全国初中数学优质课《切线长定理》教学设计

切线长定理“切线长定理”教学设计授课教师：XXX学校：XXXX中学教学背景分析教学内容分析：（一）内容1.切线长的定义；2切线长定理；3.切线长定理的简单应用.（二）内容解析本节课的内容包括切线长的定义和切线长定理两部分.切线长定理是圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识的迁移，最后应用它们解决一些实际问题，通过定理的探索过程，培养学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。是本节课的重要任务.点与圆生成切线长四边形与圆生成切线长 三角形与圆生成切线长 本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“圆的问题转化为三角形及四边形的问题”，“新问题转化为旧问题”，一题多解等数学思想。学情分析及教学问题诊断：学情分析学生已有的认知基础是圆的切线及相关知识、三角形全等的判定及性质等数学知识结构（学生的数学现实），这为学生学习切线长定义和切线长定理的新知识奠定基础。（二）教学问题诊断1.如何从生活中直观形象的提炼出切线长的定义，让学生认识到切线长定理的证明是转化为三角形全等的证明这一转化思想，这对于初三的的学生来讲还是比较简单.因此，在设计教学时，首先通过自主探究，合作交流的方式自己发现结论、得出结论，但将其以准确的数学语言加以描述及证明存在一定的问题2.如何在较短的时间内用切线长定理总结出圆的外切四边形和外切三角形的相关结论，让学生自主的从特殊到一般这一提炼的过程，这对于学生来说又是一个难题.因此，在教学过程中，通过折纸等试验，精心设置问题，并且引导学生通过动手操作、实际比对、转化代数思想，然后得出两个非常实用的结论教学方式：以问题为导向，采用启发式与试验探究式相结合的教学方式．在启发教学过程中，以问题引导学生思维.教学设计突出问题链的设计，教学过程中，随着学生思维的发展，问题设置层层递进，环环相扣，使学生对问题的思考逐步深入，思维水平不断提高.尝试通过试验的方法进行平面几何的教学.本节课立足教材，引导学生通过直观感知、操作确认得出数学结论，把合情推理作为一个重要的推理方式融入到学生的学习过程中.教学手段：多媒体辅助教学目标与目标解析（一）教学目标（1）、知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

（2）、能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。

（3）、素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

（4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心（二）教学重点：理解切线长定理（三）教学难点：应用切线长定理解决问题教学流程示意激发情趣激发情趣感知生活复习拓展引入新知课后作业探究学习合乎情理探索发现讲练结合巩固应用定义辨析深化理解总结提高画龙点睛教学过程(表格描述)教学阶段教师活动师生活动一激发情趣课前小游戏：请同学们观看班上同学悠悠球的精彩表演.【设计意图】借助学生学生悠悠的表演，学生看到玩具眼睛一亮，注意力被吸引，想到老师为什么会在课堂上拿出悠悠球，一时兴致勃勃。当老师话锋一转，步入正题时，他们的兴致也随之而来，带着强烈的好奇心思考老师提出的问题。教师用同学们熟悉并且喜爱的玩具，并请同学上来表演复习拓展引入新知问题1：已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？0P【设计意图】通过复习切线的判定用尺规作图及原理从而引出新课并为证明切线长定理打下图形基础学生展示，教师补充完善，指出作图中的应用到的相关知识，达到解释作图的理论依据。定义辨析深化理解（一）、切线长定义

1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）

（2）定义中的“线段”具有什么特征？

①

在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。

3、在图形中辨别：（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A

，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？

（线段PA）

ACA

ACAP

POOPOOPB

B图1

图2

（2）已知：如图2，PA和PB分别与⊙O相切于点A、B

，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？（线段PA或线段PB）

（3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？

（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题1，从而进入定理教学。结合悠悠球的表演用生活中实际例子形象的刻画切线长的概念（球与手的距离就决定于这条线段的长度。）【设计意图】使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来,培养学生合情推理能力、语言表达能力。教师在板书定义之后，通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延。在对话中，教师以民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳的情怀对待学生，在相互倾听、接受和共享中获得知识，使教学相长。

此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系，同时由这个结论教师适时引出探索问题1合乎情理探索发现观察猜想（二）、切线长定理：1、探索问题1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？探索步骤：（1）根据条件画出图形；（2）度量线段PA和PB的长度；（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；（4）寻找证明猜想的途径；【设计意图】随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合。首先出示探索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径。之后，再让学生探索更多的结论，并由（6）得出定理。定理的剖析以对话形式进行。在整个过程中，教师相应地进行板书。讲练结合应用提高想一想：如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切于点L，M，N，P，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴交流由切线长定理得：AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN,即AD+BC=AB+CD，结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等．典例精析例1：如图在Rt△ABC中∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径练一练1、已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.求AE,CD,BF的长.【设计意图】初步感受如何运用切线长定理与直角三角形、四边形相结合的应用加深对定理的应用，并拓展学生对圆外切四边形边之间的关系、直角三角形三边的长与内切圆半径的关系教师引导，学生解答，并分享思维过程、展示解答过程，教师给予及时评价和纠正.想一想教师引导学生，提出问题，层层深入得出结论例一由学生自主探究解题思路并阐述，教师板书练习由学生展示解题思路；变式1由学生上黑板讲演；变式2由学生阐述观点，并展示思维过程.教师点评总结提高画龙点睛总结提问：（1）通过本节课的学习，你学会了什么？（2）在学习的过程中，我们体会到处理问题时，通过观察、猜测、实验、验证的方法得出定理，在应用过程中总结得出相关结论，在学习新知识的过程中转化成用已学过的旧知识的方法解决问题【设计意图】回顾和总结本节课的主要内容，优化重组认识结构，并鼓励学生多总结，多反思.学生发言，互相补充，教师点评完善，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示）。课后作业巩固提高1.（必做题）（1）课本P67练习1,2.（2）姓名：年月日今天数学课的课题是：涉及的重要知识有：理解得最好的地方是：不明白或还需要进一步理解的地方是：2.（选做题）研究性作业等边三角形内切圆的半径与边长的关系【设计意图】进一步巩固新知，提高运用切线长的定义和切线长定理解决问题的能力；教学日记的设计可以鼓励学生反思所学，提高认知；研究性作业的设计可以提高学生独立思考、自主探究的能力，满足学有余力的同学需要.学生自主完成，教师评阅效果评价本节课在教师的引导下，学生认真参与、积极探索，学习热情较高．通过学习理解并掌握切线长的定义和切线长定理；能对定义与定理进行简单应用.在抽象概括和观察猜想能力的提高等方面都有一定的进步，达到了本课教学目标．本节课教学设计的特色（1）体现数学生活化和数学的文化意境本节课从生活实例出发，借助学生已有的生活经验和知识水平引出课题，使教材生动、自然而亲切，既提高了学生学习数学的兴趣，又体现了数学生活化，生活离不开数学，数学是有用的.通过小游戏的引入不但丰富了数学课堂的文化意涵，增加了学生的学习兴趣，更值得强调的是，它能够帮助学生克服认知上的困难.结合初中生的实际情况，合理选题、安排合理（2）关注学生思维发展，充分体现“生本”的原则学生是学习的主体，作为教师只有关注学生思维才能更好的起到主导作用．本课中从对生活实例的观察到学生思考举例引出课题；从“悠悠球”的学生表演到提炼定义；从尺规作图后的图形猜想定理，到学生试验、学生操作确认定理并证明定理的过程中，都想学生传达一个信息：我们的课堂是生动的、有趣的，充满了民主、平等和关爱.整节课都是以学生为中心，教师扮演的是组织者、引导者和参与者的角色，让学生真正成为了课堂的主人.（3）充分运用构建主义的思想构建主义认为，知识的获得不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助他人的帮助，利用必要的学习资料，通过意义构建的方式而获得的.因此，在教学过程的设计上，更加注重学生的探索过程，充分向学生展示知识的发生、发展过程，而不是将知识强加给学生.本节课的教学遵循新课标要求，圆的学习采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质.点评本节课是由XXX老师执教的《切线长定理》，整堂课教学思路层次分明，脉络清晰，始终以“切线长定理”的“自然生成”及其应用为主线，贯穿于整个教学过程。马老师语言精炼，富有亲和力与感染力；师生关系融洽，气氛和谐；重点突出，难点突破得法，教学目标基本达成。马老师在授课的过程中做到了“从一个知识传授者转变为学生学习的促进者；从课堂时间与空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换”。下面就本节课谈谈本人的一些看法：一、注重预设与生成，合理处理“数学知识的内在联系”。在本节课一开始马老师就抓住了“圆的切线”，借助学生悠悠球的表演，用生活中学生感兴趣的实例形象地刻画出切线长的概念，激发学生探究新知的浓厚兴趣。这样，不仅节省了上课时间，也兼顾到所有学生的发展，为课堂自由“生成”切线长的概念做好了铺垫。通过问题串结合多媒体的运用，不仅增强了学生直观体验，更易于学生体会并发现切线和切线长的区别，完成基础知识地建构及概念地自然生成并练习巩固。可见马老师对教材研究透彻，挖掘到位。这样的教材处理，真正实现了“用教材教”而不是“教教材”，也凸现了本节的数学本质。二、注重学生素养的培养，处处体现“数学规律的形成过程”。“数学规律的形成过程”也就是要让学生在数学活动过程中去体悟与理解知识，经历数学知识、数学规律的形成过程。所以在教学中我们应遵循学生的认知规律，从实际学情出发，尽量挖掘数学知识所蕴含的数学内涵，让学生经历“具体情境生成概念——讨论概念的性质——概念的运用”等数学模型地建立过程。三、充分体现自主学习、合作探究的精神，处处渗透“数学思想方法”。新课标中积极倡导自主、合作、探究的学习方式。以激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲。观察从圆外一点画出圆的两条切线的图形，小组交流讨论你的发现和结论，加以验证，并向大家展示你的成果。此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与