。的

球面上，且一个底面的中心与球。的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为()

R62石

A-—2\_-.----

25r

【答案】D

【分析】由题意作出正四棱台的对角面，。为外接球球心，为线段3c中点，过点D作。EL5C,垂足为E,则NDCE

即为所求角.

【详解】由题意，作出正四棱台的对角面，如图

AD为正四棱台上底面正方形对角线，3C为正四棱台下底面正方形对角线,

。为外接球球心，为线段8C中点，则8=Q4=O3=OC=5。，

过点。作DELBC,垂足为E,则/OCE即为所求角.

因为OD=50,DE=40,所以OE=30,所以EC=20,

所以。C=206，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为平.

练习8.（2023・全国•高三专题练习）在长方体中，AB=1,BC=2,A4,=5,则与平面ABC。

所成角的正切值为（）

A.1B.2C.@D.y[5

25

【答案】D

【分析】连接AC,利用线面角定义知幺CA为所求的角，在直角..ACA中，即可求解.

【详解】在长方体ABCD-4与G。中，平面ABCD,

NACA是AC与平面ABC。所成的角，

连接AC,ACu平面A5CD,AA]1AC,

又AB=1,BC=2,9=5,所以AC=JAB?+叱=逐,

在直角ACA中，tanNAC4=H=5=^,即$C与平面ABC。所成角的正切值为右.

故选：D.

5

练习9.（2023•新疆喀什•校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD'SGP中，AAi=2AB,E、尸分别为A4/、AC

的中点.

（1）求证：EP〃平面CDAiBi；

⑵求EF与平面DBBiDi夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵逅

3

【分析】（1）利用线面平行的判定，只要证明所平行于平面CD4/S内一条直线即可;

（2）如图，利用面面垂直确定线面角为NEFG,解三角形即可.

【详解】（1）由尸为AC交点，连接AC血交于点尸，

连接AC,由E为4A中点，

则EF//AC,

由EPcZ平面CDA1B1,A]CU平面CDA1B1,

所以斯〃平面CDAiBi；

（2）连接AG，耳A交于点H，连接“F，

由朋_L平面ABC。，则招,班）,

又ACLBD,且MAC=A,

所以应平面ACC]A,

所以平面BB\D\D1ACGA,

又平面BBRD'平面ACC]A=HF,

作EGLHF于G,则EG,平面88QD且G为加'中点,

则NEFG为EF与平面DBBiDi所成角，

由AA/=2AB,不妨设A4j=2AB=2,

练习10.(2023・全国•模拟预测)如图，在多面体4BCOE中，平面ACD_L平面ABC,平面ABC,4co是

边长为2的正三角形，AB=BC=函,BE".

3

(1)点M为线段8上一点，求证：DEVAM-

(2)求AE与平面BCE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取AC中点O,证得。平面ABC,得到£>O〃3E,且BE=DO,得到所以四边形BODE为平行四

边形，所以BO//DE,再由301AC,证得3。/平面ACD,得到上人平面ACQ,即可证得。E_L40；

(2)过A作AN垂直于BC,证得AN1平面BCE,得到NA£B即为AE与平面BCE所成角，在直角A4EN,即可

求得AE与平面BCE所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：取AC中点0,连接。0,03,

因为ACD是边长为2的正三角形，可得£X9_LAC,

因为平面ACD-L平面，平面ACD）平面ABC=AC,且£>Ou平面ACD,

所以。O_L平面ABC,且Z）0=g,

又因为BE_L平面ABC,所以。

因为8£=迅，可得BE=DO,所以四边形3ODE为平行四边形，所以

由AB=3C,且。为AC的中点，可得3O1AC,

因为平面ACE>_L平面ABC,平面AC。'平面ABC=AC,且BOu平面ABC,

所以301平面AC。，所以DE1平面AC。,

又因为AMu平面ACD,所以

(2)解：在一ABC中，AB=BC=—,且AC=2,

3

由余弦定理得cosZABC='+嚣=3

2ABxBC2

所以/ABC=120。，

如图所示，过A作AN垂直于BC,交CB延长线于点N,即8CLAN,连结硒,

因为鹿_L平面ABC,且4Vu平面A5C,所以3E_LAN,

又因为8E,CB=3,且3E,C3u平面8CE,所以4Vl平面3CE,

所以ZAEB即为AE与平面BCE所成角，

在直角中，可得AE=7AB。+BE。=叵,

3

在直角一ABN中，可得AN=A2sin60=3叵x走=1,

32

.^AN1V39

所以smZA"V=%元=^=节即AE与平面BCE所成角的正弦值为

亍

D

题型三求平面与平面的夹角

例5.（2023・全国•高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱ABCD-AgGP中，A4=2AB,E,尸分别为CG，人4

A.4E_L平面BEE

B.直线gE与直线所成的角为90

C.平面与平面ABC。的夹角为45

D.直线与平面ABC。所成的角为45

【答案】ABC

【分析】对于A,若玛平面跳再则与M=90,与板=4E矛盾；对于B,假设直线旦E与直线8尸所成的

角为90,可得用平面所以耳E//BG，显然这是不可能的；对于C,可证得NDBR即为平面2所与平

面ABC。的夹角，求tan/DBR判断即可；对于D：直线2歹与平面ABC。所成的角即为直线旗与平面ABC。所

成的角NEBC.

【详解】对于A,如图，连接2也，由题意又E,尸分别为CG，4A的中点，可得用£=用尸，若与

平面则B|E_LEF,进而/与所=/4歹E=90.这显然不成立，故耳E与平面不垂直，A错误；

对于B,假设直线旦E与直线8尸所成的角为90,即①7,由正四棱柱的性质可知4A，平面gBCC］，而gEu

平面片8CG，所以耳A_L耳E,又4耳与斯相交，4耳、3尸u面ABBiA，所以用平面A3与人，而由正四棱

柱的性质可知用平面AB4A，所以qE//4G，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误;

对于C,分别延长。1尸，D4交于点P,连接则直线尸8即为平面与平面A8CQ的交线.连接8D,BDt,

因为AF//DR且=,所以所以尸3_L3D,又。平面ABCD,尸3u面A3CD,所以

DDJPB,又DD、BD=D,DD『BDu面BDR,所以尸3,平面8。。，又面8。。，所以BRJLPB,所

以ZDB，即为平面BEF与平面A3C。的夹角，易知tan/DBDi=2=6>l,故NDBR>45,C错误；

BD

对于D,可证口///2石，则直线2尸与平面A8CD所成的角为/EBC,又根据题意易知N£BC=45,D正确.

例6.(2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)己知四面体ABC。,。在面ABC上的射影为。,

。为一MC的外心，AC=AB=4,BC=2.

(1)证明：BC±AD；

(2)若E为A。中点，OD=2,求平面ECO与平面ACO夹角的余弦值.