24.1圆的有关性质

★★★★☆☆24.1圆的有关性质★★★★☆☆【新手目标】知道圆的性质，会利用圆的性质处理问题。★★★★☆☆关卡11垂径定理★★★★☆☆【过关笔记】一、学定理之前1．圆的定义的两种描述：（1）线段OA绕着它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆。记作⊙O，读作圆O。点O叫做圆心，线段OA叫做半径。确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.弦和直径：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。3.弧：（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB。（2）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如。小于半圆的弧叫做劣弧，如。（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。4.同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。（图一）（图二）（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O1与⊙O2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。二、垂径定理和推论1.定理：垂直于弦的直径这条弦，并且平分弦所对的．如图：2.推论：平分弦（非直径）的直径，于弦，并且平分弦所对的两条弧．如图：3.反例：【成长例题】例题1如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A.AE=OE B.CE=DE C.OE=CE D.∠AOC=60°例题2下列判断中正确的是（）A．平分弦的直线垂直于弦B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦例题31如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为，BP=，BC=，AC=。例题32（2019·育才·第三次月考）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．2 B．4cm C． D．例题33（2020·老边实验·期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为（）例题4（2019·育才·期中）如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为m．例题51已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为 例题52在半径为10的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长16，另一条弦长为12，则这两条弦之间的距离为．【过关练习】练习1如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DMB．CB＝DBC．∠ACD=∠ADCD．OM=BM练习21如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，EB＝1，则CD的长为．练习22⊙O的直径CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC=3:5，则AB的长为（）A.8 B.12 C.16 D.291练习23（2020·一中·月考）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为（）A．2 B．4 C．8 D．10练习31一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD=．练习32如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径为______．练习4在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离．★★★★☆☆关卡12圆心角与圆周角定理★★★★☆☆【过关笔记】一、圆心角定理1.圆心角（1）圆心角：顶点在的角叫圆心角．2.弧、弦、圆心角之间的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的也相等。如图，在☉O中，若∠AOB=∠COD，则二、圆周角定理及推论1.圆周角：顶点在，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。如图：3.推论（1）同弧或等弧所对的圆周角； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦为。三、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角。如图：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°【成长例题】例题11（2019·一中·月考）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD例题12（2020·育才·期中）如图，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC例题21（2019·育才·第三次月考）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．21图22图例题22（2020·一中·月考）如图，点P（1，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO＝45°，则点B的坐标是．例题23（2019·雁南·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB＝°．23图24图例题24（2019·雁南·期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝．例题31（2020·一中·月考）如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（）31图32图A．50° B．45° C．140° D．130°例题32（2019·一中·月考）（2016•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）A．45° B．50° C．60° D．75例题33（2019·育才·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF，若∠EDC＝135°，CF＝2，则AE2+BE2的值为（）A．8 B．12 C．16 D．20例题34（2019·雁南·期中）圆的弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角是例题4（19•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．【过关练习】练习1如图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为．练习21一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为度。练习22（2018·铁岭）在半径为3的⊙O中，弦AB的长是33，则弦AB所对的圆周角的度数是。练习31（2020·一中·期中）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（）31图32图33图A．99° B．108° C．110° D．117°练习32（2021·十七中·期中）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分，则DC的长为（）A．2 B． C．2 D．练习33（2020·一中·期中）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为（）A．57° B．52° C．38° D．26°练习34（2020·七中·期中）如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70° B．55° C．45° D．35°34图35图36图练习35（2020·七中·期中）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠A＝55°，则∠CBD等于（）A．50° B．65° C．70° D．55°练习36（2019·雁南·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝100°，则∠DCE的度数为．24.1圆的性质作业1（2019·营口·期末）将一个半径为5的半圆O，如图折叠，使弧AF经过点O，则折痕AF的长度为（）1图2图A．5 B．52 C．53 D．103作业2如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E．若圆心A的坐标为（﹣4，6），点B的坐标为（﹣12，0），则DE的长度为（）A．2 B．4 C．8 D．16作业3（2021·十七中·期中）已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（）A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC作业4（2020·十七中·期中）下列语句中正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴作业5（2020·期末统考）如图，点A，B，C为⊙O上三点，∠OAB＝40°，则∠ACB的度数等于（）5图6图A．100° B．80° C．50° D．40°作业6（2019·育才·期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70° B．55° C．35.5° D．35°作业7（2019·雁南·期中）⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AM B．AB＝2AM C．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定7图9图10图作业8（2020·老边实验·期中）圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数的比为2：3：6，∠D的度数为（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°作业9（19•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20° B．70° C．30° D．90°作业10如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点（不与A、B重合），下列不符合条件的OP的值是（）A．4 B．3 C．3.5 D．2.5作业11（2020·七中·期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+11图12图13图作业12一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是作业13（2019·营口·期末）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．作业14（2020·十七中·期中）已知⊙O半径是1，弦AB，AC的长分别为1和，则∠BAC＝．作业15（2020·一中·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．15图16图作业16王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为m．作业17如图所示，AB为圆O