数列的概念及其函数特征 高中数学北师大版选择性必修第二册

第一章

数列1.1数列的概念及其函数特征高中数学北师大版选择性必修第二册1.1.1数列的概念[教材要点]要点一数列的有关概念及表示方法1．数列的有关概念(1)数列：按________排列的一列数叫作数列．(2)数列的项：数列中的________叫作这个数列的项．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列{an}，其中a1是数列的第1项，也叫数列的________；an是数列的第n项，也叫数列的________．一定次序每一个数首项通项

(1)数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．要点二数列的分类根据数列的项数可以将数列分为两类：(1)有穷数列：项数________的数列；(2)无穷数列：项数________的数列．有穷数列与无穷数列的表示方法：(1)有穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am；无穷数列一般表示为a1，a2，a3，…，am，….(2)对于有穷数列，要把末项(即最后一项)写出来，对于无穷数列，不存在最后一项，要用“…”结尾.有限无限要点三数列的通项公式如果数列{an}的第n项________与________之间的函数关系可以用一个式子表示成________，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．annan＝f(n)

[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(

)(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(

)(3)所有自然数能构成数列．(

)(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(

)××√×2．(多选题)数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为(

)A．an＝(－1)n－1B．an＝(－1)nC．an＝cosnπ

D．an＝sinnπ答案：BC3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(

)A．第9项

B．第10项C．第11项D．第12项答案：C解析：由an＝n2＋1＝122，得n2＝121.∴n＝11.故选C.

题型一数列的概念与分类例1

(多选题)下列说法正确的是(

)A．数列4，7，3，4的首项是4B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1，2，3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形答案：ACD解析：根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项4，A正确；同一个数在数列中可以重复出现，B错误；根据数列的相关概念可知C正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，D正确．故选ACD.方法归纳正确理解数列及相关概念，注意以下几点：(1)数列与数集不同，数集具有互异性和无序性，而数列中各项可以相同，但与顺序有关；(2)数列a1，a2，…，an，…可以记为{an}，但不能记作{a1，a2，…，an，…}.

答案：BD解析：当n＝5时，a5＝11，A错误；B正确；因为数列是按一定次序排成的一列数，C错误；D正确．故选BD.

方法归纳(1)据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．(2)观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

题型三数列通项公式的简单应用例3已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项．(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？如果是，应是哪一项？

变式探究本例中，数列{an}中有多少个负数项？

方法归纳(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．

易错辨析忽略了相邻正方形的公共边而致误例4图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第n个图形中，火柴棒的根数为________．解析：因为每两个相邻的正方形均有1条公共边，所以第二个图形的火柴棒根数为2×3＋1.第三个图形的火柴棒根数为3×3＋1.……第n个图形的火柴棒根数为3n＋1.答案：3n＋1【易错警示】出错原因纠错心得每相邻的两个正方形都有公共边，第n个图形有n个正方形，火柴棒的根数是3n＋1而不是4n.正确观察图形，看清图形间的内在联系，并找到相关规律，再进行归纳．

答案：C解析：当n＝1时，排除A、D，当n＝2时，排除B，故选C.

答案：C

3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n，则下列结论正确的是(

)A．第2项a2＝0B．0不是数列中的一项C．21是数列中的一项D．42是数列中的一项答案：D解析：令n2－n＝42，解得n＝7(n＝－6舍去)．故42是数列的第7项，其余选项均错．故选D.

3－4n

第一章

数列1.1数列的概念及其函数特征高中数学北师大版选择性必修第二册1.1.2数列的概念[教材要点]要点一数列与函数可以把一个数列视作定义在________集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为________，k＝1，2，3，….

正整数(k，ak)

(1)数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．(2)要注意数列的特殊性(离散型)．因为数列的定义域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以数列的值域是一系列孤立的实数组成的集合．要点二数列的增减性1．递增数列：一般地，一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递增数列．2．递减数列：如果从第2项起，每一项都________它的前一项，即________，那么这个数列叫作递减数列．3．常数列：如果数列{an}的各项都________，那么这个数列叫作常数列．大于an＋1>an小于an＋1<an相等数列增减性与函数增减性的区别数列是一种特殊的函数，其定义域是N＋(或N＋的有限子集)，自变量的取值是离散的，而函数的定义域通常是连续的，所以数列与函数的增减性有所不同．例如，函数f(x)＝x2－2x在其定义域上没有增减性．只能说f(x)在(－∞，1)上减少，在(1，＋∞)上增加，但对于数列{an}，若an＝n2－2n，则其一定是递增数列．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列若用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点.(

)(2)在数列{an}中，若存在m，n∈N＋，当m<n时有am<an成立，则数列{an}是递增数列.(

)(3)如果函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则数列an＝f(n)为单调递增数列．(

)(4)数列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函数y＝2x－1，当x取1，2，3，…，n时，对应函数值的集合.(

)√×√×2．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(

)A．递增数列B．递减数列C．常数列

D．摆动数列答案：A解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．故选A.

答案：C解析：A、B是递减数列，D是有穷数列，故C正确．故选C.4．有下列数列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，….其中递增数列是________，递减数列是________，常数列是________．(填序号)①②③题型一根据图象判断数列的增减性例1已知数列{an}中，an＝n2－8n.(1)画出{an}的图象；(2)根据图象写出数列{an}的增减性.

解析：(1)列表如下.描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象.(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…图象如图.(2)数列{an}的图象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是递增数列，也不是递减数列.n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…方法归纳画数列图象通常用描点法，与画函数图象的描点法有类似之处，其步骤是：(1)列表；(2)描点．但要注意描点后不能连线，这是由于数列的定义域是N＋.

解析：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．

方法归纳判断数列增减性的方法(1)根据给出的通项公式画出图象，观察图象的变化趋势；(2)作差法：用数列的后一项减去前一项，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若结果为正，则是递增数列，若结果为负，则是递减数列；(3)作商法：在确定an为正或为负的情况下，作商，比较商值与1的关系，从而确定数列的单调性；(4)借助数列通项公式对应函数的单调性进行判断.

跟踪训练3已知数列{an}的通项an＝－2n2＋9n＋3.求{an}中的最大项．

易错辨析忽视数列中的n∈N*致错例4已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．答案：－2

【易错警示】出错原因纠错心得数列的定义域是正整数集，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N*这一条件．[课堂十分钟]1．(多选题)下列说法中正确的是(

)A．数列a，a，a，…是无穷数列B．数列{f(n)}就是定义在正整数集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数值C．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D．已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列答案：ACD解析：A，D显然正确；因为数列{f(n)}是定义在正整数集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时，对应的是一列函数值，所以B项不正确；对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．故选ACD.

答案：A

3．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(

)A．R

B．(0，＋∞)C