2023全国新高考Ⅰ卷数学真题试卷带答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学

本试卷共4页，22小题，清分150分.考试用时120分仲

注**暇：

1.鲁♦前，考生务必用・色字造帽或笠字珞格自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答

卡上用

2第试(A)在答卡相座位北上.将条瘩码横贴在答］■卡右上角•条形码粘贴处”.作普选舞届

时，选出每小愚等案后，用2B也把售卡上对应曷目域事的答案信息点油■：如需改动，用横

皮擦干净后，再选/其他答案，管案不能誓在试卷上.

3.幸逸篝■必须用■色字迹制嬉或签字婚作答，符案必然写在誓・卡各■目指定区域内相应位

・±；如帝改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用蛤笔和涂改液.不按以上

央求作答的答案无效.

▲考生必须保持答题爷的粤洎.考试结束后，带试卷和鲁题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合JB目要求的

1.已知集合M={-2,-l,0,l,2},N={^-^-6>0),则MClN=

A.{-2,-1,0.1}

B.{0,1.2}

C.{-2}

D.{2}

2.已知2=W；，则Z—Z=

A.-i

B.i

C.O

D.l

3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+Ab)1(a+曲),则

A.A+(/=1

B.A+〃=—1

C.“=1

D.“=-1

4.设函数f(*)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是

A.(-oo,-2]

B.[-2,0)

C.(0,2]

D.[2,+oo)

G：I+y2=13>1),。2：=+y2=1的离心率分别为ei,若e2=

b

a=

A%

也

3

Bu.

V2

“V3

V36

6.(0,-2)与圆炉+y-4%-1=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina1=

AV

15-

4

B.

UV

'1-0

±

DZ.4

记Sn为数列&｝的前n项和，设甲：小｝为等差数列；乙：图为等差数列,

则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.已知sin(a-0)=pcosasin^=则cos(2a+20)=

A.J

B-I

7

D3

二、选择JR本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.有一组样本数据八,不，…,X&其中Xt是最小值，X6是最大值，则

A.X2,X3,X4,X5的平均数等于必,也,…"6的平均数

B.X2，X3,X4,X5的中位数等于五孙…*的中位数

C.X2，X3,X4,X3的标准差不小于xl,x2,—,x(,的标准差

D.X2，X3，X4，*5的极差不大于Xi，X2,-',X6的极差

10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=

20x1g与其中常数p(Po>0)是听觉下限阑值，P是实际声压.下表为不同声源

POo

的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060^90

混合动力汽车1050^60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为

P1，P2，P3,则

A.Pl>P2

B.P2>10p3

C.p3=100p0

D.px<100p2

i2

11.已知函数/(x)的定义域为Rtf(xy)=yf{x}+xf(y),则

A./(0)=0

B./(l)=0

C.f(x)是偶函数

D.x=0为/(x)的极小值点

12.下列物体中，能够被整体放入核长为1(单位：01)的正方体容器(容器壁厚度

忽略不计)内的有

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

三、填空题：本大总共4小题，每小题5分，共20分.

13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课

中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有

种(用数字作答).

14.在正四棱台ABCD-AXBXCXDX中，AB=2,AlBl=l.AA^y/2,则该棱台的

体积为______________

15.已知函数f(x)=coMX-l(3>0)在区间\0.2n］有且仅有3个零点，则3

的取值范围是______________

16.已知双曲线C:J-^=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为8,4.点4在

Orr

。上.点8在y轴上，用_1耳瓦瓦7=一尹蓝，则C的离心率为

四、解答题：本大题共6小愚共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演售步骤.

17.已知在△ABC中，A+8=3C,2sin(4-C)=sinB.

(1)求siii4;

(2)设48=5,求48边上的高.

18.如图，在正四棱杜ABCD-AiBtCiDi中,AB=2,AAX=4.点A2,B2,C2tD2

分别在棱AAx,BBx,CCx,DDx上AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明:

B2C2//A2D2；

(2)点P在棱BB［上，当二面角P-A2C2-D2为150-时，求82P.

n4

19.已知函数/(x)=a(ex+a)-x.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)>21na+1.

20.设等差数列｛aj的公差为d,且d>l,令匕=筌记Sn,Tn分别为数列

｛aj,[bn]的前n项和.

⑴若3a2=3%+。3，§3+73=21,求｛4｝的通项公式;

(2)若｛bn)为等差数列，且S”-F=99,求d.

21.甲乙两人投篮每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人维续投篮，若末

命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙

每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲,

乙的概率各为0.5.

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P&=1)=1-P(Xt=0)=qbi=

1,2，…,n,则£(2M％)=£匕g，记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲

投篮的次数为匕求F(r).

22.在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(03)的距离，

记动点P的轨迹为W.

⑴求W的方程；

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3瓜

绝密★启用篇试卷类型：A

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案与解析

一'选择题：本翅共8小题,每小！85分，共"分.在每小期给出的四个选审中，只

有一项是符合题目要求的.

I.已知鬃合*T-Z-1QJS,N=U|x'-x-6部).WA/nx=

A.{-L-IA41B.(0.1.2)C.{-2|D.{2|

【修析】N€(-OC.-2]U(3.+3C).所以=故i&C.

2.已知史数：=±L.则：-?=

2+2i

A.-iB.iC.0D.I

【弊析】r--Lzi_.-li.所以：-?=-i.故选A.

2+2i2

3.已切向量・=(1.1).»«(1.-1).若(,+2)_1便+小).则

A.1*!**>IB.4+/»«-IC.x/««lD."=-l

【第析】(・♦必)JJ，+岫)=/+(2+“X・4)=2<l+耐,所以i+，=-l.故逸D.

4.ttlAttr(x)-2M(^ftKM(0J)j£4.则a的取依尬也是

A.(-«.-2]B.[-24))C.(ft-2]D.[2.4x)

【新析】所以。的取例范也是伍+B).故选D.

9_•

5.设神阿G:2♦./=l(a>I)・C：=1的离心率分别为4•r2.Iie2«>/je,»

a-4

【网析】"J.,严纤I.,,邛,存耳工/J”哈故选A.

6.过点(怯-2)4阳/+/-4—1-0相切的西条IVE的夹角为a.则sina=

B.呼

【X析】(方法一)片川.(x-2)‘+jJ=S,故留心B(d-2).

记4(0.-2).设切点为.V.N.AB=242.BM・JJ故儿“=J5

(方法：)闪为(*-2尸+./，5.«M4>C(2.O).

石.设点尸（<X-2）.M|PC|-272.谈过点尸的

西箫公切城/M・PB.则4APB=a.则

aVjR

..a一aVlORVl5n

sina«2sui-coi-■2---------------------.IAAB.1\

22444

7.记S.为改列I。」的前”小fU.设甲iMJ为等整数外i乙，（2•［为等无改列・则

n

A.甲是乙的充分条件但不是必蔓条fl

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条付

D,甲BI不是乙的充分条件也不是乙的包长条fl

【筑析】（方法）。.为竽足数列,设兀声:为。厂公堂为d.则S.="q♦等!!</.

2工-t=W.为等至数列.则甲是乙的充分条件।

"222MilH2M

反2.｛工｝为R总故列,即山-2■・砾・iF"."4・吗W，为常数,改为，.w

M"n（9l♦I）

""*二*・,・故S.-，・〃0»“）•故S.•n22・rtXHIMfl：

Mu*I）

“•二川%-，M7卜力”=0・・「。・・2/・4，・1也肩始故俗」为等冲数列划甲是乙的必

要条件.故甲是乙的允要条件.故ilC

1方泣：）闪为甲：0｝为&期故”.段改列（a.｝的首项叫.公基为4即S.・M♦里?2d.

则日■・.♦空灯二”♦a,K.At为等景数列.即甲是乙的充分条件.反2..乙：<当

为专修数列.以_4・。,4=5“”_|卬.即

1An

i.nS.fMn-DD.5.t.（w-l>S,♦（M-IMI»-2）D.与”22时.1：四式相M也i

S.-S.尸£♦2（。-IN••与力•I时.上式成立.所以。.・at♦2（。-IR•乂

-同为常数.所以9」为等总数列.故选C.

8.己一，)=-•cosasin/f«-MJcos(2a^2fl)•

7।•

A.-nB-grC.--

【M析】因为>tn(a-fl)~sinacosfi-cosasinfl*j.cosasinfl---Wlsinacos/J=T

sin(a+的=sinacosfl*cosasinfl*-♦-®-

363

cost2a♦2fl)=I-2sin'(a♦/J)«I-2"(故选B.

二、选择覆：本It共4小题,每小题5分,共20分・在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的褥5分,部分选对的用2分.有选错的种0分・

9.样本「A箕中不是城小（ft.*.舱及大it则

A.与.*“*..%的平均数等于小》.....*.的平均数

B.4.x“jr.H的中位数等于.….X.的中位数

C.盯M,的除准电不小于玉，毛..一％的标准«

D.七,的椎屋不大于天.了,..…*.的怕差

［薪析］因为8r，r・+x，_x，r；f・T，+%.x，+x，.x・+x，-如♦x。），所以

46n~

AIff«।因为玉是最小（A.x.是最大值.所以卬卬x,.x,的中位数的位N与

卬4.卬工/4.%的中位数的位置帽同.所以BiE确：因为玉是最小伤.。足以大值.

距马数据卬.，X,.Z,*.的平均（A大.即波动性大.所以标准值大.所以CWI误；设

x,＞X,，x,.1..工,的以小侦小.M大伤马，•则不£/.与近*・•所以x.-&Mr,-X：.所以D

正■.故选BD.

10.啜水污染”也越来总支刘聿程.用小乐线来度量，"杆的强弱.定义，》＜幅瞪

£-20x1g-2-.Jt中常收0.（凡＞0）是所觉「取箱值・〃是实际向压.下表为不同

P,

向源的小尔统：

声源与向源的期居/m

燃油汽车1060-90

混介动力汽乍10$0-60

电动汽车1040

己切住即禹电油汽，.、混台动力汽车、电动汽乍10m处测阳实际水原分别为八・八•P、

D.AWIOO死

A・P^P：B.p.>IOp,C.p「IOOp.

［修析】因为A-L-2Ox收立-20射45“。/糖红川•所以任？1,所以，声P.・所以

P.P.PiP，

AF确iLJ-£1»2OM|g^->IO.以>eL所以B传误：因为J=20*3凸",如,

PtPi2Pi0•

fl-100.所以ClE«t£,-4・20><18a五90-50=40.地包《2.4。00.所以D止

p,PlPlPl

确.故选ACD.

II.己知函数/(Jr)的定义域为R./(Jr»)-//U)*x7(x).则

A./(O).OB./(l)-0

C.，u)是偶南效D.x*0为，CO的梯小债点

【婚析】选"A.令x・y・O.N1/(0)«0x/(0)*0x/(0).则/(0)=0.故A正确：

K/(l)«lx/O)*lx/(l).M/(l)-0.ttBiEHi

通“C.W/(I)-(-IfM/(-I)♦(-I)1x/(-I).W/(l)>0.Hi>r--l.W

即故C1E■:

ii«D.对式「西边“射除以JT1：WO,用到阴•华♦华.故可以绰

xry*〈

到/(力卜’叫’川,故D选用正确：HAABC'.

|ax.o

12.卜列物体中.虢弊被整体放入收长为I(冷位।m)的正方体容器(容器壁屏忽略

不计)内的“

A.H枪为099m的球体

B.所"校长均为1.4m的四面体

C.ftdirtttlf0.01m.高内1.8m的国柱体

D.底面汽带为1.2m,♦为0.01m的■柱体

【3折】iXJftA.球”怆为099<l,故球体可以放入1E方体容JB内.故A1E■:选MIB.

选M连接正方体的面对角怪,可以刑到•个正四面体,四校长为6>l.&IfcB正■:M

C,底面fhOO.OIm,可以与修不计,但高为JJ为正力体的体Mftl找的K.故C

不止碉：选项D.旺面立计为l.2<JL高为0.01m的留柱体，1(高度可以与电不计，故D

正・.故送ABD.

三,填空题：本H共4小题,每小釐S分.共20分.

B.某学校开设T4口体育类选他课W4”艺术类选修深，学生寓从这8门谡中选惟2n篁

3n谭,并旦树美选修谭至少选修1n,明不汨的选课方案有即(用数字作m

【筑析】当从这8门谭中选修2口谭时.共有武《：=16|当从这8门课中选修3门课时.

共有CU+C：U=48：捺匕共有64种.故佛64.

14.在四技台/8CO-44G。,中.AB~2.44・l.从・五，则谀依台的体枳

为.S

【弊析】如图.将正四枚台ABCD-48£A补成正四：\\

桢傕.WAO^yfi.SA=Ni,OO、=与.故虹弋、

V=—（5（+5,+访>K■—（S）+S,+JS品访,/A,..—-4—

T（2、F.W）冬吟故血苧.幺上圭

15.已知函数，（“卜8»皿-1（8>0）在区间曲2寅）有且仅仃3个岑点.则”的取侑泡阐

是・

【皖析】/（x）«cos<ur-l«0•Wcoscux=I.又xw[0«2*J,则3W|0.2M]•所以

<6x•即2W，u«3,故」解[工3）.

16.已知双曲段』-[=1（。>0小>0）的左、右处点分别为元.鸟.点/在C上.点8在

4rb,

，轴匕不ii*.引=-；*.则c的阳心率为.

【川析】由中，部扁・；・设月/・-2r.中=”由用称性可得归B|=3x・

III定又可得.|引|=女+%.网=5x.设ZF,AF,«0.则

・。=1婚存所以“川la.\AF\2a在片月

sin0：=>8g*'12凹（Jr=a,=2x+}»•△/（

6a

中,期余弦定理可存coa''士…，即攵,二9『可用”些,故航：¥

四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步砒.

17.（10分）

己如在A48C中.4+8=3C.2，in（4-C）=sin8.

（I）求sin/：

（2）设.46=5.求48边上的高.

49jr

【稣析】（I）因为/+8=3C.所以/+S=3U-/-8）.所以4-bny所以C=二.

山的您恭J.2sin（4-C）=§in8,即2sii）/f8EC-2cos/sinC=£in/co$C+cos/sinC.所

以sin/cosC=3cos/sinC・所以tan/=31anC=3•所以sin/=.

费=法_=班.因为sm/>smC.

(2》由正弦定理得・——

wn/sinC

即A>C,III<I)flcm4=3co>),则/是校用.c«4=—.

而3=sin(/+C)=sin/cosC+8s/sinC=•由正就

26

定理.-=———»得。故求.•边I:的高为

sin8sinC

.、cryjio

6sinA=250x----6--.-

IS.(12分)

如图.在正四枝椎4BC0-43,G。,中.AB=>2.必=4.点

Ai，BitC;«。:分别在检44,BB、.CCt,DD,Ji>AA,=I.

BB:=DDt=2.CCS=3.

<1>证明tB:C,//A2D21

<2)点?在他8S.E.当二面向尸-4G-0为1新时，求

B.P.

(I)

力法一*证明：如图,连接4鱼.在直角他出「1。。：6中,9计HffM

C:B.=4i.&B：=4i.A：D「4i.所以C：6：/：O,为平行四边影.所以2G〃4。：：

方法二,ifW)：%符.A,B,=B2Ci=CtD}=A2D2^4s..

所以四边影A:B.C:D:是受形.所以B.C.//A.D.:

方法三，证Wh

瓦耳=甄+而+而=DD：+而+而=»3：G〃4。：

【皖析】(2)如图,以C为爆点.分别以CO.CB.CCA

:独建系.用/：=(2.2.1).C,=(OOJ).D,»(2A2).

P=IOJ.r)H7t^=(-2.-2J).而=©-24).

4'=(-2<0.设4u(x,.y,.r,),II,=(xry,.:/分别为f面4G&.4G/的法

2

向量.则"'0°.W^»(M4).同好彳="-1.3-,2).则

=>?-4/-0,则，=1域，・3.则6：a=b-，|.|.

19.〈12分)

己mm数/<©=«.+.)-¥.

(I)讨论/(*)的款调性；

<2>if*9］i»。〉。时./(x)>2to<»+.

【新析】(I)由也用定义城为R.=

.WO时./*(x)<0.At/'(x)在RI:蚀UIHIM:

>OH»/*(x)>0.则4r>-lna・则jrvlnoi

故/5)在(-»・-Ino)笊调面M.在(-In公+x)小/埃墙，

tth«*。《0时,At/U)ftR上不调过M,

-itf>0H./(外在(-x.-lno)・调电M.在”inG+x)笊调透堵.

<2)if明t,*i«>OH.ttif：/(*)>2taa+1.即证，a(e'+«)-x>2taa+^.

ilXtfic*'fc*—(x+In*+1)+-加J—I)+y*'>0,

又因为e'N*+1.故e”~-(jr+ha+l)2fl乂bi"&x-l•故，/-In/-l)X)•fl

g/>0•故c*'**—(j»+ln«i+l)+Ina1—1)+>0M然成,•所UI

/1(*)>2ln«+y.

20.112分)

及等4故刑9.1的公第为d.IU>).夕，=贮土E.记$.・Z分别为数”U.I,2」

的前“小和.

<!>匕30=招+*.$,+「=21.求［..］的*I*公式1

<2）公优|为等"数”.112.-心=99.求4

【婚析】（1）因为My=+4故V=q=+2J•即4=</•故所以

b=j=S.=i±L±!E.匚=^±1!2!,又s,+7；=2l.即U+U=2I.

nJd22d22d

即2d'-7d+3=O,故d=3或d=g<舍）.故3」的通项公式为，a.=3..

（2）若但）为等总改列•则玲=々+々3,即2•/专=?+羽7・

当4=</时,。.=献・AgJ•”1/

—MH+2d:=0•所以4=d或4=2</•

.耐"+3）°/2.99100J99102

r-------XS--7^=99.up-------------------------------=9M9.即

•2d22d

fOd2-d-Sl=0.所以d=g谏4=1（舍）i

e-"工-n（"+3W.外（。+1）R。___

即q=2/时,a.=5+］）</・b.=1■故5.=-----------•匚=—-—•乂$•»一：=«•

d22d

即99102d-99100=3.HP5tt/J-</-50=0,所以所以d=-21为）或d=l（舍）：

2Id50

21.（12分）

甲、乙两人投篮.W次由小中一次收底.现则如为方命中则此人缠续投歌,若未

命中划帙为“方投代.无论之前投篮情况如何，甲械次投薇的由中率均为0.6.乙帆次投诙

的命中率均为0.8.由抽笈确定第I次投诲的人选,第I次投蓝的人圮甲.乙的假率各为0$

<I）求与2次投篮的人是乙的概率:

（2）求破，次投达的人是甲的概率।

（3）己如：公的机货e工,,服从两.点.分布,JlHX,=I）=P（X=0）=4,:

/=I.XM.»£（'%）=£（•g,）.记前"次（即从第I次到第"次投篮）中甲投蓝的

f«lI

次数为y,求£（y）.

【M析】（I）第二次是乙的概率为0.5x0.4+05x0.8=0.6：

<2）弟，次是乙投球的息率为I-P,•则=06A+0.2（1-A）=04p,+02.

构造等比数列0,“+4=：9-4.

I2,,、uIIIIIRsI人.,I

则1MP,“一；=；（2+Q•乂月=；・幺-；=；・A-T"T（7^'0，**1•（；）♦7•

33Z3oJo303J

,»-（；）,“52”

（3）当》»WN♦时，E（Y）=p,+-A«-------^~+；=点।737+f

O•JIo3J

当n=o时.£（）*）=o.HiV.LK•故

22.（12分）

在平面汽角坐*系KQ，中.点尸到X械的期高等于it到点曲今的即禺.动.点尸的肮选

为为

（I）求那的方程：

<2）若知影/8CO上有三个点在即上.i£Wj：/8CO的周长>力？.

【*析】（I）tt«x.>>）,则胡=/+»-力,化筒得F=X'+；.

或栉利用精打压的定义可知.点/在以尸（0，；）为".点•K轴为准馍的梢沟段上.Jt中产=；

从而/=2/»0-5.故"'的料选方程为）,=/+!•

44

不妨设/.B.O三点