函数的单调性和最值 高中数学北师大版必修第一册

高中数学北师大版必修第一册第1课时函数的单调性第二章函数3函数的单调性和最值课标阐释思维脉络1.理解函数单调性的概念.(数学抽象)2.会根据函数的图象判断函数的单调性.(直观想象)3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性.(逻辑推理)激趣诱思我们知道,“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色,因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题.德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究,并给出了类似右图所示的记忆规律.如果我们以x表示时间间隔(单位:h),y表示记忆保持量,则不难看出,图中y是x的函数,记这个函数为y=f(x).这个函数反映出记忆具有什么规律?你能从中得到什么启发?知识点拨一、增函数、减函数的定义

增函数减函数条件设函数y=f(x)的定义域是D:如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)结论称函数y=f(x)是增函数称函数y=f(x)是减函数条件特别地,当I是定义域D上的一个区间时结论称函数y=f(x)在区间I上单调递增称函数y=f(x)在区间I上单调递减图象特征自左向右图象逐渐上升自左向右图象逐渐下降名师点析x1,x2的三个特征:(1)同区间性,即x1,x2∈I;(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.微练习若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)上(

)A.为增函数B.为减函数C.先增后减D.单调性不能确定解析由于函数单调性的定义突出了x1,x2的任意性,所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系,是不能作为判断单调性的依据的,故选D.答案D微拓展单调性的等价结论二、单调性、单调区间如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.名师点析自变量的大小与函数值的大小关系:(1)若f(x)在区间I上单调递增,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2),x1>x2⇔f(x1)>f(x2).(2)若f(x)在区间I上单调递减,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2),x1>x2⇔f(x1)<f(x2).即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化.微练习根据下图写出在每一单调区间上,函数是单调递增还是单调递减.解函数在[-1,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,在[2,4]上单调递减,在[4,5]上单调递增.微思考函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),能否说函数y=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减?提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符号“∪”连接.如y=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.探究一判断函数的单调性1.利用图象判断函数的单调性例1根据函数图象直观判断下列函数的单调性:(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.分析本题中所给出的两个函数解析式中均含有绝对值,可以采取去绝对值的方法,将函数转化为分段函数再画出函数的图象,也可以通过图象变换得到函数图象.通过图象观察判断函数的单调性.解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的图象,保留其在x轴上及x轴上方部分,将位于x轴下方的部分翻折到x轴上方,得到y=|x2+2x-3|的图象,如图所示.由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]和[-1,1]上单调递减.函数图象如图所示,原函数在区间(-∞,-1]和[0,1]上单调递增,在区间[-1,0]和[1,+∞)上单调递减.反思感悟图象法判断函数单调性的注意点图象法判断函数的单调性主要用于常见函数(如一次函数、一元二次函数、反比例函数等)的单调性判断,或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得到所给函数的图象,从而进行单调性的判断.变式训练1已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象判断函数的单调性.图象如右图所示.由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.2.利用单调函数的运算性质判断函数的单调性

反思感悟利用单调函数的运算性质判断函数单调性的思路当函数解析式通过变换、转化之后,是由几个基本函数的解析式构成的,则可分析这几个基本函数的单调性,看是否符合单调函数运算性质的规律,若符合,可直接得出结论,否则,不能用这种方法判断函数的单调性.此外,研究函数的单调性时,一定要坚持“定义域优先”的原则.探究二利用定义证明函数的单调性反思感悟利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤

特别提醒作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,探究三函数单调性的应用例4已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f的大小.分析要比较两个函数值的大小,需先比较自变量的大小.解析因为函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,故a>0.设y=ax-1,x∈(-∞,1),因为a>0,所以y<a-1.而当x≥1时,f(x)=x2+1单调递增,且此时f(x)min=12+1=2,故只需a-1≤2,即a≤3即可.所以a的取值范围是(0,3].答案(0,3]反思感悟1.利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性比较函数值大小时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间内.2.利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.3.由分段函数单调性求参数范围时,一般从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面是考虑端点处的衔接情况,由此列出另一相关式子,求解即可.变式训练4已知函数g(x)的定义域是[-2,2],且在[-2,2]上单调递增,g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.素养形成复合函数单调性的判断对于复合函数f(g(x)),设t=g(x)在区间[a,b]上是单调函数,且y=f(t)在区间[g(a),g(b)]或区间[g(b),g(a)]上也是单调函数,那么f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如何呢?下面我们来探讨一下.(1)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,且y=f(t)也单调递增:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因为t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)也单调递增,所以有f(g(x1))<f(g(x2)),则根据增函数的定义知f(g(x))在区间[a,b]上单调递增.(2)若t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,y=f(t)单调递减:任取x1,x2∈[a,b],x1<x2,因为t=g(x)在区间[a,b]上单调递增,所以g(x1)<g(x2),又y=f(t)单调递减,所以有f(g(x1))>f(g(x2)),则根据减函数的定义知f(g(x))在区间[a,b]上单调递减.类似地,我们不难发现:当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)单调递增时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递减;当t=g(x)在区间[a,b]上单调递减,且y=f(t)单调递减时,则f(g(x))在区间[a,b]上单调递增.根据上面的探讨,y=f(g(x))在区间[a,b]上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增若一个函数是由多个基本函数复合而成的,则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定.若减函数有偶数个,则这个复合函数为增函数;若减函数有奇数个,则这个复合函数为减函数.典例已知函数f(x)在定义域[0,+∞)上单调递减,则f(1-x2)的单调递减区间为

.

解析∵f(x)的定义域为[0,+∞),∴1-x2≥0,即x2≤1,解得-1≤x≤1.令u=1-x2(u≥0),则f(1-x2)=f(u).当x∈[0,1]时,u=1-x2单调递减,则f(1-x2)单调递增;当x∈[-1,0]时,u=1-x2单调递增,则f(1-x2)单调递减.故f(1-x2)的单调递减区间为[-1,0].答案[-1,0]要点笔记对于复合函数y=f(g(x)),把函数y=f(g(x))通过中间变量t分解为两个函数:外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x),内层函数的值域是外层函数定义域的子集.要先确定复合函数的定义域,再确定单调区间.当堂检测1.若函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则实数k的取值范围是(

)解析当2k+1<0,即k<-时,函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数.答案D2.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为(

)A.[-4,-2] B.[1,4]C.[-4,-2]和[1,4] D.[-4,-2]∪[1,4]答案C3.若函数f(x)=x2+3ax+5在区间(-∞,5)上单调递减,则实数a的取值范围是(

)答案A4.下列函数不在区间(0,+∞)上单调递增的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|解析由一次函数、一元二次函数、反比例函数及y=|x|的图象与性质知,只有选项C中的函数符合题意.故选C.答案C5.已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),则x的取值范围为

.

高中数学北师大版必修第一册第2课时函数的最值第二章函数3函数的单调性和最值课标阐释思维脉络1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.(数学抽象)2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值(或值域).(直观想象)3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.(数学建模)激趣诱思某超市销售一种饮料,每瓶进价为9元,经市场调查表明,当售价在10元到14元之间(包含10元,14元)浮动时,每瓶饮料售价每增加0.5元,日均销售量减少40瓶;当售价为每瓶12元时,日均销售量为400瓶.那么当销售价格定为每瓶多少元时,所得日均毛利润最大?最大日均毛利润是多少元?同学们,你能帮助超市完成定价吗?知识点拨函数的最值1.定义名称前提条件图象函数的最大值M设函数y=f(x)的定义域是D.若存在实数M,对所有的x∈D都有f(x)≤M且存在x0∈D,使得f(x0)=M函数的最大值对应其图象最高点的纵坐标函数的最小值M都有f(x)≥M函数的最小值对应其图象最低点的纵坐标2.函数的最大值和最小值统称为最值.名师点析函数的最值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素;③若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值.微思考若函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增(或减)函数,这个函数有最值吗?如果是区间(a,b)呢?提示若y=f(x)是定义在区间[a,b]上的增函数,则其最小值为f(a),最大值为f(b);若为减函数,最大值为f(a),最小值为f(b).若为区间(a,b),则没有最值,但可以说值域为(f(a),f(b))(或f(b),f(a)).微练习已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则该函数的最小值、最大值分别是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2解析由题图可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案C探究一利用函数的图象求最值例1已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.分析去绝对值→分段函数→作图→识图→结论由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].反思感悟图象法求最值的基本步骤

(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.探究二利用函数的单调性求最值例2已知函数

(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.分析(1)证明单调性的流程:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.解(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值为f(1),f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.反思感悟函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.(4)求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值.延伸探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.解任取x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由本例知,f(x1)-f(x2)=.当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减;当2<x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间(2,3]上单调递增.探究三与最值有关的应用问题例3某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?分析读题→提取信息→建模→解模→解决实际问题所以当x=4050,即每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307050元.反思感悟1.本题建立的是一元二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般步骤是:(1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.(2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型.(3)求模.求解数学模型,得到数学结论.(4)还原.将用数学方法得到的结果还原为实际问题的结论.(5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性.变式训练2某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x(单位:台)是仪器的产量.(1)将利润表示为产量的函数f(x);(2)当产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)当x>400时,f(x)=60000-100x单调递减,f(x)<60000-100×400<25000.∴当x=300时,f(x)max=25000.即产量为300台时利润最大,最大利润为25000元.素养形成利用数形结合思想与分类讨论思想求一元二次函数的最值典例求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.分析可变对称轴x=a→与定区间[0,2]的相对位置关系→结合单调性与图象求解解y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.反思感悟1.探求一元二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解一元二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:对称轴x=h与[m,n]的位置关系f(x)的单调性最大值最小值h<m在[m,n]上单调递增f(n)f(m)h>n在[m,n]上单调递减f(