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文档简介
第18讲泰勒展开解密放缩法和高考命题方法为何高考中总是考和这些超越函数呢?因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.泰勒展开公式及其应用一、泰勒展开公式设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得 余项,上式称为阶泰勒公式.若,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中为阶无穷小,相当于余项,即.二、常用的初等函数的麦克劳林公式(1)(2)(3)(4)(5)【例1】按的三展开多项式.【例2】求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式.【解析】解法一,法二:【例3】求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式.【解析】解法一:直接展开.法二:为对数函数时利用已知的结论.利用泰勒公式证明无参不等式泰勒展开证明无参不等式的一般步㝡骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数在定义域上有定义,且有阶导数存在,,则,其中介于和间第二步:判定余项的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项,则去掉余项可得若,则去掉余项可得【例1】当时,.【解析】解法一:法二:由泰勒公式得【例2】设,证明:.【解析】证明法一:法二:【例3】证明:【解析】证明:【例4】证明不等式:.【解析】证明:泰勒探究放缩法本质经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心,为什么这么说呢?泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形.【例】比较和的大小.【解析】令,按泰勒展开有.去掉余项可以得到不等式:.下面利用一般方法证明该不等式.证明:(1)设,,则在上单调递减.当时取等号.(2)设,则在上单调递减,∴,即有,当时取等号.综上所述,有不等式:,当时取等号.上述常用对数不等式描述的函数位置关系如下图所示.同理,我们可以从指数函数的麦克劳林展开人手,通过去余项变形的方式得到我们常用的不等式:对于函数在处的展开式如下:.(1)从此式出发,可以变形演绎出一些十分重要的不等式.(1)式等号右边取两项,则有.(2)(2)式两边取自然对数得.(3)(2)式中用替换得(4)式两边取自然对数得(5)式中用替换得.结合(3)式和(6)式得.(7)对(1)式等号右边分别取三项、四项,则有上述不等式(2)到(9)式,当且仅当时取等号.读者可以翻到前面关于“放缩法”的章节,试试看利用泰勒展开得到其他常用的不等式.利用泰勒放缩证明含参不等式在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种近似计算,所求的范围只能是必要性范围,一般来说,会比直接求解的范围要大,所以需要进一步用常规方法验证,但这里也可以简化了讨论的范围,方便计算,一般也可以得到最终的范围.【例1】已知函数,证明:当时,.【解析】解法一:法二:泰勒展开法【例2】设函数,若当时,求的取值范围.【解析】【例3】设函数.其中是的导函数,若恒成立,求实数的取值范围.【解析】第一步:泰勒展开放缩得必要性范
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