新高考数学二轮复习 模拟卷6（含解析）-人教版高三数学试题

数学模拟卷(六)

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1-2i_

1.已知i是虚数单位，复数Z=丁，则Z的共辗复数2的虚部为()

A.-iB.1C.iD.-1

1—2i—i(l—2i),,,..一।,,工、，

B[z=^^=—v.=-2-i,则z的共朝复数z=-2+i的虚部为L]

i—i-i

2.已知集合人={X£即08加<2},集合8={x£R||x—1|<2},则AG5=()

A.(0,3)B.(-1,3)C.(0,4)D.(—8,3)

A[V集合A={x£R|log2X<2}={x|0<%<4},

集合B={xeR||x-l|<2}={x\-l<x<3],

.*.AAB={x|0<x<3}=(0,3).]

3.已知某市居民在2019年用于手机支付的个人消费额氢单位:元)服从正态分布NQ000,

1002),则该市某居民手机支付的消费额在(1900,2200)内的概率为()

附：随机变量：服从正态分布N(/z,o2),则尸〃一。<。<14+。)=0.6826,P(ju—+2(T)

=0.9544,尸@—3y+3))=0.9974.

A.0.9759B.0.84

C.0.8185D.0.4772

C「・Y服从正态分布NQ000,1002),

:•fi=2000,(7=100,

则P(1900<(f<2200)=尸(//—)<&//+(7)+][尸(//—2。<。<〃+2(7)一尸(//一。<。<〃+到=0.682

6+1(0.9544-0.6826)=0.8185.]

4.设〃=2%/?=sin2,c=log20.2,则mb,c的大小关系正确的是()

A.a>b>cB.b>a>c

C.b>c>aD.c>a>b

A[〃=2°2>1,0</?=sin2<1,c=log20.2<0,

则a>b>c.]

3—9,GO

5.已知函数/④=1，,x<0e为自然对数的底数），若小）的零点为a‘极值点为

B，则a+B=()

A.-1B.0C.1D.2

3%—9,GO

C[V/(x)=

_xex,x<0

:当x20时，/（x）=O,即3'—9=0,解得x=2;

当x<0时，/（x）=xeA<0恒成立，

.•./（X）的零点为a=2.

又当x》O时，/0）=3*—9为增函数，故在［0,+8）上无极值点；

当尤<0时，/（元）=尤3,尸（x）=（l+x）e。

当%<-1时，广（无）<0,当%>-1时，广（x）>0,

当x=—1时，/（无）取到极小值，即的极值点/=一1,

a+//=2—1=1.］

6.已知四棱锥PABC。的所有棱长均相等，点、E,尸分别在线段方,PC上,且所〃底

面ABCD,则异面直线跖与尸8所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

D［连接AC,BD,设ACC8。=。，

则£尸U平面PAC,平面B4CCI平面ABCD=AC,

由E尸〃底面ABCD,可得EF//AC,

由四边形ABCZ）为菱形，可得AC_L8。，

由。为AC的中点，PA=PC,可得PO_LAC,

入BDCOP=O,BDU平面pg。，POU平面PBD,

可得AC_L平面PBD,

又PBU平面PBD,

则AC1PB,

XEF//AC,可得EF_LPB,

即异面直线EF与尸8所成角的大小为90°.

故选D.]

7.在同一直角坐标系下，已知双曲线C：胃=l（a>0,b>0）的离心率为陋，双曲线C

的一个焦点到一条渐近线的距离为2,函数产sin（2无+袭）的图象向右平移5个单位后得到曲线

D,点A,2分别在双曲线C的下支和曲线。上，则线段AB长度的最小值为（）

A.2B.小C.^2D.1

27

D[因为离心率为啦，所以该双曲线是等轴双曲线，可设C方程为力一a=1（。>0）,

所以c=@a,故焦点为（0,渐近线y=±x,

取（0,到x—y=0的距离为2,得=2,解得a=b=2.

所以双曲线方程为^一'=1.

函数y=sin（2x+§的图象向右平移1个单位后得到曲线D的方程为：

j=sin^2^.x-=sin（2无一电=-cos2x.

同一坐标系下作出曲线C、。的图象：

由图可知，当8点为y=—cos2尤与y轴的交点（0,—1）,A点为双曲线的下顶点（0,一

2）时，|A2|最小为1.故选D.]

8.某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”、“升级题型”、“创

新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概

率均为点且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率（）

,112n80〃113124

ABCD.

-T25-T25-125125

A[该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率:

32

112

P=125,]

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9.已知向量。+8=(1,1),〃一5=(—3,1),c=(l,1),设m8的夹角为仇则下列正

确的是()

A.\a\=\b\B.a_Lc

C.b//cD.9=135。

BD[根据题意，a+b=(l,1),a-b=(-3,1),则〃=(一1,1),b=Q,0),

依次分析选项：

对于A,同=镜，向=2,则⑷=|四不成立，A错误；

对于B,a=(-l,1),c=(l,1),贝Ia-c=0,即。，。，B正确；

对于C,b=(2,0),c=(l,1),》〃c不成立，C错误；

L-2

对于D,4=(-1,1),b=Q,0),则a,b=-2,\u\=y[2,|6|—2,则cos

则8=135°,D正确；故选BD.]

10.已知函数/(x)=sin2x+2小sinxcosx—cos2^,x£R,则下列正确的是()

A.—2W/(x)W2

B./(%)在区间(0,兀)上只有1个零点

C./(%)的最小正周期为兀

D.x=1为/(尤)图象的一条对称轴

ACD[已知函数f(x)=sin2x+2a/§sinxcoscos2x="\/3sin21—cos2x=2sin(

XER,

则一2W7(%)W2,A正确，

JTKTtTT

当2x—4=左兀，kGZ,即x=5~+万，k^7j,f(x)在区间(0,兀)上只有2个零点，B错误;

/(%)的最小正周期为兀，C正确；

当％4时，函数/(x)=2sin(2x—§,xeR,/(j^=2sin(^2x1—=

77

所以x=g为/(x)图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.]

已知数列｛斯｝的前"项和为数歹!一的前“项和

11.S,621=1,sn+i=s„+2an+l,I[斯•劭+1J

为心,“GN*,则下列选项正确的为（）

A.数列｛斯+1｝是等差数列

B.数列｛为+"是等比数列

C.数列｛斯｝的通项公式为斯=2"—1

D.T„<]

BCD[由S”+i=S〃+2斯+1得a“+i=S”+i—斗=2。"+1,

可化为斯+1+1=2（诙+1）,由N=ai=l,可得数列｛斯+1｝是首项为2,公比为2的等比

数列，

则。”+1=2",即。“=2"—1,

寸2〃_2"_]]3=1,11

又斯出+1=（2"—1）（2-1-1）=2"一1一2"1一1'可行Tn=1-22-l+22-l-23-lHH

111

2n—l-2n+1—l~l~2a+1—l<1,

故A错误，B,C,D正确.故选BCD.]

12.已知四棱台ABCD-AiBiGA上下底面均为正方形，其中AB=26，A/尸小,A4,

=BBi=CCi=2,则下述正确的是（）

A.该四棱台的高为小

B.A411CQ

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的表面积为16兀

AD[由棱台性质，画出切割前的四棱锥,

S

由于48=2也，A1B尸色,可知△SA1B1与△SAB相似比为1：2,

则SA=2A4i=4,A0=2,则SO=2，§,贝IOOi=4§,该四棱台的高为小，A对；

因为S4=SC=AC=4,则AAi与CG夹角为60。，不垂直，B错；

(\/2+2^2)、币r-

该四棱台的表面积为S=S上底+S下底+S切=2+8+4义3~广jx=-=10+66，C错;

由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在05上，

在平面8/001中，由于。01=小，BiOi=l,贝I。囱=2=。8,即点。到点8与点囱

的距离相等，则r=0B=2,该四棱台外接球的表面积为16兀，D对，故选AD.]

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若无6(0,+°°),4x+x-i》a恒成立，则实数°的取值范围为

4][因为\/尤6(0,+8),4x+/i=4x+92y44xx,$=4,当且仅当4x=p即

时取等号，又xG(0,+°°),4.工+.-12。恒成立，...aW4」

14.已知函数/(x)的定义域为R,/(尤+1)为奇函数，/(0)=1,则/(2)=.

—1[根据题意，函数/(x+1)为奇函数，则函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，

则有〃x)=—/(2—x),

又由7(0)=1,得/(2)=—/(0)=—11

6

15.已知aGN,二项式Q+WB展开式中含有％2项的系数不大于240,记。的取值集

合为A,则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共有个.

6

62r

18[二项式,+亭3展开式的通项公式为Tr+l=G-(a+iy-x~,

令6—2厂=2,求得r=2,可得展开式中含有％2项的系数为C"a+l)2=15(a+l)2.

再根据含有/项的系数不大于240,可得15(。+1)2・240,求得一4一lWaW4-L

再根据aGN,可得。=0,1,2,3,即4={0,1,2,3),

则由集合A中元素构成的无重复数字的三位数共A^-Aj=3X3X2=18.]

16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：

2(0,-3)是圆。的圆心，圆。过坐标原点O；点、L、S均在％轴上，圆L与圆S的半径都等

于2,圆S、圆L均与圆。外切.已知直线/过点。.

y

（1）若直线/与圆乙、圆S均相切，贝h截圆。所得弦长为；

（2）若直线/截圆L、圆S、圆。所得弦长均等于d,则〃=.（本题第一空2分,

第二空3分）

（1）3⑵5[⑴根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（-4,0）,（4,0）,

设公切线方程为且上存在,

]-4^+m|

1+后=2

则〈,

lv^=

J3

解得左=土为m=Qf

故公切线方程为y=±乎x,则Q到直线/的距离d=呼,

故I截圆。的弦长=2、y32—（2~）2=3；

⑵设方程为y=fci+m（ZW0）且左存在，则三个圆心到该直线的距离分别为:

\~4k+m\\4k+m\|3+m|

“尸不铲，d尸不病”尸祈

则屋=4（4一应）=4（4一图）=4（9一法），

22

f|—4^+m|A（\4k+m[\

即有[而FH），①

22

4-E<|4fc+m|bY9（|3+ffl.|Y②

4

解①得m=0,代入②得a=五,

(16X票

144

则4=44—~7~=石，即4=亍]

k1十-42-—1/

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.(本小题满分10分)设等差数列｛斯｝的前几项和为*,等比数列｛为｝的前〃项和为T〃.

4

已知〃1。1=2,S2=6,S3=12,^2=yN*.

(1)求｛斯｝,｛为｝的通项公式；

13

(2)是否存在正整数鼠使得SK6Z且八喈？若存在，求出攵的值；若不存在，请说明理

由.

［解］(1)设数列｛斯｝的公差为d,在数列｛斯｝中，S3—S2=〃3=6,

又因为52=。1+。2=的—2"+的—d=12—3d=6,所以d=2,

从而〃1=。3—2d=2,所以斯=2+(九一1)X2=2n,

由a仍1=2得81=T1=1,

41

因为72—Ti=2—1=3,设数列｛d｝的公比为q,

n-ln-l

所以4=需=；,所以6〃=ixg)=自.

,,k(a\+ak)

(2)由(1)知，5卜=以~^~-=^+1),

所以&=%(左+1)<6左，整理得标一5N0,解得0<%<5,

1X0-3)3(1、31

又因为Tk=-----L=］［1一司=］一荻尹，

1-3

311311

所以71=5一方尸>豆，即#T<§,解得%>3,

13

存在正整数k=4,使得Sk<6k且Tk>-f.

18.(本小题满分12分)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，2b?=(〃+

c2-a2)(l-tanA).

⑴求角C；

(2)若c=2#5,。为BC中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度.

条件①：ZVIBC的面积5=4且8>A；

条件②：cos8=芈.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

［解］(1)在△ABC中，由余弦定理知b2+，-a2=2bccosA,

所以2廿=2/?ccosA(1—tanA),所以b=c(cosA-sinA),

又由正弦定理知g=得sin5=sinC(cosA-sinA),

所以sin(A+Q=sinC(cosA—sinA),

R17sinAcosC+cosAsinC=sinCeosA-sinCsinA,

所以sinAcosC=—sinCsinA,

因为sinAWO,所以cosC=-sin。，所以tanC=-1,

又因为0<Cv兀，所以C=苧.

(2)选择条件①：△ABC的面积S=4且3>A.

因为Sz\A5C=4=]〃Z?sinC=]〃Z?siri4.

所以ab=8y/2.

由余弦定理知：c2=(2A/10)2=40=a2+b2—2〃/7cos牛.

所以"+廿+也"=40.

储2+/+也刈=4。f〃=4,(a=2y[2,

由厂解得厂或

[6ZZ?=8\2,[/?=242[b=4.

/〃=2\[2,

因为5>A,所以/?>〃，所以《所以CD=巾.

U=4,

在△ACD中，AD2=CA2+CD2-2CACDCOSC=16+2-2X4X^/2Xcosy=26.

所以AZ)=/.

选择条件②：cos

因为cos所以sinB=^',

因为sinA=sin(B+Q=sinBcosC+sinCeos3=^^,

由正弦定理知六=看，所以"=1^=2用

在△A3。中,由余弦定理知AD2^AB2+BD2-2ABBDCOSB,

解得AD=4.

19.(本小题满分12分)在如图所示的四棱锥E-48C。中，四边形A3。为平行四边形，

△BCE为边长为2的等边三角形，AB=AE,点。分别为48,BE的中点，。尸是异面直线

A3和0C的公垂线.

(I)证明：平面平面8CE；

(2)记△<?£)£的重心为G,求直线AG与平面ABCD所成角的正弦值.

［解］(1)证明：因为。为8E的中点，所以在等边△BCE中，OCYBE,

又因为。尸是异面直线A3和OC的公垂线，所以OC_LO£

又因为OFn8E=O,OF、8EU平面ABE,所以。C_L平面ABE,

因为OCU平面BCE,所以平面ABE_L平面BCE.

(2)因为尸、。为中点，所以。尸〃AE,又因为OF是异面直线和OC的公垂线，

所以。尸_L42,AE±AB,所以△ABE为等腰直角三角形，

连接AO,AB=AE=巾,0A=1,

因为。4_LBE,0AU平面ABE,平面平面3CE且平面A8EA平面8CE=8E,

所以OA_L平面BCE,

因此，以。为原点，分别以OE、0C,所在的直线为X、>、z轴建系如图所示.

则4(0,0,1),2(—1,0,0),C(0,事,0),£(1,0,0),

因为四边形ABCD为平行四边形，设D(xo,mzo),

因为8C=A£),所以(1,小,0)=(尤o,yo,ZQ—1),

所以。(1,小,1),

设面ABC。的一个法向量为〃=(x,y,z),

BA=a,o,1),BC=(1,小,0),

n-BA=0Jx+z=O

由＜

-A[x+yf3y=Q

、n・BC=U

令y=-1,则z=—y［3,所以〃=(小，—1,一小),

因为C（0,小,0）,E（l,0,0）,0（1,小，1）,

所以△CDE的重心为G的坐标为停，2乎，g）,AG=（j,2乎，—1

设直线AG与平面ABCD所成角为仇则

2小

-A

―►n-AG3V105

sin9=|cos〈〃，AG)\==

一35

\n\-\AG\市X平

20.（本小题满分12分）某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节，当天有

多项优惠活动，深受广大消费者喜爱.

（1）已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如下表:

年份20152016201720182019

成交额（百亿元）912172127

求成交额y（百亿元）与时间变量尤（记2015年为x=l,2016年为尤=2,……依次类推）的

线性回归方程，并预测2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额（百亿元）；

（2）在2020年“双十一”购物节前，某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参

加A、8两店各一个订单的“秒杀”抢购，若该同学的爸爸、妈妈在A、8两店订单“秒杀”

成功的概率分别为小q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.

⑴求X的分布列及E（X）；

（ii）已知每个订单由4t22,左GN*）件商品W构成，记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品

•无.兀

7sinvsinv

W总数量为匕假设P=「二一患，q=H求E（y）取最大值时正整数左的值.

AAA/=1

附：回归方程y=b无+“中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为6=-------------------

n—

X4一〃X2

尸1

Ex)8—y)

尸1_A_

,a=y—bx.

X(Xi-x)2

z=l

［解］(1)由已知可得：

—1+2+3+4+5—9+12+17+21+27一

x=c=3,y=工=17.2,

5

5>/yz=lX9+2X12+3X17+4X21+5X27=303,

尸i

£X?=12+22+32+42+52=55,

5--------

5x.y

A尸1303-5X3X17.245

所以6=-----------------~55—5X32~=13=45

5—

X^-5x2

Z=1

所以a=y-Z>x=17.2-4.5X3=3.7,

AA

所以y=bx+a=4.5x+3.7,

当x=6时，y=4.5X6+3.7=30.7(百亿元)，

所以估计2020年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元).

(2)(i)由题知，X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=(l—p)(l—4)；

尸(X=l)=(l—p)q+(l—q)p;

P(X=2)=pq.

所以X的分布列为：

X012

PX-p-q+pqp+q-2Pqpq

£(X)=0X(1_p)(l—q)+(p+q—2pq)+2pq=p+q.

(ii)因为Y=kX,

所以E(Y)=kE(X)=k(p+q)==2si磋就

令£=/£(0,g,设/⑺=2sin?U—兀。则E(y)=/Q)

因为广⑺=2TCCOS而一兀=2兀｝（九位一］）,且无re（0,与

所以，当fG（0,g）时，尸⑺>0,所以/⑺在区间（0,g）上单调递增;

当reg,§时，尸⑺<0,所以了⑺在区间停，上单调递减；

所以，当片；即左=3时，于⑦q(；)=小一?

所以E(y)取最大值时k的值为3.

72

21.(本小题满分12分)已知。为坐标原点，椭圆C方的左，右焦点分

别为B,F?,尸2点又恰为抛物线。：丁=4%的焦点，以尸1/2为直径的圆与椭圆。仅有两个公

共点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/与。相交于A,8两点，记点A,8到直线x=—1的距离分别为d2,\AB\

=%+必.直线/与C相交于E,尸两点，记△043,△0EF的面积分别为Si，%

(i)证明：△后尸死的周长为定值；

(ii)求普的最大值.

•31

［解］⑴因为尸2为抛物线。：V=4x的焦点，故尸2(1,0),

所以c=1,

又因为以尸止2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点知b=c,

所以4=陋，6=1,

所以椭圆C的标准方程为，+丁=1.

(2)(i)证明：由题知，因为x=-1为抛物线。的准线，

由抛物线的定义知=&+%=IAF2I+IBF2I,

又因为|4B|W|AB|+出&I,等号当且仅当A,B,巳三点共线时成立，

所以直线/过定点尸2,

根据椭圆定义得：

\EF\+\EFt|+\FF^|=|EF2|+|EFi|+旧川+旧冏=4a=4陋，即AEFFi的周长为定值.

(ii)若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=l,

因为|A8|=4,|即=也，所以自=盟=坐；

若直线/的斜率存在，则可设直线/:y=fc(x—1)(^0),设A(%i,yi),3(x2,/)，

fy2=4x

由得於/一(2斤+4川+廿=0,

〔尸网L1)

2^+4