高考数学一轮复习精讲必备 第6讲 函数的图像（讲义含解析）

第6讲函数的图像

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一、知识梳理

点法作函数的图像

步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调

性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐

标轴的交点等)，描点，连线.

(1)平移变换

|)三/，)+修

}*(*>0)个单位

个单位工个单位

移4«>0)个单位

|>=由)/

(2)对称变换

关于春由对称

尸/"(X)的图像----►y'=—f(x)的图像;

y=f(x)的图像关立幽称y=f(—x)的图像;

尸f(x)的图像关于强息衬称y=—f(—x)的图像;

关于直线

y=a”(a>0,且aWl)的图像-----y=log”x(a〉0,且aWl)的图像.

y=x对称

(3)伸缩变换

纵坐标不变

尸f(x)-----------------------------------y—/'(ax).

各点横坐标变为原来的丄(a>0)倍

a

横坐标不变

y=f{x)-----------------------►y=Af^x).

各点纵坐标变为原来的火/>0)倍

(4)翻折变换

x轴下方部分翻折到上方

y=f{x)的图像-----------------------»r=丨f(x)丨的图像;

*轴及上方部分不变

辟由右侧部分翻折到左侧

y=f(x)的图像r=f(l*l)的图像.

原通左侧部分去掉，右侧不变

二、考点和典型例题

1、函数的图像

【典例1-1】(2021•全国•高三专题练习)函数〃耳=k2-3x+2|的单调递增区间是

3

A.-,+coB.1,—和［2,yo)

[2丿

「3D.卜°0,5)和［2,+oo)

C.(-oo,l]和—,2

【答案】B

【详解】

x2-3x+2,x<l

y=|x2-3x+2|=*-%2+3x-2/<x<2

x2-3x+2,x>2

利(2,+oo).

故选：B.

■2心>0卄

【典例1-2](2022•天津・汉沽一中高三阶段练习)已知函数八1)=|x+l|,x<0"

/(%)=/(%)=/(玉)=/(%)(X"2，不，2互不相等)，则斗+々+刍+工4的取值范围是

B.-丄0

2

C-HJD.(0，；

【答案】D

【详解】

作出函数y=f(x)的图象，如图所示：

因为|log2⑷=|log2X4\,所以-bg2%=log,x4，

/、,1

所以logzW+logaZ=log2(WX4)=0,所以玉占=1，即W=—.

无4

当|隆2乂=1时，解得x=；或x=2,所以1＜七42.

1

设"Xj+z=—+X4,

匕

因为函数丫=*+丄在(l,y)上单调递增，所以;+1〈丄+七4：+2,即2＜七+%42，

X1Z22

所以0＜%+X2+X3+X4

故选：D.

【典例1-3](2021•全国•高三专题练习)如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图

案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆。的

周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的一个“太极函数”，则()

A.函数/(%)=加+1是圆0：/+(y_l)2=]的一个太极函数

B.函数/(X)=d不是圆0：f+y2=］的太极函数

C.函数〃x)=2x不是圆0：f+y2=i的太极函数

D.函数八幻=卜；""°)：不是圆0：/+丫2=］的太极函数

［7-X(X<0)

【答案】A

【详解】

解：两曲线的对称中心均为点(0,1),且两曲线交于两点，所以/*)=五+1能把圆

/+⑶-庁=1一分为二，如图:

故A正确；同理易知B,C不正确;

函数f(X)=F2为奇函数，且f(X)极大=f=，

l-x-x(x<0)k2丿4

/(X)极小=/()=-；>7,如图:

所以函数/。)=*_；(；<)是圆。/+丁=1的一个太极函数，故D不正确，

故选:A.

【典例1-4[(2022•浙江绍兴•模拟预测)已知函数的图象如下图1,则如下图2对应的

C.y=x2f(x)D.y=#(x2)

【答案】A

【详解】

图1：当x<0时，/«<0,当x>0时，/(%)>0

当x<0时x2/(x)<O,#(x2)<o,于图2不符合，故排除C、D.

-02)恒成立，于图2不符合，故排除B.

故选：A.

【典例1-5](2022•安徽淮南•二模(文))函数y=(f-厂2卜足工的部分图象可能是

()

【答案】B

【详解】

记f(x)=(V-尸卜inx,则/(-力=-(/一/六出工，故f(x)=-/(-x),/(x)是奇函数,故图

像关于原点对称.此时可排除A,C,取x=5,坦)=国-図>0，排除D.

故选:B

2、图像的平移和变换

1—Y

【典例2-1](2022•四川绵阳•三模(理))已知函数/(x)=Rp则

()

A.”力在(-1,心)上单调递增B.“X)的图象关于点(T1)对称

C.“X)为奇函数D.“X)的图象关于直线y=x对称

【答案】D

【详解】

..F八r1—x—(x+1)+22.

化筒得­=丄一一=-——I,

l+x1+xl+x

2

/(X)的可以看作是函数g(x)=±先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，

X

2一2

先画出g(x)=-的图象，再进行平移画出f(x)=----1的图象，

X1+X

2

明显可见，对于原函数g(x)=—,为奇函数，关于点(。,。)对称，口.在(-8,0)和(0,+oo)上

X

为单调减函数，

所以，g(x)经过平移后变成的/(幻在(-1,用)上单调递减.，关于(T，-1)对称，非奇函数也

非偶函数，图象关于直线>=不对称，所以，D正确；A、B、C错误.

故选：D

【典例2-2](2022•浙江绍兴•模拟预测)在同一直角坐标系中，函数y=10g”(-X),

y=?(a>0),且a*的图象可能是()

【详解】

解：因为函数y=log“(-”的图象与函数y=logax的图象关于y轴对称,

所以函数y=log〃(-x)的图象恒过定点(-1,0),故选项A、B错误;

当。>1时，函数)=log丿在(0,+纥)上单调递增，所以函数y=log〃(-x)在(y,o)上单调

递减,

又y=T（a>l）在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

【典例2-3】（2022•全国•高三专题练习）将曲线G：xy=2（x>0）上所有点的横坐标不

变，纵坐标缩小为原来的得到曲线C一则C?上到直线x+16y+2=0距离最短的点坐

标为（）

A-H）B.（44C.陷D.（4,「

【答案】B

【详解】

2

将母=2化为y=-，

X

则将曲线G上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小为原来的g,

21

得到曲线。2：2>=一,即G：y=Tx>o）,

XX

要使曲线c」的点到直线x+16y+2=0的距离最短，

只需曲线C?上在该点处的切线和直线x+16），+2=0平行，

设曲线C?上该点为P（a」），

a

因为y'=-4,且x+16y+2=0的斜率为-丄，

x216

所以-二=二，解得〃=4或a=Y（舍），

矿16

即该点坐标为尸（4,丄）.

4

故选：B.

【典例2-4】（2021•北京四中高三期中）为了得到函数y=e?•川的图像，只需把函数

y=e2’的图像（）

A.向左平移1个单位长度B.向右平移1个单位长度

C.向左平移!个单位长度D.向右平移;个单位长度

【答案】C

【详解】

要得到函数y=e2N=e'、*>的图象，则只需要把函数y=e"的图象向左平移T个单位长

度，即可.

故选：C.

【典例2-5】（2021•甘肃•静宁县第一中学高三阶段练习（文））已知函数

f-2x（-1<x<0）,

〃x）=厂：--则下列图象错误的是（）

Vx（O<x<l）,

B.

yHr）的图紙

g=l加;）啲图象2/4团）的图象

【答案】D

【详解】

当TWxWO时，〃x）=-2x,表示一条线段，且线段经过（一1,2）和（0,0）两点.

当0<x41时，f（x）=G,表示一段曲线.函数的图象如图所示.

/（犬-1）的图象可由/（x）的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；/（-X）的图象可

由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f(x)的值域为[0,2],故

=故|〃x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中/(国)的

图象不正确.

故选：D.

3、图像的综合应用

【典例37】(2022•福建宁德•模拟预测)函数y=/(x)的图象如图所示，则/"(X)的

解析式可能是()

A./(x)=2-2xB./(x)=log,(x+2)

C./(x)=>/x+2D./(X)=1-(X-2)2

【答案】B

【详解】

A函数为递减的，错误；C函数的值域大于等于0,错误；D函数为二次函数，错误，只有

B符合.

故选：B.

【典例3-2](2022•天津南开•一模)函数y=(/T)e'的图象可能是

()

【答案】c

【详解】

由题意，函数“x)=(d-l)e，,

因为"1)=0,即函数“X)的图象过点(L0)，可排除A、B项;

乂因为/(-2)=3e<>0,可排除D项,

故选：C.

【典例3-3](2022•浙江嘉兴•二模)已知函数〃x)的图象如图所示，则〃x)的解析式

可能是()(八,2.71828是自然对数的底数)

\j\hy

er-e-x,.ex+e-x

1W+2B.fW=

\x\-2

~丫八一X—X.-X

C.f(x)二,D./(x)=,

八X2-2WX2-2M

【答案】B

【详解】

解：对于A,函数/(8)=号吉的定义域为(—，―2)_.(_2,2)一(2,钟)，

|x|-2

由/(T)=,=-/(力，

:|X个|一，

所以函数/(幻==为奇函数，不符合题意；

\x\-2

对于B,函数/(x)=鲁;的定义域为(9,-2)匚(一2,2)_(2,田)，

丨刘一2

山〃-x)==

|X|一2

ex+-r

所以函数为e偶函数，符合题意；

l-vl-2

对于C,函数八》)=:二黑，

则万2-2凶力0，得XH±2且x#±4,

故函数/(x)=的定义域为{*卜*±2且XK±4},

X~—z.

结合函数图像可知，不符题意；

对于D,函数/。)=岸名的定义域为{x|xx±2且XH±4},

x~—2

结合函数图像可知，不符题意.

故选：B.

【典例3-4】(2022•安徽•安庆一中模拟预测(文))己知函数/(x)在［-肛句上的图象如

图所示，则函数/(x)的解析式可能为()

y

-iro'vx

A.f(x)=ersinxB.f(x)=exsinxC./(x)=-eAsinxD./(x)=-e-Asinx

【答案】D

【详解】

当x«0,4)时,sinx>0,则eXsinX>0,ersinx>0,故排除AB.

当f(工)=一，sinx时,则fXx)=一"(cosx+sinx),

令((x)=o,得X=_£或1=与，

44

当-乃<x<-生或也<x<万时，r(x)<0,当一二<x<四时，f'(x)>0,

4444

所以*=-£是函数的极小值点，x=¥是函数的极大值点，故c错误；

44

当fW=一6一、sinx时，则f\x)=-e~x(cosx-sinx),

令ra)=o,得一当或4=£,

44

当红或f<xv万时，/'(x)>0,当一网<x<工时，r(x)<0,

4444

所以x=-3T4是函数的极大值点，X=971是函数的极小值点，故D正确

故选：D.

【典例3-5】(2022•江西上饶•二模(理))函数f(x)="7T的大致图像为

2+2f

【详解】

当“幻二^^，f（—x）=T^7=-/（可，函数为奇函数，排除C；

2+22+2

。<〃2）=詰*尹会排除AD；

故选：B.

【典例3-6】（2022•安徽师范大学附属中学模拟预测（理））双曲函数在实际生活中有着

非常重要的应用，比如悬链桥.在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基

础的是双曲正弦函数sinhx=二二，和双曲余弦函数coshx=《H.下列结论错误的是

（