2023届高考数学一轮复习作业 等比数列及其前n项和北师大版

等比数列及其前A项和

[4组在基础中考查学科功底]

一、选择题

1.等比数列X,3x+3,6x+6,…的第四项等于（）

A.-24B.OC.12D.24

A[由X,3x+3,6x+6成等比数列，知（3x+3）2=x∙（6x+6）,解得x=—3或x=一

1（舍去）.所以此等比数列的前三项为-3,-6,-12.故第四项为一24,选A.]

2.已知在等比数列｛a｝中，&=7,前三项之和W=21,则公比g的值是（）

A.1B.—ɪ

C.1或一TD.-1或5

a↑q=7,

C[当q=1时，戊=7,S=21,符合题意；当gWl时，＜aɪ1—d得q

i=21，

1

2_综上，g的值是1或一/故选C]

3.等比数列｛a｝的前〃项和为S,=3"i+r,则r的值为（）

Illl

a∙3b∙-5c∙§d∙-3

B［当）=1时，a=S=3+r,

当时，a=SLST=3"'—33=333（32—1）=8-32n^s=8.33.3^'=∣∙9"，

O

O1

所以3+r=.,即r=一可，故选B.]

Oð

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不

为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为:

“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,

走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

B[记每天走的路程里数为｛a｝,由题意知｛4｝是公比为g的等比数列，由W=378,得

ɪ=378,解得a∣=192,

1^2

・・・。5=192乂/=12（里）.故选B.]

5.（2020•全国卷II）数列｛a｝中，劭=2,&若加∏+a什2∏----F‰ιo=2l5-2\

50=（）

A.2B.3C.4D.5

C[令m=1,则由&+〃=&，&,得a〃+i=aa,即∙J=a=2,所以数列｛&｝是首项为2,

为

公比为2的等比数列，所以a=2",所以a+ι+aA∙+2∏----Fa+】（）=aMai+azH----Faio）=2k×

9×1—910

----------——-2A+1×（2'0-l）=2**5-25=25×（210-l）,解得左=4,故选C.]

∖-Δ

6.（2021•宝山区一模）已知数列｛aj是等比数列，其前〃项和为S”则下列结论正确

的是（）

A.若a+a⅛>0,则a∣+a3>O

B.若aι+a⅛>O,则a∣÷a2>0

C.若a>0,则S02∣>0

D.若a>0,则So2o>O

C[A错误，如数列：一1,2,-4,

BD错误,如数列1,-2,4,

C正确，当g<0时，显然£切>0；当O<g<l时，及夕>1时“1-g”与“1一不必”

同号，故Sθ2l>O;当<7=1时，显然S<m>0,故C正确.]

二、填空题

7.已知1,团，鱼，4成等差数列，1,bl,&,%4成等比数列，则"名的值______.

bz一

5

;[由题意得"+4=5,区=4,又Z⅛与第一项的符号相同，所以Z¾=2∙

所以比三二]

8.（2021•河南六市联考）已知等比数列｛aJ的前〃项和为S,若W=7,5=63,贝IJal

〃a↑1-Q

S=1=76

1-71—σ

1[由题意知gWl,由46，得---3=9.

4^^∙=63J°

Il—q

解得0=2,由S=&J—：=a、l-j=7,解得囱=L]

1—g1—2

9.各项均为正数的等比数列｛aj的前〃项和为S,若S=2,S,,=14,则S.=

30［由题意知公比大于0,由等比数列性质知S,„Sz,,-S,,,S3,,—Si,,,S,,—W,,,…仍为

等比数列.

设W,=x,则2,X-2,14—X成等比数列.

由(X-2)2=2X(14—x),

解得X=6或x=—4(舍去).

：.SsSzn-Sa,Sin-Szn,SLS”…是首项为2,公比为2的等比数列.

3

又YS,,=14,Λ5,n=14+2×2=30.］

三、解答题

10.(2020•全国卷III)设等比数列｛azι｝满足a+a2=4,检一a∣=8.

(1)求｛a,,｝的通项公式；

(2)记S为数列｛log3aj的前"项和.若S+如产23,求勿.

［解］⑴设｛&｝的公比为0,则

［a∣÷a∣<7=4,

由已知得I2解得a∣=l,q=3.

.a↑q—a∣=8.

所以｛a｝的通项公式为&=3"”

⑵由⑴知Iogsan=Z?-1.

由5»+如I=Slr+3得1)+(ffl÷1)πι=(∕ff÷3)(ffl÷2),即nf—5m—6=0.

解得行一1(舍去)，m=6.

552

11.设数列数”｝中,a=l,a=~,a,,+2=-ai--a,令Z⅛=a>+LaK√7∈N*)

2Oɔπ+ɔπ

(I)证明：数列｛4｝是等比数列；

⑵求数列｛&｝的通项公式.

52

［解］⑴证明：∙.∙a+2=WarM-三区,

2/、

3n+2-4+1=W(a+1-而bn-Qn∙>∖—

Or

∙*∙bn+1=Nb”,又b\—Ql-∂,∖=可，

ɔɔ

29

.∙.以｝是首项为品公比为。的等比数列.

ɔɔ

β

..afl={all-all-∖)+{al,-∖-all-2)+・・・+(4―功)+aɪ

n-

=ι+Ml)+…+电图・

[6组在综合中考查关键能力]

1.已知｛&｝为等比数列,数歹!!伉｝满足瓦=2,Z%=5,且&(ΛI+L4)=⅛+I,则数列｛4｝

的前〃项和为()

A.3〃+1B.3/?—1

八Sn+〃itn-n

C.---D.--—

C['.'61=2,bz=5f且为(6〃+1—A?)=Qn-∖-11

Λa∖(&—⅛1)=az,即a=3a,

又数列｛a｝为等比数列，

・•・数列｛4｝的公比为q=3,

∙*∙bn+1-bn=-3，

3,ιι

数列｛4｝是首项为2,公差为3的等差数列，

二数列也,｝的前〃项和为S=2〃+TLl-X3=2*.故选C.]

2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，

如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其

最大的正方形的边长为彳，则其最小正方形的边长为.

ɪ[由题意，得正方形的边长构成以平为首项，以半为公比的等比数列，现已知共

得到1023个正方形，则有1+2+…+2^=1023,."=10,...最小正方形的边长为当X

1

32']

3.设数列｛a∙｝的前A项和为£,。=1,且数列｛S｝是以2为公比的等比数列.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

⑵求&+&+…+及〃+1・

［解］(l)∙.∙S=a∣=l,且数列｛S｝是以2为公比的等比数列,

••=∙9ɔ/?'Ll乙，

n2n2

又当〃22时，a,l=S-Sfl-i=2-(2-1)=2~.

当〃=1时，功=1不适合上式.

L/7=1,

&=

2Λ^2,心2.

(2)备,备，…，也小是以2为首项，以4为公比的等比数列,

24n-l22n+'+l

，a1+a⅛+-+a2,,+l=l+——-——=―--

OO

［C组在创新中考查理性思维］

1.将正整数排成如图所示：

23

4567

89101112131415

试问2020是表中第行的第个数.

1—910

11997［由题意得第〃行有2""'个数，2°+2+22+23+2"+25+2'+27+2II+29=-F^

1Γ—2.

=1023,

1—911

20+2+22+23+21+25+26+27+28+29+2l°=-~~-=2047,

1-Z

・・・2020是表中第11行的第997个数.］

2.设S为等比数列｛a｝的前刀项和，已知满足，求公比°以及晶+■+…+

an.

从①/金=—32且&+&=-4,②a=l且&=9£,③S=a-1且S=EL1这三组条

件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答.

［解］若选①，