2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第21讲 指数函数对数函数压轴题 （解析版）

第21讲指数函数对数函数压轴题精选

一、单选题

Q

1.（2021•河南•内黄县第一中学高二开学考试（文））已知两条直线《：＞=机和，2：y=T~~7（加＞。），

2∕π+l

4与函数y=∣l0g2X的图像从左至右相交于点A,8,4与函数y=∣bg2X的图像从左至右相交于C,

D.记线段Ae和8。在X轴上的投影长度分别为a,b,当机变化时，2的最小值为（）

a

A.16√2B.8√2C.8√4D.4√4

【答案】B

【分析】作出函数图像，结合图像计算48,C,。四点的横坐标，然后求出线段AC和8。在X轴上的

bh

投影长度4，b,代入士，表达士关于m的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值.

aa

【详解】作出函数y=Mg2M图像如图，如图所示，

贝IJOVx<1<X2,0<X3<1<X4,

88

此时有Tog2玉="，Iogx=m,-logΛ⅛=-——-,ɪogɔX=7——7

22o2m+142"z+l

8

=w+1,42w+,,

解得百=(T),%=2刑,x3^yɪ=2

线段ΛC和BD在无轴上的投影长度分别为，

8

α=k∣-WI=S一出，⅛=∣⅞-⅞∣=2"'-22m+,,

4

=m+------ɪ-

则

m∙∖-

2

当且仅当,+9=4,即〃，=|时，取得最小值?此时，最小值为8万

故选：B.

【点睛】（1）求最值几个常见的两个方向：一是解不等式求范围产生最值；二是利用函数求最值，

其中利用函数求最值是首选；

（2）函数求最值又常见两种类型：一是给出函数表达式求最值，二是没有表达式求最值，此类问题

需首选要寻找合适的变量，表达函数关系式；

(3)求函数最值常用的方法有利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.如果是分段函数,

应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值.

(4)本题属于没有函数表达式求最值，取自变量为"?，分别表达线段AC和8。在X轴上的投影长

hh

度。，匕，代入2,得到关于2=/(⑼的函数关系式，通过基本不等式求出最小值，属于难题.

aa

2.(2022•全国•高一专题练习)已知函数”彳)=1。82(4'+1)+如是偶函数，函数

g(x)=22*+2-2"+"2∙2/⑶的最小值为-3,则实数小的值为()

54

A.3B.—C.—2D.—

23

[答案]B

折】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨

论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.

【详解】因为函数"x)=log2(4'+l)+ar是偶函数，所以“r)=∕(x),即

jcX-JC

Iog2(4^+l)-ax=Iog2(4'+l)+or,所以2ax+Iog2(4+1)-Iog2(4+1)=0,

/∖/∖4'+1(4'+l)∙4t(4,+l)∙4x

t42x

其中Iog2(4*+1)-Iog2(4-+l)=Iog2Eɪ=Iog2('，+小中=':+ι=陛？'='所以

2奴+2x=0,解得α=T,所以/(x)=log2(4'+l)-x,所以2小)=2‘°8内”卜=娱=2'+2-',故

函数g(x)=22，+2-2，+w(2<+2T)的最小值为-3.令2*+2-*=f,则/N2,故函数

g(x)=22t+23+%(2"+2-')的最小值为-3等价于h(t)=t2+mt-2(t≥2)的最小值为-3,等价于

ITl

--≤2?

2解得机=-∣.故A,C,D错误.

Λ(2)=2w+2=-3

故选：B.

3.(2023•全国•高三专题练习)关于函数/(x)=InlXI+ln∣x-2|有下述四个结论：

①/(X)的图象关于直线X=I对称②/(X)在区间(2,+8)单调递减

③/(x)的极大值为O④/(x)有3个零点

其中所有正确结论的编号为()

A.①③B.①④C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根据给定函数，计算f(2—x)判断①；探讨F*)在(2,内)上单调性判断②：探讨了CO在(0,1)

和(1,2)上单调性判断③：求出F(X)的零点判断④作答.

【详解】函数/(x)=InIXl+ln∣x-2∣的定义域为(-∞,0)50,2)52,+∞),

时于①，-V∈(-∞,0)o(0,2)o(2,+∞),则2-xe(-∞,0)u(0,2)u(2,+∞),

/(2-x)=ln∣2-x∣+ln∣x∣=∕(x),f(χ)的图象关于直线x=l对称，①正确；

对于②，当x>2时，/(x)=lnx+ln(x-2),/3在(2,+8)单调递增，②不正确；

对于③，当x<0时，/(x)=ln(-x)+ln(2-x),/(x)在(-∞,0)单调递减，

当0<x<2时，/(x)=Inx+ln(2-x)=In[-(x-l)2+1],/⑴在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减,

乂/(x)在(2,+∞)单调递增，因此/S)在x=l处取极大值f(1)=0,③正确；

对于④，由/(x)=0得：I/-2χ∣=ι,即χ2-2χ-l=0或f-2x+l=0,解得x=l±√∑或X=I,

于是得/O)有3个零点，④正确，

所以所有正确结论的编号为①③④.

故选：D

【点睛】结论点睛：函数V=/(x)的定义域为O,Vx∈E>,存在常数。使得

/U)=/(2α-X)O/(α+X)=f(a-x),则函数y=f(x)图象关于直线x=。对称.

4.(2022.湖北.二模)己知函数f(x)=lg(∣>T)+2'+2τ,则使不等式F(X+D<f(2x)成立的X的取

值范围是()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-2,-1)

C.18,-g)(l,+∞)D.(v,-2)(l,+∞)

【答案】D

【分析】判断/S)的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解

【详解】由IXIT>O得/(χ)定义域为(7,—1)u(1,+∞),

f(-x)=lg(∣x∣-l)+2^x+2x=f(x),故/(χ)为偶函数,

而y=lg(∣X|-1),y=2'+/在。,”)上单调递增，

故/U)在(l,+∞)上单调递增，

[x+l∣<∣2x∣

JX2+2尤+1<4/2

则/(x+l)<f(2x)可化为｛∣X+1∣>1,得《

∣2x∣>ιU+1>1^÷1<-1

解得x>l或¥<-2

故选：D

5.(2022•吉林・梅河口市第五中学高一期末)已知函数/(x)=χ2-2x+ln∣x-1|,若实数α满足

/(«-1)>/(2«-1),则实数”的取值范围是()

A.(θ,g)B.(-∞,0)

C.(l,g)D.(θ,l)uɑ,ʒj

【答案】D

【分析】由题可得函数Ax)=%?-2x+ln∣x-1|关于χ=l对称，且在(1,一)上单调递增，在(e,l)」:

'∣0-l-l∣>∣2α-l-l∣

单调递减，进而可得,“Twl，即得.

2a-l≠l

【详解】；函数/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣,定义域为xe(-∞,l)∣(1,物)，

X/(2-x)=(2-x)^-2(2-x)+ln∣2-x-l∣=x2-2x+ln∣x-l∣=/(x).

所以函数/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣关于X=I对称，

当x∈(l,+∞)时，y=X2-2x,y=ln∣x-l∣单调递增，故函数/(x)=x2-2x+ln∣x-l∣单调递增,

.∙.函数〃x)=d-2x+ln∣xT∣在(1,X)上单调递增，在(—,I)上单调递减，

'∣α-l-l∣>∣2α-l-l∣

由—)>∕(24T)可得，a-l≠l,

2α-l≠l

4

解得ftα≠l.

故选：D.

6.(2022•江西抚州•高一期末)函数/(x)的定义域为。，若满足：(1)在。内是单调函数：(2)

存在ɪ,ɪ⊂D,使得f(x)在y,∣上的值域为[加,〃],那么就称函数“X)为“梦想函数”.若函数

/(_¥)=108”("+。(6(>0,4Η1)是“梦想函数”，贝〃的取值范围是()

A.(-√2,θ)B.(-1,0)

c∙卜别d∙卜[θ)

【答案】D

【分析】由题意可判断函数/(x)为单调递增函数，构造函数/(x)=log,,("+f)=2x,可以求出使

得〃X)=log,,(at+r)=2x有两解的f的取值范围.

【详解】因为〃x)=log“S+f)(">0,a≠l)是单调函数

若O<α<l,则g(x)=a*+f是减函数，所以/(x)=log<,S+。为增函数；

若α>ι,则g(χ)="+r是增函数，所以/(χ)=Iog"("+，)为增函数；

22

由于f(5)=log"a+J=∕w=y×2,/(])=1Og(Ja+t=n=→2

所以/(X)=ɪog,,(α'+t)=2x

所以/=户_优=优(优一I)=R-£)-ɪ

又因为"∈(0,+8),所以满足/(x)=k>g<α*+r)=2x有两解的f的取值范围为1;,0).

故选：D

7.(2022.浙江・嘉兴一中高二期中)设函数=In(急+"Q,bwR,且a>0),则函数”x)

的奇偶性()

A.与“无关，且与h无关B.与“有关，且与〃有关

C.与“有关，且与b无关D.与“无关，且与6有关

【答案】D

【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，及奇偶性定义判断参数满足的条件.

【详解】由函数/(x)=In(2+3=lnj2α+"-fcγ),

∖a-xJVa~xJ

令2a+"b⅛Λ>0,即[6χ-(2α+4b)](χ-α)>0,

方程[版-(2"+αb)](x-α)=0的一个根为x=“，要保证函数定义域关于原点对称，

需另一个根为x=-%^b(-a)-(2a+ab)=0,解得b=T

.∙.[-x-w](x-a)>0,即函数的定义域为(-α,α)

当b=—1时，〃x)=In(空B=In[m]=_1«岩)=_〃_,，f(x)为奇函数;

当bw-l时，函数为非奇非偶函数

所以函数f(x)的奇偶性与。无关，但与b有关

故选：D

8.(2022•宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试)已知/(x)=∙1，"一∣"+5x≤%>0,。刊是

[logflx,x>∖

减函数，则”的取值范围是()

4(噎4*7B-(K)c∙[?0d-[¼)

【答案】D

【分析】利用分段函数在R上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.

【详解】因函数/(x)=[*'T)x^7"'X3(a>0,4Rl)是定义在R上的减函数，

5a-↑<0

∣,解得

则有,0<α<1≤α<L

75

（5。-1）+2。≥Iogu1

所以”的取值范围是ɪ,ɪ).

故选：D

2Λ+1

9.(2021•福建三明•高一期中)若函数/(χ)=K±i是奇函数，则使0</(尤)<3成立的X的取值范围

2x-a

是()

A.(―∞,-1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(l,+∞)

【答案】D

【分析】由/(%)为奇函数，根据奇函数的定义可求m代入即可求解不等式.

【详解】•・・〃力=『>是奇函数，.../(—幻=一/(工)，即—匕=二^,

ʧ∖/ɔ.tɔ_ACX

1+2*1+2v1x÷1

整理可得」=匕二,.∙.l-a∙2v=a-2v,∖Q=1,.∙./(X)=V二

1-Λ∙2Va-2x2x-l

v

2-l>0r

2Λ-12-l>02Λ>1

0<∕(x)<3,.・「v

2+lC="2'+l<3(2T)n、v

2Λ+1-------<32>2'

-------<3O12T

[2x-l

,∙2>2,解可得x>l∙

所以不等式的解集为(1,÷∞)

故选：D.

10∙(2021∙云南•昆明市官渡区第一中学高二期中)己知直线/∕y=m,3)=J二(m>0),若44分

别与函数y=IlogzX的图象相交于C,AB,O(从左到右)4个不同的交点，曲线段C4,B。在X轴上

投影的长度为。力，则当log,2取得最小值时，机的值为()

a

A.ɪB.—C.-D.一

2346

【答案】C

【分析】根据题意，易得XEa=XCXo=1，再结合对数运算以及均值不等式即可求解.

【详解】设点c,A,8,£>的横坐标分别为X。，则结合函数y=∣log2X∣的图象，易得

-11xn-X∕>b

由题意得，O-XA-XC--------=-----,h=XD-XB,^L-=XBXD,

XBXDXBXDCl

..l..h.14AΠ÷111、CI1WL『w4/w+l1

01⅛Iog2-=log,xll+log,XD=m+-——-=--—+-——---≥2×----,当且仅当一；一="——-,

a4∕π÷144/H÷142444∕π+1

即加=J时，取等号.

4

因此当log,2取得最小值时，mΛ.

'a4

故选：C.

二、多选题

11.(2022•全国•高三专题练习)函数〃X)的定义域为D,若存在闭区间［a,b］=Q,使得函数〃行同

时满足①f(x)在［。回上是单调函数；②/(x)在口々上的值域为［必如(4>0),则称区间［a,勾为

/(x)的“左倍值区间下列函数存在“3倍值区间”的有()

A./(x)=InXB."x)=’(x>())

γ

C./(Λ)=√(X>0)d∙f(χ)=ττ7(o≤E)

【答案】BC

【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.

【详解】A：/(x)=InX为增函数，

/、r

若/(x)=InX存在“3倍值区间”[凡々，则[fU(a)==↑n]nab==33a>，

结合y=Inx及y=3x的图象知，方程InX=3x无解，

故/(x)=InX不存在“3倍值区间”，A错误；

B：f(x)=g(x>0)为减函数,

f(^a)=-=3b

若存在“3倍值区间”［。,耳，则有｛:，得“T，乂α>0,b>0,

/(⅛)=-=3α

所以可取4=；,b=∖,

所以f(x)=g(x>O)存在“3倍值区间”，B正确；

C:CX)=X2(x20)为增函数,

若/(x)=V(x≥0)存在“3倍值区间”则匕==；：,得

所以“X)=V(X≥0)存在“3倍值区间”,C正确;

D：当X=O时，/(x)=0:当O<χ≤l时，"”=：!，从而可得f(x)在[0,1]

上单调递增,

X

a-O

若"x)=7AT存在“3倍值区间”[a，勾且[a，6]=2/，则有T解得不符

b=0'

限)=i⅛=肪

合题意，

所以〃X)=士(04x41)不存在“3倍值区间”，D错误.

故选：BC

Iog1(l-x),-l≤x≤n

12.(2022・全国•高一专题练习)已知〃<根，函数/(X)=3的值域是[T1],则

22∣Λ^1I-3,n<x<m

下列结论正确的是()

A.当〃=O时，"?£(；,2B.当〃W0,g)时，∕w∈(π,2]

C.当〃E0,g]时，m∈[l,2]D.当〃=；时，m∈(g,2

【答案】CD

【分析[先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出>=l°gl(lτ),Λ≥-H∏γ=22÷-,l-3,XNT的

2

图象，〃=0时，由图可得m的范围，可判断A；当0,：)时先求出了=108](1一*),T≤x≤〃的

_2)2

值域，进而可判断时，/(x)=l必有解，即可得加的范围，可判断B,C；当〃=：时，先

计算"x)=log,(l-x)在1-I,』上的值域，即可得y=22TT-3,”<x≤m的范围，进而可得小的

2[_2_

范围，可判断D.

【详解】当x>l时，x-l>O,此时y=22TT-3=22τ"-3=23r-3单调递减，当-l<x<l时，X-IV0,

此时y=22ψ^ll-3=22+t^l-3=2"'-3单调递增，所以y=2。TT-3在(TI)上单调递增，在(1,转)上

单调递减，所以当x=l时，y=22TT-3取得最大值，为2°-3=1.作出y=l°gI(I-X)与y=户T-3

2

在11,用)上的图象如图所示：

时，此时

对于B,当θ,ɪj,XeI-LHI-Xe[1-〃,2],/(x)=IogKI-x)∈-1,log1(l-n),此

22

时一1≤"x)41og,(l-")<l,因为/(χ)的值域为卜1,1],则x∈(〃,同时，/(x)=l必有解，即

2

2

2-M-3=I,解得X=1,由图知me[l,2],故B不正确，C正确；

对于D,当〃=?0寸，/(x)=l°gjl(lr)在1-I,：]上单调递增，此时/(x)的最小值为

22L2J

〃-l)=k)g；2=-l,/(χ)的最大值为/(；)=IOg(I-J=I,要使〃χ)的值域为[75，由图知

机e(；，2,故D正确.

故选：CD.

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的值域，解题的关键是根据

题意作出/(x)的图象，结合图象逐个分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题

13.(2021•江苏•矿大附中高三阶段练习)函数/(x)=22-2川+2的定义域为值域为[1,2],下

列结论中一定成立的结论的序号是()

A.Λ/⊂(-∞,1]B.M⊃[-2,lJC.1∈Λ∕D.OeM

【答案】ACD

【分析】先研究值域为口，2]时函数的定义域，再研究使得值域为[1,2]得函数的最小值的自变量的取

值集合，研究函数值取1,2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.

【详解】由于∕ω=2"-2-r+l+2=(2l-D2+Ie[1,2],

.∙.(2X-1)2∈[0,1],.∙.2Λ-1∈[-1,1],.∙.2te[0,2],.∙.xe(→o,l],

即函数AX)=22'-2*"+2的定义域为(y),l]

当函数的最小值为1时，仅有X=O满足，所以OeM,故D正确；

当函数的最大值为2时，仅有x=l满足，所以IwM,故C正确：

即当M=[O,1]时，函数的值域为[L2],故Mu(f,l],故M卫不一定正确，故A正确，B错

误；

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定

义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，

属于基础题.

14.(2022.河北.大名县第一中学高二期末)已知函数/(x)=IgHX2-2x+2-x+lbg(χ)=∣^∣则

下列说法正确的是()

A.是奇函数

B.g(x)的图象关于点(1,2)对称

C.若函数尸(X)=/(x)+g(x)在xw[lτ%l+间上的最大值、最小值分别为M、N,则"+N=4

D.令尸(X)="x)+g(x),若.⑷+网-2a+l)>4,则实数。的取值范围是(-1,+8)

【答案】BCD

【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函

数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.

【详解】由题意函数/(X)=lg(√x2-2x+2—X+1)=lg(7(x-l)2+l-(x-l)j,

因为√(x-l)2+l-(x-1)>0恒成立，即函数f(x)的定义域为R，

又因为/⑼=lg(√5+l)H(),所以/(x)不是奇函数，所以A错误；

将g(x)=土型的图象向下平移两个单位得到尸廿_2=上二，

再向左平移一个单位得到MX)==W，

1_Qx一1

此时MT)=罟7=∣7g=-%(x),所以〃(χ)图象关于点(0,0)对称，

所以g(x)的图象关于(1,2)对称，所以B正确；

将函数的图象向左平移一个单位得，W(X)=Ig(√7W-x),

因为m^-x)+m^x)-Ig(JX2+1+x)+∖g^y∣x2+l-X)=IgI=0,

HPm(-x)=-m(x),所以函数∕n(x)为奇函数，

所以函数f(x)关于。,0)点对称，

所以F(X)若在l+a处取得最大值，则尸(力在I-“处取得最小值，

则F(l+α)+F(I-q)=∕(l+o)+∕(l-α)+g(l+α)+g(l-α)=0+4=4,所以C正确；

由F(α)+F(-2α+1)>4,可得/(«)+/(l-2a)+g(α)+g(l-2a)>4,

由/(x)=Ig(J(X-I)2+1-(x-l)j,

2

设m(x)=lg坟χ2+l-x)∕=√x+i-x,

可得∕=^n=-ι<°,所以Z=JT币―工为减函数，

7X+1

可得函数，"(χ)=ɪg(7?+1-X)为减函数，

所以函数"x)=lg("(x-l)2+l-(X-D)为单调递减函数,

乂由g(x)=4J=I+m三为减函数，所以F(X)为减函数，

因为尸(χ)关于点(1,2)对称，

所以P(α)+/(一加+1)>4=F(o)+F(2-a),即F(-2a+l)>F(2-a),

即-2z+l<2-α,解得α>-l,所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：

1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，

具体步骤：①将函数不等式转化为/(χ,)>/(S)的形式；

②根据函数〃力的单调性去掉对应法则转化为形如：>々”或"±<与''的常规不等式，从而得

解.

2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问

题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

15.(2022•江苏•高一期末)已知正实数居y,z满足2x=3∙v=6l则()

xyz

A.x+y=zB.xz+yz=xyC.->2->-D.xy≥4∑-0

236

【答案】BCD

,

【解析】令2'=3>'=6==f则，>1，可得：X=Iog>=Iog31,Z=IOg,/，

利用对数的换底公式计算χ+>可判断选项A,验证'+,=［是否正确可判断选项B,山于

xyz

通ɪ=罩比较21g2<31g3<61g6可判处选项C,利用基本不等式可判断选项D,进而可得正

aQlga

确选项.

v,

【详解】令2*=3∙=6：=，则f>］，可得：X=Iog2，>=Iog31,Z=Iog6，，

对于选项A：x+y=∣0g2f+bg3"兽+瞿=Igd=+=a,

ɪg2Ig3(lg2Ig3jIg2lg3Ig黑2-lg3

z=∙⅛若x+N=z则=因为忐^*心，所以x+y≠z,故选项A不正确；

Ig6Ig2∙lg3Ig6Ig2∙lg3Ig6

χ+V111ɪ

对于选项B：由％z+yz=移可得----=—,即一+—=一,

xyzxyz

因为=垣+蚂=-^(Ig2+lg3)=逆=Iog,6=1,

“戈ylog2rlog3rIgrIgrIgrlg∕Z

所以一+—=-，即xz+yz=孙，故选项B正确；

xyz

对于选项C：∙⅛i=华，因为21g2<31g3<61g6,所以有二>六>工，

aalga2Igz31g36Ig6

因为lgf>0,所以悬>黑>黑，即警>粤>留，即故选项C正确；

21g231g361g6236236

对于选项D：Λy=Iogr÷Iog/=—•—=—，

23Ig2Ig3Ig2×lg3

4z」(bg"=4层)=向("，

因为Ig2χlg3<(跳詈J=粤匚，因为Ig2*lg3所以等号不成立,

14nɑr)24Z、2

所以四怆3>词'即>宙W)'

所以Xy>4Z2,根据“或”命题的性质可知选项D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令2*=3,=6：=f则，>1，可得：X=IOgyʃ=ɪɑgɜt,

Z=Iogef,再利用对数的运算性质以及换底公式化筒每一个选项的等式，注意利用基本不等式时等

号能否成立.

16.(2020∙全国•高一单元测试)对于函数/(x)定义域中任意的Λ,,Λ2(Λ¾≠Λ2),有如下结论，当

/(x)=IgX时，上述结论中正确结论的序号是()

A./(x1+x2)=∕(x,)√(x2)B./(xl∙x2)=∕(xl)+∕(x2)

f(xi)-f(X2)Df(x∣+±](XJ+/(%)

■玉-々-ʃl2J2

【答案】BC

【解析】由对数的运算性质判断A,B,由对数函数的单调性判断C,由对数的运算结合基本不等式

判断D.

x

【详解】对于A,Q/(xl+x2)=ɪg(ɪi+⅞)≠ɪgɪ)∙lg⅞,即/(x∣+X2)≠∕(x∣>∕(2)，故A错误；

对于B,Q∕(Λ⅛∙x2)=lg(xlx2)=Igxl+Igx2=∕(xl)+∕(x2),故B正确；

对于C,Q∕(χ)=lgχ在定义域中单调递增，；.㈤>0,故C正确；

对于D,QΛ1,Λ⅛>O(Λ1≠Λ2),利用基本不等式知七旦)=lg(土产)>lg斥，又

f叫S*幽=⅛p)=lg斥,则牛/叫/⑷,故D错误；

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，

解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即里空屿=Ig斥，利用对数的运算结合基本不等

式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题.

17.(2023∙全国•高三阶段练习)关于函数y=lg(占-1)说法正确的是()

A.定义域为(-1,1)B.图象关于y轴对称

C.图象关于原点对称D.在(0,1)内单调递增

【答案】ACD

2

【分析】由六-1〉。即可求出其的定义域；利用Ar)=-/(幻可判断/W为奇函数；求利用复合

i-x

函数的单调性即可判断/(x)在(0,1)内的单调性.

【详解】因为/(X)=Ig(占-I)=Ig(三)，

所以--->0=>------<0=>-l<x<l,

I-Xx-1

所以定义域为(TJ),故A正确；

因为/D=Ig(Wj=-f(χ),

所以/(x)图象关于原点对称，故B错误，C正确;

又y=l-x>O在(0,1)上单调递减，

2

所以y=Fτ>o在(。，1)上单调递增,

X

又y=igχ在(O,+8)上单调递增，

所以y=3(占-1)在(。,1)上单调递增，故D正确.

故选：ACD.

第II卷(非选择题)

三、解答题

ɪ—∣ζjζ

18.(2022•河北武强中学高二期末)已知函数/O)=bgI—为奇函数.

iXTr

⑴求常数k的值；

⑵当x>l时，判断了3的单调性，并用定义给出证明；

(3)若函数=且g(x)在区间［3,4］上没有零点，求实数机的取值范围.

【答案】(1)&=-1；

(2)/S)单调递增，证明见解析；

159

⑶m∈(-∞,-+log-)u(-,+00).

Io23o

【分析】(1)根据奇函数及对数函数的性质求参数值：

(2)令再>%>1，结合对数函数的性质判断f(xl∖f(x2)的大小关系即可.

I-Uv-

(3)将问题转化为根=(g)-1Ogl士在区间［3,4］上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确

2X-I

定，”的范围.

(1)

1

由/(一幻=-f(x),即IogI=-logIγ=θglʌ-ɪ

2-X-I2x~'2］一"

∖+kxx—\

所以½Jl2x2-I=X2-I.贝必=±1,

-X-I~∖-kx

1—X

当A=I时，->O显然不成立，经验证：Z=T符合题意;

X-I7

所以％=-1;

(2)

Fa)单调递增,证明如下：

1+X

由(1)知：/W=Iog--若%＞无，＞1,

ɪlX—1

2xx-X+x,-1

则/(Xj-F(W)Togiɪʒ-ɪθgɪɪ^=IOgl(1+占)(々-1)=t8101

'°；X1X2÷x.-x2-l

xi

lɪl-ɪ22-2(xl-1)(1+x2)

即中2

而xlx2-xl+x2-∖＜X1X2+X1-X2-I,

xlx2÷x1-x2-1

所以，(西)-/(工2)>°，故/(X)单调递增.

(3)

由

⅛(x)=logl-ʌ4+m.令g(x)=O,

2X-I

61-log'7≡7,由(2)知：/(X)在［3,4］上递增，而y=Gj在［3,4］上递减,

所以Zn=

所以go=(：)-1叫霆在［3,4］上递减，则〃(幻6［、+1082：争.

159

又m=人(x)在区间［3,4］上无解，故m∈(-∞,—+Iog-)u(-,+∞)

16238

19.(2022•广东韶关•高一期末)双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数

是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为/(X),

双曲余弦函数为g(χ),已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为R,且“X)在R上是增函数；

②f(χ)为奇函数,g(x)为偶函数;

③/(x)+g(x)=e'(常数e是自然对数的底数，e=2.71828).

利用上述性质，解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)证明:对任意实数X,Iy(X)了-[g(x)了为定值;

(3)已知m∈R,记函数y=2κ∙g(2x)-4∕(x),xe[θ,ln2]的最小值为以机)，求夕(相).

【答案】⑴/(X)=三匚，g(x)=二二

⑵证明见解析

17wC2

-------3,m<—

⑶夕(,")=，4ɪɜ

2m----,m>—

m3

【分析】(1)利用函数奇偶性的性质可得出关于f(x)、g(x)的等式组，即可求得这两个函数的解

析式；

(2)利用指数的运算性质可证得结论成立；

-3^1「3一

(3)设f=e'-e-jr,可得出fe。弓，问题转化为求函数Mr)=侬02+2,〃，fe0,1的最小值,

对实数机的取值进行分类讨论，分析函数〃⑴在0，上的单调性，即可求得夕(时的表达式.

(1)

解：由性质③知/(χ)+g(χ)=e*,所以/(τ)+g(-x)=eτ,

由性质②知，.f(-x)=-f(x),g(τ)=g(x),所以-f(x)+g(x)=eτ,

jt

[/(x)+g(x)=ePΛ一P~xp∙v4-ɛ

解得

[-f(χ)+g(χ)=e/(χ)=jj,g(x)=V

因为函数y=e*、y=-e-"均为R上的增函数，故函数/(X)为R上的增函数，合乎题意.

(2)

证明：由(1)可得：

22i2x2x2x

[/(χ)]-⅛(<=[≤τ'e+e--2e+e^+2

44

(3)

解：函数y=2,"∙g(2x)-4∕(x)=We2'+e3)-2(e,-eτ),设ue'-e'

由性质①，/(x)=*J∙在R是增函数知，当x∈[0,ln2]时，reps],

「3-

所以原函数即y=mJ-2z+2"z,t∈O弓,

3

设〃(。二"以2—2f+2"7,t∈0,—,

当加=0时，在0,|上单调递减，此时代L=/7(|)=-3.

当"2≠0时，函数Mr)的对称轴为f=2,

当m<0时，则L<O,/()在上单调递减，此时MOmM=4⅛]=?-3,

tnZ∖Zy4

当o<∖<∣时，即机时，Mf)在jo,上单调递减，在上单调递增,

此时MOmin

132

当上二三时,即0<m≤W时,Mf)在。,|上单调递减,

m23

17mr,2

-------3,/W<—

43

综上所述，e(m)=<

2Cm---1,m>-2,

tn3

【点睛】方法点睛：”动轴定区间''型：次函数最值的方法：

(I)根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

(2)根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的

函数值进行分析；

(3)将分类讨论的结果整合得到最终结果.

t

20.(2022•山西运城•高二期末)已知函数〃%)=1嗝(4*+1)-1吗2*,⅛(x)=log4fa∙2-'-∣0j.

(D若Vx∣eR,对叫WT1],使得〃苍)+4*—加2$≥0成立，求实数机的取值范围;

(2)若函数/(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数”的取值范围.

Q

【答案】(l)m≤;

4

(2){-6}∪(2,+∞)

【分析】(1)由已知/(x)min≥m∙2--4∖利用基本不等式求