对数函数y=loga x的图像和性质 高中数学北师大版必修第一册

高中数学北师大版必修第一册第1课时对数函数的概念、图象和性质第四章对数运算与对数函数4.3.3对数函数y=logax的图像和性质课标阐释思维脉络1.通过具体实例,了解对数函数的概念.(数学抽象)2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.(直观想象)3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).(数学抽象)激趣诱思某种物质的细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,则1个这样的细胞分裂x次后得到的细胞个数y如何表示?反之,如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1024个细胞,该如何求解x的值呢?知识点拨一、对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为底数,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是(0,+∞);②图象过定点(1,0).(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数函数以10为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lgx;以无理数e为底的对数函数为自然对数函数,记作y=lnx.3.反函数对数函数表示为y=logax(a>0,且a≠1),指数函数表示为y=ax(a>0,且a≠1),指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数,即它们互为反函数.名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.微练习(1)下列函数是对数函数的是(

)A.y=logax+2(a>0,且a≠1,x>0)微拓展1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.二、对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质

图象性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0(5)在定义域(0,+∞)上是增函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(5)在定义域(0,+∞)上是减函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.微练习(1)(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值不可能是(

)A.0.5

B.2

C.e

D.π(2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不单调递增的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1(3)函数f(x)=loga(x-2)的图象必经过定点

.

解析(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0<a<1,只有选项A不符合题意.(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=0,即函数图象恒过定点(3,0).答案(1)BCD

(2)D

(3)(3,0)探究一对数函数的概念例1(1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx是对数函数,则m=

.

(2)已知对数函数f(x)的图象过点①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数,然后利用指对互化解方程.(1)解析由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.答案2②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.反思感悟1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可.变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=

.

(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

解得a=4.(2)设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究二指数函数与对数函数关系的应用例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.答案B要点笔记涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=(

)A.-7 B.-9 C.-11 D.-13解析由题意知f(x)=2x,故当x>0时,g(x)=2x+x2.∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.答案C探究三与对数函数有关的定义域、值域问题例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(

)A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1) D.[0,1](2)已知函数

的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是

.

解析(1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.反思感悟定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.探究四对数函数的图象例4函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)指出三个函数分别对应于哪个图象,并说明理由;(3)从(2)的图中你发现了什么?解(1)①对应函数y=lgx,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.反思感悟对数函数图象的变化规律(1)对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.(2)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点

变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解先画出函数y=lgx的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).由图易知函数的定义域为在区间(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.探究五利用对数函数的性质比较大小例5比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).分析(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.解(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0<a<1时,logaπ<loga3.141.反思感悟比较两个对数式大小的常用方法(1)底数相同真数不同时,用对数函数的单调性进行比较;(2)底数不同真数相同时,用对数函数的图象与底数的关系来比较,也可用换底公式转化为底数相同的函数;(3)底数和真数都不同,则寻求中间值作媒介进行比较;(4)对于有多个数值的大小比较,则应先根据每个数的结构特征,以及它们与“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.变式训练4(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=,则(

)A.a<c<b B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<b答案A素养形成互为反函数的两个函数图象间的关系我们知道,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=log2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?(2)取y=2x图象上的几个点,如P1,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=log2x的图象上吗?为什么?(3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=log2x的图象上吗?为什么?(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论?(5)上述结论对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其反函数y=logax(a>0,且a≠1)也成立吗?为什么?答案(1)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.(3)设P0(x0,y0)关于直线y=x的对称点为P0'(y0,x0),P0'在y=log2x的图象上.因为由P0(x0,y0)在y=2x的图象上可得y0=,从而x0=log2y0,所以P0'(y0,x0)在y=log2x的图象上.(4)y=2x与y=log2x的图象关于直线y=x对称.当堂检测1.函数f(x)=+lg(x+1)的定义域为(

)A.[-1,3) B.(-1,3)C.(-1,3] D.[-1,3]答案C2.函数

在区间[1,2]上的值域是(

)A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]答案A3.(2021江苏盐城高一期末)设a与b均为实数,a>0,且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为(

)A.6 B.8 C.10 D.12解析令f(x)=y=loga(x+b),由图可知,f(0)=logab=2,f(-3)=loga(-3+b)=0,答案C4.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是

.

解析令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).答案(2,2)5.若a=log0.20.3,b=log26,c=log0.24,则a,b,c的大小关系为

.

解析因为f(x)=log0.2x在定义域内单调递减,且0.2<0.3<1<4,所以log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24,即1>a>0>c.同理log26>log22=1,所以b>a>c.答案b>a>c6.已知函数f(x)=log3x.(1)作出这个函数的图象;(2)若f(a)<f(2),利用图象求实数a的取值范围.解(1)作出函数y=log3x的图象如图所示.(2)由图象知,函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增.当0<a<2时,恒有f(a)<f(2),故所求a的取值范围为(0,2).高中数学北师大版必修第一册第2课时习题课对数函数图象和性质的应用第四章对数运算与对数函数4.3.3对数函数y=logax的图像和性质探究一解对数不等式例1(1)满足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合为

.

反思感悟对数不等式的三种考查类型及求解方法(1)形如logax>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数的形式,再借助函数y=logax的单调性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解或利用图象求解.变式训练1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)为减函数,则不等

的解集为

.

探究二对数型复合函数的单调性问题例2(1)求函数

的单调区间.(2)若函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)在区间[2,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.反思感悟对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即y=logaf(x);另一类是内层函数为对数函数,即y=f(logax).①对于y=logaf(x)型的函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.②研究y=f(logax)型复合函数的单调性,一般用换元法,即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.探究三对数型复合函数的奇偶性问题例3已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性.解(1)由于f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),反思感悟对数型复合函数奇偶性的判断方法对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如y=log2|x|就是偶函数.证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.答案1探究四与对数函数有关的值域与最值问题例4求下列函数的值域:(1)y=log2(x2+4);解(1)y=log2(x2+4)的定义域为R.∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).(2)设u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴0<u≤9.反思感悟与对数函数有关的值域与最值问题的处理方法(1)求解最值问题,一定要注意转化思想的应用,求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题,一般要转化为求二次函数的最值问题,求二次函数的最值时常用配方法,配方时注意自变量的取值范围.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数值域的步骤:①分解成两个函数y=logau,u=f(x);②求f(x)的定义域;③求u的取值范围;④利用单调性求解y=logau(a>0,且a≠1)的值域.变式训练4已知函数f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取最大值时x的值.解∵f(x)=2+log3x,∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+2+log3x2=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.∵函数f(x)的定义域为[1,9],∴0≤log3x≤1,∴6≤(log3x+3)2-3≤13,∴当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.素养形成与对数函数有关的图象变换问题

答案(-∞,-2)反思感悟函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象

y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)