必要条件与充分条件 高中数学北师大版必修第一册

高中数学北师大版必修第一册第1课时必要条件与充分条件第一章预备知识/12.1必要条件与充分条件课标阐释思维脉络1.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象)2.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象)3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象)4.掌握充分条件、必要条件的判断方法.(逻辑推理)激趣诱思小李设计如下三个电路图,在第一个电路中,如果开关A闭合,灯泡B是否一定会亮?要想使灯泡B亮起,是否必须闭合开关A?第二个和第三个电路中呢?那么“闭合开关A”是“灯泡B亮”发生的什么条件呢?知识点拨一、必要条件与性质定理1.推出(⇒)若命题表示为“若p,则q”时,p是命题的条件,q是命题的结论.当命题“若p,则q”是真命题时,就说由p推出q,记作p⇒q.2.必要条件一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称q是p的必要条件.也就是说,一旦q不成立,p一定也不成立,即q对于p的成立是必要的.要点笔记说条件是必要的,就是说该条件必须要有,是必不可少的.简单地说,就是“有它不一定能成立,但没它一定不成立”.微练习用“⇒”或“不能推出”填空.(1)a,b都是偶数

a+b是偶数;

(2)a+b是偶数

a,b都是偶数;

(3)A∩B=⌀

A=⌀;

(4)Rt△ABC中,∠A=30°

边BC长等于斜边长的一半.

答案(1)⇒

(2)不能推出

(3)不能推出

(4)⇒二、充分条件与判定定理一般地,当命题“若p,则q”是真命题时,称p是q的充分条件.综上,对于真命题“若p,则q”,即p⇒q时,称q是p的必要条件,也称p是q的充分条件.要点笔记1.说条件是充分的,也就是说这个条件足以保证结论成立.即要使结论成立,只要有它就可以了.2.可以把充分条件理解为“有之即可,无之也行”.微思考如何从集合角度理解必要条件、充分条件?提示一般地,如果A={x|p(x)},B={x|q(x)},且A⊆B,如图所示,那么p(x)⇒q(x),因此p(x)是q(x)的充分条件,q(x)是p(x)的必要条件.三、充要条件1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,那么称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件.记作p⇔q.2.p是q的充要条件也常常说成“p成立,当且仅当q成立”或“p与q等价”.3.当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.名师点析设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)},若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p与q互为充要条件p是q的既不充分也不必要条件p,q的关系p⇒q,且q不能推出pq⇒p,且p不能推出qp⇔qp不能推出q,且q不能推出p集合A⫋BB⫋AA=BA不包含于B且B不包含于A命题真假“若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是假命题“若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是真命题“若p,则q”是真命题,且“若q,则p”是真命题“若p,则q”是假命题,且“若q,则p”是假命题微思考判断p是q的什么条件时,有哪些可能情况?提示(1)如果p⇒q,且q不能推出p,则称p是q的充分不必要条件;(2)如果p不能推出q,且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件;(3)如果p⇒q,且q⇒p,则称p是q的充要条件;(4)如果p不能推出q,且q不能推出p,则称p是q的既不充分也不必要条件.微练习下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:x=-3,q:x2=9;(2)p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等;(3)p:A∪B=A,q:B⊆A;(4)p:a>b,q:ac>bc.答案(1)充分不必要条件.(2)必要不充分条件.(3)充要条件.(4)既不充分也不必要条件.探究一充分条件、必要条件及充要条件的判断例1(1)对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(3)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由x2+y2=0,得x=0,且y=0,由xy=0得x=0或y=0,即“xy=0”不能推出“x2+y2=0”.(2)若“四边形ABCD为菱形”,显然对角线垂直;但“AC⊥BD”推不出“四边形ABCD为菱形”,例如对角线垂直的等腰梯形.所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.(3)因为A∩B=A⇔A⊆B,所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.答案(1)A

(2)A

(3)C延伸探究例1(2)中,把原条件中的“四边形ABCD”改为“平行四边形ABCD”,其余不变,结论有变化吗?解若条件为平行四边形,则“ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充要条件.变式训练1设A,B为两个互不相同的集合.命题p:x∈A∩B;命题q:x∈A或x∈B,则p是q的(

)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析若命题p:x∈A∩B成立,命题q:x∈A或x∈B一定成立;若命题q:x∈A或x∈B成立,但是x不一定是A∩B中的元素,所以p是q的充分不必要条件.答案B例2“a∈(-∞,-]”是“方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析“方程ax+3=0在[-1,2]上有实数根”等价于“直线y=ax+3在x∈[-1,2]上与x轴有交点”,则答案A变式训练2设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析令A={x|x>1},B={x|x3>1}.由于A=B,所以“x>1”是“x3>1”的充要条件.答案C例3若p是r的充分不必要条件,r是q的必要条件,r是s的充要条件,q是s的必要条件,则s是p的什么条件?分析用推出符号表示p,q,r,s的关系→由图求出结果解p,q,r,s之间的关系如图所示,由图可知p⇒s,但s不能推出p,故s是p的必要不充分条件.反思感悟充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法:①分清哪个是条件,哪个是结论.②判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假.③根据②得出结论.(2)集合法:写出集合A={x|p(x)}及B={x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题.(4)特殊值法:对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),但是这种方法不适用于证明题.(5)传递法:若问题中出现若干个条件和结论,应先根据条件画出相应的“推式图”,再根据图中推式的传递性进行判断.探究二充分条件、必要条件、充要条件的探求例4(1)不等式1->0成立的充分不必要条件是(

)A.x>1 B.x>-1C.x<-1或0<x<1 D.-1<x<0或x>0(2)1<2x+2<8的一个必要不充分条件是(

)分析(1)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围,即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找命题成立的充要条件,然后将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件.结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是-1<x<6.答案(1)A

(2)B反思感悟1.探究一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.变式训练3下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1;⑤x>-1.其中,可以作为x2<1的充分不必要条件的有

;可以作为x2<1的必要不充分条件的有

.(填序号)

解析由x2<1,得-1<x<1,而{x|0<x<1}⫋{x|-1<x<1},{x|-1<x<0}⫋{x|-1<x<1},所以0<x<1和-1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件.因为{x|-1<x<1}⫋{x|x<1},{x|-1<x<1}⫋{x|x>-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.答案②③

①⑤例5已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个正实数根的充要条件.反思感悟寻求q的充要条件有两种方法(1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得其成立的充要条件,其中求解的过程也是证明的过程,因为过程的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证.(2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从必要性和充分性两方面说明.变式训练4“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的充要条件是(

)C.m<1 D.m>1答案A素养形成自主招生中的充分条件与必要条件某大学某年自主招生简章中规定,凡是高中阶段在全国中学生学科奥林匹克竞赛中获得省赛区竞赛一等奖(含)以上者(简记为“满足竞赛条件”,下同),都可以报名参加该校的自主招生考试.根据以上信息,回答下列问题:(1)已知甲同学满足竞赛条件,那么甲能申请参加该大学该年的自主招生考试吗?(2)已知乙同学已经成功申请到了参加该大学该年自主招生考试的资格,那么乙同学一定满足竞赛条件吗?(3)已知丙同学不满足竞赛条件,那么丙同学一定不能申请参加该大学该年的自主招生考试吗?第一个问题,相信大家都能得到正确答案能.但第二个和第三个问题的答案都是:不一定.你知道为什么吗?这是因为满足竞赛条件只是能申请参加该大学该年自主招生考试的充分条件,而不是必要条件,但是充分条件可以不止一个.事实上,全国青少年科技创新活动中的获奖者也能申请参加该大学该年的自主招生考试.生活中还有很多类似的情况,请自行找出更多的例子吧!当堂检测1.“a=-3”是“|a|=3”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案A2.(2020天津,2)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案A3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(

)A.x>1 B.x<1C.x>3 D.x<3答案A4.已知a,b是实数,则“a>0,且b>0”是“a+b>0,且ab>0”的

条件.

解析a>0,且b>0⇒a+b>0,且ab>0;a+b>0,且ab>0⇒a>0,且b>0,故为充要条件.答案充要5.写出平面内的一个四边形为平行四边形的两个充要条件:充要条件①

;

充要条件②

.

(写出你认为正确的两个充要条件)答案两组对边分别平行

一组对边平行且相等高中数学北师大版必修第一册第2课时习题课充分条件与必要条件的综合应用第一章预备知识/12.1必要条件与充分条件探究一充要条件的证明例1已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.分析第一步,审题,分清条件与结论:在“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;在“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是a3+b3+ab-a2-b2=0,结论是“ab≠0时,a+b=1”.第二步,根据要求确定解题步骤.分别证明“充分性”与“必要性”,先证必要性:“结论⇒条件”;再证充分性:“条件⇒结论”.证明(必要性)∵a+b=1,∴a+b-1=0.∴a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.(充分性)∵a3+b3+ab-a2-b2=0,∴(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.又ab≠0,∴a≠0,且b≠0.∴a+b-1=0,即a+b=1.综上可知,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.反思感悟充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.变式训练求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明(必要性)∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为(

)A.(-1,6) B.[-1,6]C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a的取值范围.解析设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).所以-1≤a≤6.故选B.答案B反思感悟根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:条件类别集合M与N的关系p是q的充分不必要条件M⫋Np是q的必要不充分条件M⫌Np是q的充要条件M=Np是q的充分条件M⊆Np是q的必要条件M⊇N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解存在.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,故存在这样的实数a,a的取值范围为[-1,6].素养形成数形结合思想的应用在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.1.Venn图的应用(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.典例1

已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.解析作出Venn图,如图所示,可知x∈B⇒x∈A,但x∈A不能推出x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.答案C2.数轴的应用(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.典例2

已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则x∈A是x∈B的(