2024年高考数学重难点突破第16讲 拉格朗日中值定理在高考中的应用

第16讲拉格朗日中值定理在高考中的应用拉格朗日中值定理是高等数学的内容,在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比较简洁,也可以在高考中解决一类不等式问题,其解法比较快捷,我们来认识一下这个定理吧!拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函数满足如下条件:(1)在闭区间上连续.(2)在开区间内可导.则在内至少存在一点,使得.几何意义:在以为端点的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线.【例】已知函数,问是否存在实数,使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.假设存在实数,使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于,即对任意,都有.即求任意两点割线斜率的大小,由中值定理知存在,有,转为求切线斜率的大小.即在上恒成立的问题.拉格朗日证明无参不等式用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:第一步:在不等式中找合适的函数.第二步:利用拉格朗日中值定理转换,即.（或）,并确定的范围.第三步:利用的范围对不等式放缩,从而证明不等式.【例1】设,证明:.【解析】证明：令,∵在上连续,在内可导,∴由拉格朗日中值定理得【例2】当时,证明:.【解析】∵在上连续,在内可导，∴由拉格朗日中值定理得从而当时,.【例3】当时,证明:.【解析】令,∵在上连续,在内可导,∴由拉格朗日中值定理得.即当时,.可导,【例4】当时,证明:.【解析】令,∵在上连续,在内可导,∴由拉格朗日中值定理得.即当时,.拉格朗日证明一元含参不等式利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤:第一步:参变分离为:或成立.[其中,只有这种结构才可以使用]第二步:拉格朗日中值定理简化为或.[其中第三步:转化为求最值问题.【例1】设函数,若对所有,都有,求的取值范围.【解析】第一步:参变分离.要使恒成立,等价于:恒成立.第二步:拉格朗日中值定理简化.,其中.第三步:求最值.要使恒成立,即恒成立.【例2】设函数,证明:若对所有,都有,则的范围是.【解析】第一步：分类讨论,参变分离.当时,显然对任何,都有.当时.第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.由拉格朗日中值定理知内至少存在一点(从而,使得由于.第三步:利用极限求出下确界,进而得取值范围.故在上是增函数,让得.∴的取值范围是.【例3】设函数,如果对任何,都有,求的取值范围.【解析】第一步:分类讨论,参变分离.当时,显然对任何,都有当时,.第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.由拉格朗中中值定理知,存在,使得.第三步:构造函数,求导研究其单调性.,从而令得.令得.第四步:根据单调性得函数最值,进而得参数范围.∴在上,的最大值在上,的最大值.从而函数在上的最大值是.由知,当时,的最大值为.∴的最大值.为了使恒成立,应有.∴的取值范围是.拉格朗日证明双变量含参不等式由拉格朗日中值定理解决具有特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤:第一步：把问题转化为证明或(其中结构的问题.第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明或.第三步:问题转化为证与的大小关系.【例1】设函数,.若对任意,恒成立,求的取值范围.【解析】解法一:同构函数法即,令.要使不等式恒成立,则函数在区间上单调递减,∴恒成立,即在区间上恒成立.故.法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.又,则.又单调递减,∴.可得.【例2】设函数,若对任意恒成立,求的取值范围。【解析】解法一:同构函数法对任意恒成立,等价于恒成立.设.∴等价于在上单调递减.∴在恒成立.恒成立.恒成立.∴的取值范围是.法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.又,则.又,令,则.∴的取值范围是.【例3】已知.(1)讨论的单调性.(2)设,求证:,.【解析】(1)的定义域为,.为,即.,则恒成立,为增函数.,则恒成立,为增函数.③时,.当,则恒成立,为减函数.当时,解得.单调递增单调递减(2)法一:双元构造同构函数法不妨设,∴由第(1)问可得单调递减.∴.∴所证不等式等价于:,令,只需证明单调递减即可.设.方程.∴.∴在单调递减.∴,即所证不等式成立.法二:拉格朗日中值定理不妨设,∴由第(1)题可得单调递减,∴.∴.即证.在上恒成立即可,即可转化为一个一元二次含参不等式恒成立问题,用分类讨论或基本不等式即可证明.【例4】已知函数，的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:(1)当时,.(2)当时,.【解析】证明：(1)不妨设,即证.由拉格朗日中值定理知,存在,则且.当时,.∴是一个单调递增函数,故,从而成立,因此命题获证.(2).令,则由拉格