第05讲整式方程分式方程（十大题型）（原卷版）

第05讲整式方程分式方程（十大题型）1、知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式.2、经历从具体问题中的数量相等关系引进含字母系数的方程的过程,理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.3、理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；4、了解分式方程的概念；5、经历探索可化为一元二次方程的分式方程求解方法的过程，知道求解分式方程的一般步骤，领会化归思想.6、掌握“去分母”法解分式方程，知道可能产生增根，掌握验根的方法.知识点一、一元整式方程1.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程.3.一元高次方程概念：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。要点：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.知识点二、二项方程1.概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点：注：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2.一般形式：3.二项方程的基本方法:是（开方）4.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.知识点三、双二次方程1.概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点：当常数项不是0时，规定它的次数为0.2.一般形式：3.解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代4.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。要点：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。知识点四、分式方程分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.知识点五、求解可化为一元二次方程的分式方程的步骤.可以用下面的图表示：分式方程去分母分式方程去分母解整式方程检验增根舍去是原方程的根写出分式方程的根知识点六、分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.知识点七、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.题型1：整式方程的有关概念【典例1】．下列方程是一元高次方程的是（）A．x+3＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0 C．x3+2x+＝0 D．x4+1＝0【典例2】．下面四个方程中是整式方程的是（）．A． B． C． D．题型2：二项方程【典例3】．下列方程中，是二项方程的是（

）A．； B．； C．； D．【典例4】．下列方程中，是二项方程的为（

）A． B． C． D．【典例5】．下列方程中，是二项方程的是（

）A．； B．；C．； D．．【典例6】．在下列关于的方程中，不是二项方程的是()A． B． C． D．题型3：整式方程的解【典例7】．方程的解是．（保留三位小数）．【典例8】．方程的根是．【典例9】．方程x3﹣x＝0在实数范围内的解是题型4：分式方程的概念【典例10】．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【典例11】．已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1题型5：分式方程的解【典例12】．解方程：（m为常数）【典例13】．解方程：【典例14】．解方程组：【典例15】．解下列分式方程.(1).(2).题型6：将分式方程化为整式方程【典例16】．解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（

）A． B． C． D．【典例17】．用换元法解分式方程，如果设，那么原方程化为关于的整式方程是（

）A． B．C． D．【典例18】．用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为．【典例19】．用换元法解方程时，设则原方程可变形为（

）A． B． C． D．【典例20】．用换元法解方程时，下列换元方法中最合适的换元方法是（

）A．设 B．设 C． D．题型7：增根问题【典例21】．已知关于x的方程有增根，那么．【典例22】．当时，解关于的方程会产生增根．题型8：无解问题【典例23】．若关于x的分式方程无解，则k的值为（

）A． B．－1 C．1 D．【典例24】．若关于的分式方程无解，则的值为．题型9：根据分式方程的解求参数范围【典例25】．如果关于x的分式方程的解为正数，那么a的取值范围是．【典例26】．若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为．题型10：分式方程与一元一次不等式组【典例27】．关于的分式方程的解是非负数，且使得关于的不等式组．有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和是．【典例28】．若关于x的不等式组至少有4个整数解，关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和为．一、单选题1．下列方程中，是关于的一元三次方程的是（）A． B．C． D．（为非零常数）2．下列方程中，二项方程是（

）A． B．C． D．3．下列方程是二项方程的是（

）A．B．C．D．4．下列方程中：（1）；（2）；（3）；（4）；是二项方程的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．45．如果关于的方程无解，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．任意实数6．关于分式方程的解，下列说法正确的是（）A．解是x＝2 B．解是x＝4 C．解是x＝﹣4 D．无解7．用换元法解分式方程+1＝0时，如果设＝y，那么原方程可以变形为整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝08．若关于x的分式方程=的根为正数，则k的取值范围是()A．k<且k≠1 B．k≠1 C．<k<1 D．k<9．若关于的分式方程有增根，则的值是(

)A． B． C． D．10．若关于x的不等式组所有整数解的和为2，且关于y的分式方程＝1的解是正数，则符合条件的所有整数k的和是（）A．10 B．13 C．15 D．17二、填空题11．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是．12．有一个解为，那么这个方程的另一个解为．13．已知关于x的方程是二项方程，则m=．14．方程的解是．15．方程的解是．16．若关于x的方程无实根，则m取值范围是．17．用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于y的整式方程为．18．方程的解为．三、解答题19．解关于x的方程：20．解下列关于x的方程21．解方程：．22．解方程：．23．解方程：．24．解方程组：．25．用换元法解方程组：．26．用换元法解方程：x2﹣x﹣=4．27．已知关于x的分式方程+＝．(1)若方程有增根，求k的值．(2)若方程的解为负数，求k的取值范围．28．已知：，(1)化简分式；(2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围；(3)当取什么整数时，分式的值为整数．29．已知，关于的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(