重庆市某中学2024届高考适应性月考卷（五）数学试题（含答案解析）

重庆市2024届高考适应性月考卷（五）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

i-i4

1.已知复数Z=；T二?，则目=（）

A.受B.1C.V2D.-

222

2.已知集合A={x|log；x-31og2x<。},B={j|y=3x-l,xeN）,则A>3=（）

A.{2,5,8}B.{-1,2,5）

C.{5,8}D.{2,5}

3.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（。）

的立方成正比”，即丫=也3,但欧几里得未给出常数人的值.现算出k的值，进而可

得cosk=()

A.0B.1「V2D.近

22

4.定义域为R的函数/（x）关于x=l对称，且当马>士>1时，恒成

立，设«=/^sin^,c=〃2）,则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

5.已知直线/1过点A（0,l）,直线4与直线，2：y=x的交点5在第一象限，点O为坐标

原点.若三角形。为钝角三角形时，则直线4的斜率的范围是（）

A.(一8,—1]B.(-oo,-l)u(0,+oo)

C.（-oo,-l）<j（0,l）D.（-oo,-l）u（l,+oo）

6.在三棱锥尸-ABC中，PA=45,PAL平面ABC,D为BC的中点且PD=2厄当

ASC为正三角形时，三棱锥尸-ABC外接球的表面积为（）

.。31兀.31兀

A.IOTUB.---C.4兀D.---

312

7.若关于x的方程2sinxcosx-J5cos2x=l在［。，兀）内有两个不同的解不，演，贝!J

5也（玉+工2）的值为（）

「V30+指

B

3-T24

n+1

8.已知数列｛%｝的前〃项和Sn=2a„-2,不等式（源一10间/《5—19）S,对任意

“eN*恒成立，则实数/”的最大值为（）

A.4B.6C.8D.2

二、多选题

9.小明参加唱歌比赛，现场8位评委给分分别为：15,16,18,20,20,22,24,

25.按比赛规则，计算选手最后得分成绩时，要先去掉评委给分中的最高分和最低分.现

去掉这组得分中的最高分和最低分后，下列数字特征的值不会发生变化的是（）

A.平均数B.极差C.中位数D.众数

10.设抛物线C:产=2川的焦点为产，准线为了=-1.点A,2是抛物线C上不同的两

点,且尸|+忸尸|=8,则（）

A.。=2B.以线段为直径的圆必与准线相切

C.线段A3的长为定值D.线段A3的中点E到准线的距离为定

值

11.已知向量a,b,c满足同=3，W=l，2a-b卜=设〃?=必QeA）,则（）

A.alb2B.a+6在b方向上的投影向量为

C.版-。|的最小值为2--2D.|m-色无最大值

12.已知正方体的棱长为2,0是空间中的一动点，下列结论正确的

是（）

A.若点。在正方形DCG2内部，异面直线a片与所成角为仇则。的取值范

围为K

B.若点。在正方形DCG2内部，且［0目=百则点。的轨迹长度为:兀

C.若AO=；AB+/IAD（04/IW1）,则用O+OD的最小值为

D.若AO=4AB+（1—4）4）（04/141）,平面截正方体ABC。-A耳所

得截面面积的最大值为3A回

三、单空题

试卷第2页，共4页

13.已知两个等差数列｛%｝,也｝的前"项和分别为S“，T,.若年=2,则

园=

T,---------------

14.在三棱台ABC-A^IG中，己知AC=■BC=2，AC|=瓦G=1，AC，3C,CG■1平面

ABC,ZAAC=60,则该三棱台的体积为.

15.已知动点”(x,y)满足］=2sine(^eR)，若直线/过点(-2,。)与点M的轨迹

相切，则直线/的方程为.

16.若不等式后(2〃7111r-尤+1)＜廿(加＞0)对任意的xelay)恒成立，则实数相的最大

值为.

四、问答题

17.已知ASC的内角A,8,C所对应的边分别为a,6,c,且满足二十竽山”

b+cbsinA+csinn

⑴求角C的大小；

(2)若a=21=4,点、D为AB的中点，求tanZACD的直

五、证明题

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCZ)是直角梯形，PC,平面ABC。,

ADJ.AB,AB//DC,AB=2AD=2CD,点、E是PB的中点.

(1)证明：平面R4C_L平面PBC-,

(2)若平面PAD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为2,求直线PO与平面ACE所

成角的正弦值.

六、问答题

a

19.已知递增等比数列｛4｝中，4=2,2%；电，4成等差数歹人

(1)求数列｛log2a,｝的前n项和S,；

⑵若或=。屋log?an设数列也｝的前n项和为Tn,求使得T“>2024的最小正整数n的值.

20.已知函数/(x)=hu+l,g(x)=ar2(a>0).

⑴当a=2时，求y=/(x)-g(x)的极值；

⑵若曲线y=/(x)与曲线y=g(x)存在2条公切线，求a的取值范围.

21.重庆南山风景秀丽，可以俯瞰渝中半岛，是徒步休闲的好去处.上南山的步道很多，

目前有标识的步道共有18条.某徒步爱好者俱乐部发起一项活动，若挑战者连续12天

每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次计算)运动，即可获得活动大礼包.已知

挑战者甲从11月1号起连续12天都徒步上南山一次，每次只在凉水井步道和清水溪步

道中选一条上山.甲第一次选凉水井步道上山的概率为:，而前一次选择了凉水井步道,

后一次继续选择凉水井步道的概率为《，前一次选择清水溪步道，后一次继续选择清水

溪步道的概率为如此往复.设甲第w(w=l,2,12)天走凉水井步道上山的概

率为P”.

⑴求心和月；

(2)求甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天

数.

22.已知点尸(七,%)是椭圆E:二+与=1(。>匕>0)上的动点，离心率6=由，设椭圆左、

右焦点分别为用,用，且|P/"+|PB|=4

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)若直线尸耳P居与椭圆C的另一个交点分别为A,以问.钻面积是否存在最大值，

若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】利用复数的四则运算与模的公式即可得解.

4

i-ii-11-i二逝

【详解】因为z=L^=-,所以|z|="i|

(1-i)2-2i2iW-T

故选：A.

2.D

【分析】根据一元二次不等式结合对数求集合A,进而结合交集的意义分析求解.

［详解］因为A={%|log：x-31og2%<0}={x10<log2%<3}={x|l<x<8},

令0v3x-l<8,且xcN,解得％=1,2,止匕时y=3%—1=2,5

所以AB={2,5}.

故选：D

3.D

【分析】根据球的体积公式分析求解.

【详解】因为k=S3=d7112T,整理得上=2，

336

所以cosk=cos—=.

62

故选：D.

4.B

【分析】由题设可知函数单调性，结合对称性即可比较大小.

【详解】因为函数/(x)关于x=l对称，

所以c=〃2)=〃0),

又因为当当>芯>1时，一"占)>0恒成立,

x2一%

所以“X)在(L")上单调递增，故"X)在(-8,1)上单调递减,

因为0<g<¥=sin[,所以7(0)>/•(1)>/•卜inm

所以c>b>a.

故选：B

答案第1页，共19页

5.C

【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围.

【详解】当三角形。为直角三角形时，或

此时4的斜率z=—1或0.

当4从左=-1顺时针旋转到>轴之间时，三角形OAS为钝角三角形，此时左<-1；

当4从左=0逆时针旋转到与直线4：y=x平行之间时，三角形(MB为钝角三角形，此时

0</r<l,

综上，fce(^,-l)u(0,l),

6.B

【分析】根据球心与正三角形中心连线垂直于平面ABC,结合线面垂直性质确定球心位置,

然后利用已知求出半径即可得表面积.

【详解】记球心为。，正A3C的中心为O',出的中点为E,

2

由正ABC和球的性质可知，AO'=-AD,OO'±5PUABC,

因为PA_L平面ABC,AT>u平面ABC,所以OO7/R4,PA±AD,

因为=所以OE_LB4,

所以，在平面AO'OE中，OE//AO',所以AO'OE为矩形，

所以。(7=4后=好，

2

又AD=dP»_P尺=下>，所以AO'=|AO=竿，

所以AC>2=AO'1+OO'-=—,

答案第2页，共19页

所以三棱锥P3c夕卜接球的表面积为4版w*二等

7.A

【分析】利用辅助角公式得sin（2x-E）=g,再结合正弦函数的图象与性质求出

代入计算即可.

【详解】关于x的方程sin2x-6cos2x=l,贝!Jsin[2x—§]=5,

当xe[O,兀）,2方-鼻口，当，所以2x4=3或"，则x=5或g

5\_55J3oo412

57r]

设西＜入2，所以玉+尤2=7-，贝Usin（石+w）=彳，

答案第3页，共19页

故选：A.

8.B

【分析】利用4的递推公式，利用构造法求通项公式，然后将不等式恒成立问题转化为

求25T9”的最小值问题,然后分离常数，利用对勾函数性质求解即可.

n+l

【详解】因为5“=2%-2出,

M+2

所以％=Sn+,-Sn=2an+l-2-(2«„-2用)，整理得爵号=i,

又豆=24-2?得4=4,年=2，

所以[祟，是以2为首项，1为公差的等差数列，

n+ln+l

所以於〃+1,故4=(〃+1)2",Sn=2an-2=n-2,

所以(市-10m)%W-19)S“o(zn2-10m)(n+1)-2"<(n-19)n-2n+l,

口门?2(〃一19)〃

即m2-10m<---------，

〃+1

因为2("19)〃=2[("+1)2.21(〃+1)+20]=2k+]+至.21]，

〃+1n+1(n+1)

令t=〃+1,由对勾函数性质可知，>=/+手在(0,2⑹上单调递减，

在(26,+8)上单调递增，

20(20

又teN*,所以r=4或f=5时，=t+—=9,所以2|〃+1+--21=-24

t\〃+1人in

所以，m2—10/n<—24,解得44机V6.

所以实数机的最大值为6.

故选：B

9.ACD

【分析】根据给定的条件，利用平均数、极差、中位数、众数的意义逐一判断即可.

【详解】对于A,去掉最高分和最低分之前，8个数据的平均分为

15+16+18+20+20+22+24+25.

-----------------------------二20,

8

,上上曰八十r曰/rT八、I/人irt人心十八、[16+18+20+20+22+24十小

去掉最局分和最低分乙后，6个数据的平均分为---------------------=20,A正确；

O

对于B,去掉最高分和最低分之前，8个数据的极差为10,去掉最高分和最低分之后，6个

答案第4页，共19页

数据的极差为8,B错误；

对于C,去掉最高分和最低分之前，8个数据的中位数为20,去掉最高分和最低分之后，6个

数据的中位数为20,C正确；

对于D,去掉最高分和最低分之前，8个数据的众数为20,去掉最高分和最低分之后，6个

数据的众数为20,D正确.

故选：ACD

10.AD

【分析】根据给定条件，求出抛物线C的方程，令4士,%),8(超,％),由己知结合抛物线的

定义可得占+%=6,计算判断AD；举例说明判断BC.

【详解】依题意，抛物线C的焦点厂(1,0),方程为V=4x,则。=2,A正确；

令4>1，%),3(%,%),显然IABI+I2川=玉+1+苫2+1=6,即玉+3=6,

取士=0,贝1］々=6,即点A(0,0),B(6,±2遥),此时|AB|=2万，

以线段A3为直径的圆的圆心为(3,土指)，该圆心到准线x=T的距离为4,不等于圆半径而,

因此该圆与准线不相切，B错误；

以点4(0,0),8(6,±2痣)为端点的线段长|48|=2后，当直线A8垂直于无轴时，%=%=3,

此时|A8|=4g,C错误；

线段A3的中点E的横坐标为3,点E到准线的距离为3-(-1)=4,D正确.

故选：AD

11.BCD

【分析】对于AB,利用向量的数量积运算即可得解；对于CD,利用向量的几何意义建立

直角坐标系，将问题转化为圆上点到直线的距离的问题，从而得解.

【详解】对于A,因为同=3,忖=1,|2"-司=如，

所以(2々一"=31,BP4a-4a-b+b=31'

3

即4x9-4a・b+l=31，则故A错误；

「/7\a，b1/、兀

又cos〈a,〃〉=；——=~兀］,所以〈。力〉=彳，

|。|2f3

答案第5页，共19页

--25

对于B,因为t伍+6)1=。力+〃=—,

2

(a+b),bb5.

所以a+Z?在b方向上的投影向量为W，故B正确;

对于CD,建立直角坐标系％。V,如图，

因为|c|=2|<?-a|,所以"升+丫2=2白尸3)2+己,整理得(了一书?+丁=4,

即C点的轨迹是：圆心为E(4,0),半径为2的圆，

贝=则点M在直线。3上运动，贝『根一。|=|。加一。。|=|(7河|,

设点E到直线03的距离为d,

贝HCM1mhi="-『=|0'|周11与-2=2百一2,无最大值，故CD正确•

故选：BCD.

12.AC

【分析】选项A,建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解线线角及范围；选项B,利用垂

直关系，将|。即=遂转化为10cl=1,进而得到。点轨迹；选项C,由向量关系得动点。的

位置，利用展开图将空间折线段之和最小值转化为平面内两点之间距离最短求解即可；选项

D,由向量关系得。民。三点共线，当点。与8重合时，利用特殊位置求解截面面积大于36,

故排除.

【详解】选项A,以O为坐标原点，分别以£>AOC,Z)R所在直线为x,y,z轴，建立空间直

角坐标系。-孙z,

则A(2,0,2),4(2,2,2),。(2,2,0),0(0,y,z),0<y<2,0<z<2,

则A4=(0,2,0),BO=(-2,y-2,z),

答案第6页，共19页

AB],BO

，哂|2(y-2)|If

44忸。2j4+(y-2y+z2j4+(y-2)2+z~

4+z2

所以>1,

(y-2)2

故cos。eI0,,则6的取值范围为,故A正确;

选项B,由。在正方形OCGR内部，且|0同=逐，连接。C,OB,

由BC工平面DCCR,则BC1CO,

在R「OCB中，|CB|=2,则|℃|="可_22=1,

又点。在正方形nee，内部，

故点。的轨迹以C为圆心，1为半径的四分之一圆弧,

所以点。轨迹的长度为：x27i=W，故B错误；

42

B

答案第7页，共19页

选项C,如图，取A8的靠近A的四等分点0c的靠近。的四等分点N,

连接所以AM//DN,AM=DN,

则四边形4VWD是平行四边形，所以

由AO=；AB+XAD（04441）,则A0=AM+2AD，

即MO=4AD（OVXW1）,则MO//AD//8G,故点。在线段MN上,

又MN=AD=BG，四边形MNC的为平行四边形，

又ADJ_平面A84A，则脑V_L平面A881A，则

四边形MNCXB｝为矩形，且用知=卜2+以=|,

将矩形MNC4沿展开至与矩形AAWD共面，如图，

当且仅当4,。,。三点共线时，4O+OD的最小值为屈，故C项正确;

答案第8页，共19页

选项D,由AO=4AB+（1-X）AD（OV；IW1）,

^AO-AD=X（AB-AD）,则有£>0=4画04/141）,

故点。在线段8。上，

如图，连接皿1/6,

当点。与B重合时，由G2〃4BJIAB,CQ=ABI=AB,

故四边形AGBA是平行四边形,

则2,G，A3四点共面，即D，A,O，G四点共面,

则此时平面042截正方体4BCD-A4CA所得截面即为平行四边形DC3A,

又叫=2血,AB=2,贝U截面面积为5=2x2应=4应>3指，故D错误.

故选：AC.

13.2

【分析】根据给定条件，利用等差数列前〃项和公式、等差数列性质计算即得.

【详解】等差数列｛叫，也｝的前"项和分别为%T„,*=2,

“5

9（%+。9）

所以2=2.

T99（4+%）9b5

2

故答案为：2

14.手/那

【分析】取AC的中点。，证得平面ABC,得到AO-LD4,求得村。=6，即棱台

的高为百，再由棱台的体积公式，即可求解.

答案第9页，共19页

【详解】如图所示，取AC的中点D,连接A。，

因为AC=2，AG=I,所以AG//CD且AC=CD,

可得四边形AGC。为平行四边形，所以AD//CG，

因为CC1，平面A3C,可得平面ABC,

又因为ADu平面A3C,所以Aj£)_LD4,

在直角。中，由AD=I,NAAC=6。，可得4。=#，即棱台的高为君,

因为AC13C,可得AG，瓦G，且AC=BC=2，AG=4G=I,

所以ABC的面积为gx2x2=2,△ABC的面积为gxlxl=；,

则棱台的体积为V=^x(2+JZ工+工”抬=友.

3V226

故答案为：拽.

6

15.x+y/3y+2=0x-+2=0.

【分析】消去参数可得动点”(x,y)的轨迹是圆，然后根据圆心到直线的距离等于半径列方

程求出斜率，即可的直线方程.

【详解】由［y=2sin。(JR)消去，得(*-2)-+丁=4,

所以，动点”(x,y)的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，

由题意直线斜率存在，所以设直线/的方程为'=左(*+2),即区->+2左=0,

由题知，,产=2,解得％=±3，

飞肝+13

答案第10页，共19页

所以，直线/的方程为X+百y+2=0或x-6y+2=0.

故答案为：x+用+2=0或x-岛+2=0

YX4人

【分析】根据题意整理得21n=+1<^,令，=三>0,可知r—2hv—120,构建

J”

g⑺=r-21n-l/>0,利用导数分析可得0<Ml,进一步整理得〃?lnx-产0对任意的

xe(0,—)恒成立，构建/?(x)=〃?lnx-/x>。，利用导数求其最值结合恒成立问题分析求

解.

,整理得21n

m

x

令，=T>°,可得2hU+l4,BP^-21nr-l>0,

令g⑺="21nU>0,贝Ug")=l丁:,

令g'«)>0,解得/>2；令g'⑺<0,解得0<f<2；

则g⑺在(0,2)上单调递减,在(2,+8)上单调递增，

贝|g(。上g(2)=l_21n2<0,Mg(l)=0,g(4)=3-21n4>0,

可知g⑺有且仅有两个零点L%e(2,4),

若g⑺20,则0<二<1或t注，

mm

xx

对于f=W可知，当X趋近于+8时，,=三趋近于0,故此办不合题意;

所以0。<1,KP0<—<1；整理得minx-彳40对任意的xe(0,+3o)恒成立,

2

令/z(x)=mlnx-^,x>0,贝(J/zr(x)=—―,

且m>0,令矶％)>。，解得0(尤<2m；令/z'(x)<0,解得%>2机;

则/i(x)在(0,2m)上单调递增，在(2m,4w)上单调递减，

答案第11页，共19页

oj^/z（x）＜A（2m）=mln2m-m＜0,结合机＞0解得0＜相4],

所以实数机的最大值为I，

故答案为：

/\

【点睛】关键点睛：第一步同构将原式整理得21n4+1＜^,把鼻看成整体处理求其取

Je，

值范围；

m

x

第二步根据题意分析可得°＜丁41,整理得〈。对任意的x«0,y）恒成立，结合

e22

恒成立问题分析求解.

17.（呜

⑵¥

【分析】（1）根据题意利用正余弦定理边角转化分析求解;

（2）根据（1）中关系可得c=2g,进而可知3=利用两角和差公式运算求解.

【详解】⑴因为号+…竽R°=1,由正弦定理可得旦+—^=旦+—也=1,

b+cbsinA+csinBb+cab+bcb+ca+c

整理得〃2+/_02="，

^2z2_2ab_1

由余弦定理可得8SC=F^

2ab2

且Ce（O,兀），所以C=g.

（2）由（1）可得：a2+b2-c2=ab，则c?=/+廿一"=口，即c=2

可知廿=6+02,即8=巴，可得6，tanZBCD=—=—,

2BC2

6一3r-

tanZACB-tan/BCDB2N

所以tanZACD=tan(ZACB-/BCD)

1+tanZACBtan/BCD1+岛35

18.（1）证明见解析

嘘

答案第12页，共19页

【分析】（1）根据题意证明3cl平面PAC,进而可得面面垂直；

（2）建系，设尸（0,0,。）,。>0,根据题意结合面面夹角求得a=2,进而利用空间向量求线面

夹角.

【详解】（1）不妨设AB=2,则4D=CD=1,可得AC=BC=V^，

BPAC2+BC2^AB2,可得AC/BC,

又因为PC_L平面A8C£>,BCcnABCD,则PCJ_5C,

且ACPC=C,AC,PCu平面PAC,可得3C1平面PAC,

且BCu平面PBC,所以平面上4c，平面PBC.

（2）取AB的中点G,可知CGLCD,

如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

则D(O,1,O),A(l,1,0),5(1,-1,0),设P(0,0,a),a>0,

UUUULIU

可得ZM=(1,0,0),DP=(O,Ta),

/、n-DA=x=0

设平面PAD的法向量"=(x,y,z),贝卜

n•DP=-y+az=0

令、=。，则x=0,z=l,可得”=(O,a,l),

由题意可知：平面ABC。的法向量帆=（0,0,1）,

设平面PAD与平面ABCD所成锐二面角为6e0,|,则tan6=2,

由tand=更吆,sin2(9+cos26»=l,解得cos0=^(舍负),

cos。5

贝I1|cos/m,n

，解得〃=2,

uinnmruur/1i

则尸（0,0,2）,可得Z)P=(O,-l,2),C4=(l/,0),CE=2，-5，1

答案第13页，共19页

勺CA=xi+yl=0

设平面ACE的法向量々=(%,%,zj,则<11，

'^E=~x\~~yi+zi=0

令％=—1，则玉=1,Z]=—1,可得々=(1,—1,—1),

iuinnHi

I/uunii\IDP%i

贝”cos(DP,々)=|Uimr厂|=—F=—T==-------,

।'叫V5xV315

所以直线产。与平面ACE所成角的正弦值班.

15

19.(DS,=中

⑵8

【分析】(1)根据等比数列通式和等差中项的应用求出4值，再求出4=2",log2a"=w,最

后利用等差数列前“项和公式即可；

(2)bn=nx2”,利用错位相减法即可得到7；=5-1)2用+2,根据其单调性即可得到答案.

【详解】(1)由题3%=。3+2%,即3%4=4(/+2),因为q=2,

所以/-3q+2=0=(q-2)(q—1),解得Q—2或1,

又因为等比数列｛%｝为递增数列，

所以〃>1,所以公比4=2,所以?=2〃,log2Q〃="，

_[[八(n+V)n

Sn=log2+log2a2++log2=1+2++n=——-——.

n

⑵bn=anlog2an=nx2,

7；,=1X2+2X22+.+MX2",

23,,+1

2Tn=1X2+2X2++nx2,

作差：-7；=2+2?++2”_“x2向=2^~^^-nx2"+1=2(2"-1)-MX2"+I，

所以7；=5-1)2向+2,由么>。，所以｛瑁为单调递增数列.

又《=1538V2024,7；=3586>2024,

答案第14页，共19页

所以"的最小值为8.

20.(1)极大值为g-ln2,无极小值;

(2)6Z>—.

【分析】(1)把〃=2代入，求出函数的导数，利用导数探讨单调性求出极值.

(2)设出公切线与曲线y=/(x)相切的切点坐标，求出切线方程，与方程y=g(x)联立,

借助判别式建立关系，转化为方程有两个解求解.

【详解】(1)当。=2时，设7z(x)=/(x)-g(x)=lnx+l-2尤2,显然x>0,

求导得〃(尤)===由〃(X)=0,得尤=!，

xxx2

当xe(0,；)时，/z'(X)>0,//(X)单调递增；当xe(；,+oo)时，//(无)<O,/?(X)单调递减，

所以/z(x)在x=[取得极大值//(1)=In[+!=(-In2,无极小值.

22222

1,1

(2)设曲线>=/(元)上切点4%,%),尸(元)=—,x>0,则切线斜率为左=一,方程为

xxo

1,

y-y0=—Cx-x0),

X。

1,1

依题意，切线y=-x+ln/与曲线y=QX相切，于是方程“X2=—x+ln%0有两个相等的正

%^

实根，

而〃〉0,则A=J+4〃lnXo=°,>Inx0<0,即有一」-二焉山与，

玉)4。

由公切线有两条，得关于X。的方程:=*lnx0有两个不同的实数解，

令e(x)=尤?Inx,则y=-j与y=x2]nx的图象有两个交点，

4a

由求导得°'(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),由火力=0,得x=j,

当xe(0,；)时，d(x)<0@(元)单调递减；当xe(；,+8)时，”(尤)>0,0(x)单调递增,

Veve

因此。(x)*=9(3)=-工，9⑴=。，函数y=0(x)的图象如图，

答案第15页，共19页

11p1

观察图象知，当-/<-;<0,即。时，直线>与函数y=/lnx的图象有两个

2e4a24a

交点，

所以。的取值范围是a>；.

2

21.⑴巴《，匕=当［（一:尸5=1,2,3,,12）；

165204

(2)11天.

【分析】（1）利用互斥事件和相互独立事件的概率公式列式计算，结合构造法求数列通项求

解.

（2）利用（1）的结论，解不等式匕<1-匕即可.

【详解】a）甲第二天走凉水井步道上山的概率为尸?，依题意，E=：X!+!X（I_：］=［；

-444I2J16

由题意得匕=以「；+（1-隼）：=一5匕7+；（〃=2,3,,12）,

2122327

整理得==—*0,

J什JJ।JZ-XJ

因此数列｛匕-才2是以《7为首项，以-：1为公比的等比数列，

所以匕=|+焉•（一；尸（"=1,2,3,,12）.

（2）由题意知，选择走凉水井步道上山的概率小于走清水溪步道上山概率只需匕<1-匕，

177111?

即月<不（〃=1，2,,12）,有+.（一尸<BP

当”为偶数，恒成立；

177

当“为奇数时，即当"=1,3,5,…,11时，有（/"7<亍即可，而当”=1时，1>|,显然不成立；

当”=3时，（；）2=3<m，即当〃=3时成立，又数列｛（：）"'单调递减，因此当"=5,7,9,11

答案第16页，共19页

时成立，

因此有11天符合要求，

所以甲在这12天中选择走凉水井步道上山的概率小于选择清水溪步道上山概率的天数是

11天.

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成互斥事

件的和，相互独立事件的积是解题的关键.

22.(1)—+/=1；

4

(2)存在，最大值为处8.

49

【分析】(1)根据给定条件，求出。力，求出椭圆E的方程.

(2)由(1)求出招,月，设出直线尸A尸3的方程，分别与椭圆E的方程联立，利用韦达定

理及三角形面积公式，将R钻的面积表示为为的函数，再探讨函数最大值即得.

【详解】(1)由1尸£1+1产81=4,得2a=4,解得。=2,由离心率e=#,得/夕

角军得b=L

所以E的方程为上+丁=1.