2024年中考数学专项复习模型41相似形-射影定理模型-原卷版+解析

相似形模型（四十一）——射影定理模型DC²＝DA·DBAC²＝AD·DC²＝DA·DBAC²＝AD·ABBC²＝BD·BAAC·BC＝AB·CD多个垂直先导角，相等互余少不了多个垂直先导角，相等互余少不了∠1＝∠2，∠3＝∠4△ACD∽△CBD∽△ABC以△ACD∽△CBD为例ADCD＝CDBD,DC²＝DA记：DC用了两次，D能写出两条共线线段同理：AC²＝AD·ABBC²＝BD·BA等面积：AC·BC＝AB·CDeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)公共边2＝共线边乘积1．（2023·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（

）个①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个1．（2023·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．2．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．(1)请证明“射影定理”中的结论③．(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．①求证：．②若，求的长．1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．2．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．相似形模型（四十一）——射影定理模型DC²＝DA·DBAC²＝AD·DC²＝DA·DBAC²＝AD·ABBC²＝BD·BAAC·BC＝AB·CD多个垂直先导角，相等互余少不了多个垂直先导角，相等互余少不了∠1＝∠2，∠3＝∠4△ACD∽△CBD∽△ABC以△ACD∽△CBD为例ADCD＝CDBD,DC²＝DA记：DC用了两次，D能写出两条共线线段同理：AC²＝AD·ABBC²＝BD·BA等面积：AC·BC＝AB·CDeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,记)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,诀)公共边2＝共线边乘积1．（2023·山东淄博·八年级期末）如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（

）个①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】A【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴，∵，∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，∵S△ACB=AC•BC=AB•CD，∴BC•AC=AB•CD，故②正确，∵△CBD∽△ABC，∴，∴，∴BD=2或-10（舍弃），在Rt△CDB中，CD=，故③正确，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．1．（2023·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案为：．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图1，在中，，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．(1)请证明“射影定理”中的结论③．(2)【结论运用】如图2，正方形的边长为6，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接．①求证：．②若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②．【分析】（1）由AA证明，再由相似三角形对应边称比例得到，继而解题；（2）①由“射影定理”分别解得，，整理出，再结合即可证明；②由勾股定理解得，再根据得到，代入数值解题即可．（1）证明：（2）①四边形ABCD是正方形②在中，在，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．1．（1）问题情境：如图1，Rt中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利用与相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理．（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由AA证明，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；（2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证明△BOF∽△BED即可．【详解】证明：（1）如图1，（2）如图2，∵四边形ABCD为正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，而∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED．【点睛】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论．①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD．【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析.【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可；（2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论；②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立．试题解析：解：（1）∵CD⊥AB，而平行光线垂直AB，∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的