考点09一元一次不等式（组）的应用

考点二一元一次不等式（组）的应用知识点整合一、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．考向一一元一次不等式（组）的应用典例引领1．某校七年级有三个班组织数学竞赛、英语竞赛和作文竞赛，各项竞赛均取前三名（每项竞赛的每一名次都只有一人），第一名可得5分，第二名可得3分，第三名可得1分．已知七（1）班和七（2）班总分相等，并列第一名，且七（2）班进入前三名的人数是七（1）班的两倍，那么七（3）班的总分是分．【答案】7【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键，设七（2）班进入前三名有x人，根据题意可列不等式组并解得，由（1）班、（2）班分数相等，并且比（3）班分数高，可知（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，故，再分和两种情况分别分析推理即可得到答案．【详解】解：设七（2）班进入前三名有x人，则七（1）班进入前三名有人，七（3）班进入前三名有人，由题意得，解得，因为三个竞赛项目的总分是（5+3+1）×3=27（分），（1）班、（2）班分数一样，并且比（3）班分数高，所以（1）班、（2）班的得分都高于平均分9分，，即（1）班最少有2个人进入前三名，则（2）班最少有4人进入前三名，当时，（1）班有3人进入前三名，那么（2）班就有6人进入前三名，（3）班就没人进入前三名，则27分由（1）班、（2）班平分，但27不能被2整除，不合题意，舍去；当时，（1）班、（2）班进入前三名的人数分别为2人、4人．因为他们的得分必须大于9分，所以（1）班得分是（分），（2）班也是得10分，所以（3）班得7分；综上所述，七（3）班的总分是7分．故答案为7．2．圆圆去商店购买A，B两种书签，共用了10元钱，A种书签每枚1元，B种书签每枚2元．若每种书签至少买一枚，且A种书签的数量比B种书签的数量多，则A种书签至少购买枚．【答案】4【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键．设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．【详解】解：设圆圆购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，解得，，∵x为整数，也为整数，∴或6或8，∴A种书签至少购买4枚．故答案为：4．二、解答题3．为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？【答案】(1)购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元(2)三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用；（1）等量关系式：购买A型公交车1辆的费用购买B型公交车2辆的费用400万元，购买A型公交车2辆的费用B型公交车1辆的费用共需350万元；据此列出方程组，即可求解；（2）不等关系式：购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用1200万元，A型公交车的载客量B型公交车的载客量680万人次；据此列出不等式组，即可求解；找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．【详解】（1）解：设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，

由题意得，

解得，

答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）解：设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，

由题意得，

解得：，

因为a是整数，所以取、、；

则取、、．

三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．4．某学校组织340名师生进行长途考察活动，参加活动的每位老师均携带了一件行李，参加活动的所有学生中有的学生携带了行李（携带行李的学生每人携带一件），老师学生共带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车共10辆，经了解，甲种车每辆最多能载40人和16件行李，乙种车每辆最多能载30人和20件行李．(1)请问参加活动的老师和学生各有多少人？(2)请你帮助学校列出所有可行的租车方案．【答案】(1)参加活动的老师136人，学生204人；(2)有四种租车方案：方案一：甲车4辆，乙车6辆；方案二：甲车5辆，乙车5辆；方案三：甲车6辆，乙车4辆；方案四：甲车7辆，乙车3辆．【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，根据题意的两个不等关系得出不等式组．（1）设参加活动的老师人，学生人，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设租用甲车辆，则乙车辆，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．【详解】（1）解：设参加活动的老师人，学生人，由题意得解得答：参加活动的老师136人，学生204人．（2）解：设租用甲车辆，则乙车辆，解得所以有四种租车方案：方案一：甲车4辆，乙车6辆；方案二：甲车5辆，乙车5辆；方案三：甲车6辆，乙车4辆；方案四：甲车7辆，乙车3辆．5．第一届茶博会在海丝公园举行，全国各地客商齐聚于此，此届茶博会主题“精彩闽茶•全球共享”．一采购商看中了铁观音和大红袍这两种优质茶叶，并得到如表信息：铁观音大红袍总价/元质变/Akg251800311270(1)求每千克铁观音和大红袍的进价；(2)若铁观音和大红袍这两种茶叶的销售单价分别为450元/kg、260元/kg，该采购商准备购进这两种茶叶共30kg，进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元，该采购商共有几种进货方案？（均购进整千克数）（利润＝售价﹣进价）【答案】(1)每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元；(2)该采购商共有2种进货方案．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用：（1）设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合表格中的数据，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，根据“进价总支出不超过1万元，全部售完后，总利润不低于2660元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出该采购商共有2种进货方案．【详解】（1）解：设每千克铁观音的进价是x元，每千克大红袍的进价是y元，根据题意得：，解得：，答：每千克铁观音的进价是350元，每千克大红袍的进价是220元；（2）设购进m千克铁观音，则购进千克大红袍，根据题意得：，解得：，又∵m为正整数，∴m可以为25，26，∴该采购商共有2种进货方案．6．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．(1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；(2)计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？【答案】(1)每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗(2)方案一：A型车6辆，B型车6辆，所需费用最少，最少费用是48000元【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，利用“2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．”建立方程组解答即可；（2）设A型车a辆，则B型车辆，利用“运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元”建立不等式组求解即可．【详解】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由题意可得，，解得，答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；（2）设A型车a辆，则B型车辆，由题意可得，，解得，∵a为正整数，∴，7，8，∴共有三种运输方案，方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，∴A型车辆数越少，费用越低，∴方案一所需费用最少，此时的费用为（元），答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．7．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元．(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？【答案】(1)篮球和足球的单价分别是120元，90元(2)有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可；（2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可．【详解】（1）解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元，由题意得，，解得，答：篮球和足球的单价分别是120元，90元；（2）解：设购买篮球m个，则购买足球个，由题意得，，解得，∵m为正整数，∴m的值可以为30或31或32，∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个．8．探究奖项设置和奖品采购的方案．素材1：如图，某学校举办“中国传统文化”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价高9元，10盒水笔和10本笔记本的总价为210元．素材2：为提高今后参赛积极性，学校将原定的获奖级别及人数进行调整，如表：获奖级别一等奖二等奖三等奖调整前人数（单位：个）51530调整后人数（单位：个）m20n调整前后获奖总人数不变．调整前一、二、三等奖的平均分数分别为94分、80分、71分，调整后一、二、三等奖的平均分数分别为90分、75分、70分．素材3：调整后开始采购，学校有活动经费690元和30张“吉祥超市”的兑换券，一张兑换券兑换3盒水笔或者7本笔记本（一张兑换券只能兑换一种商品）．【任务1】分别求一盒水笔和一本笔记本的单价．【任务2】求m，n的值．【任务3】学校计划将活动经费用完，所需奖品全部在“吉祥超市”采购，请你设计一个最佳采购方案．【答案】任务1：一盒水笔20元，一本笔记本10元；任务2：或；任务3：两种情形均选择去A超市购买比较合算，理由见解析【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，解题的关键是理解题意；（1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，然后根据题意可列方程，进而求解即可；（2）由题意易得，然后进行分类讨论即可求解；（3）由（2）及题意可分类求出所需费用，然后问题可求解【详解】解：（1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，根据题意得，解得，答：一盒水笔20元，一本笔记本10元．（2）根据题意，得，解得．∵m是整数，∴或7，∴共有两种可能，分别是或；（3）①当，时，需采购水笔82盒，笔记本32本．A超市：买水笔82盒，需支付1640元，送20本笔记本，再买12本笔记本，需支付120元，共支付1760元；B超市：（元）∵，∴选择去A超市购买比较合算．②当，时，需采购水笔84盒，笔记本34本．A超市：买水笔84盒，需支付1680元，送21本笔记本，再买13本笔记本，需支付130元，共支付1810元；B超市：（元）∵，∴选择去A超市购买比较合算，∴两种情形均选择去A超市购买比较合算．变式拓展9．某中学为了绿化校园，计划购买一批法桐和垂柳，经市场调查法桐的单价比垂柳少20元，购买3棵法桐和2棵垂柳共需340元．(1)请问法桐和垂柳的单价各多少?(2)根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840充，且购买法桐的棵数不大于60，请你算算，该校本次购买法桐和垂柳共有哪几种方案．【答案】(1)法桐和垂柳的单价分别是60元/棵，80元/棵(2)购买法桐58棵，垂柳92棵；购买法桐59棵，垂柳91棵；购买法桐60棵，垂柳90棵【分析】本题考查一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．（1）设法桐的单价为x元/棵，垂柳的单价是y元/棵，然后根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买法桐a棵，则垂柳为棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出a的取值范围，在根据a是正整数确定出购买方案．【详解】（1）解：设法桐的单价为x元/棵，垂柳的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：法桐和垂柳的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）解：设购买法桐a棵，则垂柳为棵，根据题意得，，解得：，∵a只能取正整数，∴，因此有3种购买方案：方案一：购买法桐58棵，垂柳92棵，方案二：购买法桐59棵，垂柳91棵，方案三：购买法桐60棵，垂柳90棵．10．服装店老板购进A，B两种品牌的服装，若购进5套A品牌服装和4套B品牌服装共需元，若购进6套A品牌服装和2套B品牌服装共需元，(1)A，B两种品牌的服装每套的进价分别是多少元？(2)若A品牌服装每套售价为元，B品牌服装每套售价为元，老板决定购进A品牌服装的数量为B品牌服装数量的还多4套，两种服装全部售出后，要使总利润不少于元，则最少购进B品牌服装多少套？【答案】(1)A品牌服装每套进价为元，B品牌服装每套进价为元(2)至少购进B品牌服装件【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．根据依题正确的列等式、不等式是解题的关键．（1）设A、B两种品牌服装每套进价分别为x元，y元，依题意得，，计算求解即可；（2）设购进B品牌服装a件，则A品牌服装件，依题意得，，计算求解，然后作答即可．【详解】（1）解：设A、B两种品牌服装每套进价分别为x元，y元，依题意得，，解得，答：A品牌服装每套进价为元，B品牌服装每套进价为元．（2）解：设购进B品牌服装a件，则A品牌服装件，依题意得，，解得：答：至少购进B品牌服装件．11．某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．(1)求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？(2)商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？【答案】(1)A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件；(2)该商家共有3种采购方案，方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件；方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件；方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件．【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．（1）设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件，根据题意列出一元一次不等式组求解即可．【详解】（1）设A种品牌运动装的采购单价为x元每件，B种品牌运动装的采购单价为y元每件．根据题意，得解得答：A种品牌运动装的采购单价为200元每件，B种品牌运动装的采购单价为220元每件．（2）设A种品牌运动装采购m件，则B种品牌运动装采购件．根据题意，得解得又∵m为整数，．∴该商家共有3种采购方案，方案1：A种品牌运动装采购18件，B种品牌运动装采购46件；方案2：A种品牌运动装采购19件，B种品牌运动装采购48件；方案3：A种品牌运动装采购20件，B种品牌运动装采购50件．12．为了庆祝国庆，学校准备举办“我和我的祖国”演讲比赛．学校计划为比赛购买A、B两种奖品．已知购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元．(1)求A，B两种奖品的单价．(2)学校准备购买A，B两种奖品共60个，且B种奖品的数量多于A种奖品数量的，购买预算不超过1285元，请问学校有哪几种购买方案．【答案】(1)A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元(2)见解析【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，掌握确定正确的相等关系与不等关系是解题的关键．（1）设A种奖品的单价x元，B种奖品的单价y元，由题意：购买1个A种奖品和4个B种奖品共需120元；购买5个A种奖品和6个B种奖品共需250元，列出方程组，解方程组即可；（2）设购买A种奖品m个，B种奖品个，由题意：B奖品的数量多于A奖品数量的，购买预算不超过1285元，列出不等式组，求出正整数解即可．【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，由题意得：，解得：，答：A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为25元；（2）解：设购买A种奖品m个，则购买B种奖品个，由题意得：，解得：，∵m为整数，∴m可取43或44，∴或16，∴学校有两种购买方案：方案一：购买A种奖品43个，购买B种奖品17个；方案二：购买A种奖品44个，购买B种奖品16个；13．在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．(1)求每台电脑、每台电子白板各多少万元？(2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，该校有几种购买方案？(3)上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？【答案】(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元(2)共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．(3)选择方案三最省钱，即购买电脑17台．需要28万元【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用．（1）设电脑、电子白板的价格分别为x、y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可；（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答；（3）根据（2）的结果，通过计算即可求解．【详解】（1）解：设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：，解得：．答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元；（2）解：设需购进电脑a台，则购进电子白板（30a）台，则，解得：，即，16，17．故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台；方案二：购进电脑16台，电子白板14台；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．（3）解：方案一：总费用为万元；方案二：总费用为万元；方案三：总费用为万元．∴方案三费用最低．14．大华橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：进价（元/台）售价（元/台）电饭煲200250电压锅160200(1)一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？(2)为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；(3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？【答案】(1)厨具店在该买卖中赚了元(2)共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台；②购买电饭煲台，购买电压锅台；③购买电饭煲台，购买电压锅台；(3)购买电饭煲台，购买电压锅台时，该厨具店赚钱最多【分析】本题考查二元一次方程组，不等式的应用，找准等量关系，列式计算是解题的关键．（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据图表中的数据列出关于x、y的方程组并解答即可，橱具店在该买卖中赚了钱数；（2）先设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，根据题意列出不等式组，再解不等式组即可；（3）结合（2）中的数据进行计算，即可得到进货方案橱具店赚钱最多．【详解】（1）设该厨具店购进电饭煲台，则购进电压锅台，由题意，得解得：则(元)即厨具店在该买卖中赚了元；（2）设购买电饭煲台，则购买电压锅台，由题意得，解得：，∵是正整数，∴或或，当时，当时，当时，故共有三种进货方案：①购买电饭煲台，购买电压锅台；②购买电饭煲台，购买电压锅台；③购买电饭煲台，购买电压锅台；（3）①当购买电饭煲台，购买电压锅台台时，(元)；②当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元)③当购买电饭煲台，购买电压锅台时，(元)，∴当购买电饭煲台，购买电压锅台时，