2022-2023学年福建省南平市高一年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2022-2023学年福建省南平市高一下册期中数学模拟试题

（含解析）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合

题目的一项）

I.下列命题中，正确的是

A.若I万I=IB则I=BB.若a=B，贝UlZHBl

c.若|口＞向，则方＞5D.若∣ι∣=o,则N=O

【正确答案】B

【分析】两向量相等则方向相同,模长相等可判断AB,向量不可比较大小可判断C,由零向量

的概念可判断D.

【详解】若I万I=IBl,但是两个向量的方向未必相同,所以N=B不一定成立,A不正确；

若G=B,则两向量的方向相同,模长相等,则mHBI，B正确；

向量不能比较大小,c不正确；

若Ial=O,则万=O,D,不正确.

故选:B.

本题属于向量的概念题,理解向量的相关概念是解题的关键,属于基础题.

2.复数z=2二,下列说法正确的是（）

1+i

A.z的模为叵B.z的虚部为一

22

13

仁2的共粗复数为一5-51D.z的共辄复数表示的点在第四象限

【正确答案】A

13

【分析】由复数的除法运算可得Z=——i,然后求出模长、共枕复数可判断选项.

22

(2-i)(l-i)2-l-3i13.

【详解】Z=芸----------------------------------ɪ

(l+i)(l-i)222

Z的模为J^+2=典,故A正确；

V442

3

Z的虚部为一一，故B错误；

2

13

Z的共知复数为一+-i,故C错误：

22

(13、

Z的共辄复数表示的点为J,J在第一象限，故D错误.

故选：A.

3.已知一个正方体内接于一个球，过球心作--截面，则截面不可能是()

D.

【正确答案】D

【分析】判断出可能的截面，由此确定不可能的截面.

【详解】画出正方体如下图所示，设正方体外接球的球心为0.

E,F,G,H是棱BC,gG,4。,Z。的中点，

过E,EG,"的截面图像为C选项对应的图像.

过BDD回的截面图像为B选项对应的图像.

设I,J,K,L是棱BBvCCl,DDi,AA1靠近B,C,Dl,Ai的三等分点,

过/,J,K,L的截面图像为A选项对应的图像.

故D选项的图像不可能.

故选：D

4.已知Sina=—则sin2α的值为

5

【正确答案】C

【分析】利用二倍角正弦公式可求得sin27的值.

【详解】∙Jaef—,万)，cos(X-Vlsin^u——»

U)5

4(3、24

由二倍角正弦公式得sin2a=2sinαcosα=2×-×--I=-----.

5I5J25

故选：C.

本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于基础题.

5.如图，在A48C中，^AN=-^AC,P是BN的中点，若NA=加荔+2衣，则实数W

24

的值是

3

A.-

42

【正确答案】C

【分析】以工瓦衣作为基底表示出万，利用平面向量基本定理，即可求出.

【详解】VP,N分别是BN,ZC的中点，

----------------------1---------1/---------\1----1—,1—1----

.∙.AP=AB+BP=AB+-BN=AB+-{AN-AB]=-AB+-AN=-AB+-AC.

22v72224

——1—1

又/P=加/8+—/C,，“7=—.故选C.

42

本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力.

6.若加,〃为两条不同的直线，ɑ,夕为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是()

A.若加〃ɑ,〃尸，则α〃/B.若_Lα,α夕，则加〃夕

C.若加Ua,j_乃，则α尸D.若〃?Uα,α_1_/，则〃?_1.4

【正确答案】C

【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断即可.

【详解】解：对于A,若机〃ɑ,机〃夕，则α与夕可能相交，故A错误；

对于B,若机J_a,a工B,则加〃/或mu∕,故B错误；

对于C,根据面面垂直的判定定理可得，若muα,m±β,则故C正确;

对于D,若机ua,arβ,则m可能与P平行或相交，故D错误

故选:C.

7.已知角α终边上一点尸(-2,3),则CoS(A+α)sm(%+.)的值为

COS(Tr—a)sin(3乃一a)

332

A.-B.----C.—D.-

223

【正确答案】A

3

【详解】角α终边上一点P(-2,3),所以万.

CoSC+αsin(⅛+0)/∙∖/∙∖C

U)v7[-sιna)[-sιna)3.故选A.

-----7-------、.----------=-------------------=-tana=—

cos()-α)sin(3τr-a)-cosasina2

8.如图，在直三棱柱ZBC-4gG中，△力BC是边长为2的正三角形，AAx=3,N为棱

44上的中点，M为棱Ce上的动点，过N作平面/8M的垂线段，垂足为点。，当点M

从点C运动到点G时，点O的轨迹长度为（）

2√3π

3

【正确答案】B

【分析】根据条件先判断出点。的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可.

【详解】取48中点P，连接尸C,C1N,如图，

^PC1AB,PNLAB,

且PN∩PC=P,所以/8_L平面尸CClN,ZBu平面∕8Λ∕,

所以平面/BMJ_平面PCClN,平面ABMH平面PCCxN=PM,

过N作M9_LPM,NOU平面PCGN,所以No_L平面

当点〃从点C运动到点Cl时，。点是以PN为直径的圆0（部分），如图,

当M运动到点G时，O点到最高点，此时PC=J5,CG=3,NCPa=工，

3

所以N0P。=工，从而NOQP=空，

63

2π3

所以弧长/=-----=π,即点0的轨迹长度为π.

32

故选:B

二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.如果平面向量M=（2,T）,B=（-6,12）,那么下列结论中正确的是（）

A∙W=3∣'∣

B.a!Ib

C.G与B的夹角为30。

D.3在B方向上的投影向量为（-2,4）

【正确答案】AB

【分析】根据向量模、共线、夹角、投影向量等知识确定正确选项.

【详解】∣0∣=2>J5,∣61=65/5,I=3∣α∣,A正确.

B=—3G，所以ι∕∕B且反向，所以B正确，C错误.

a∙bb-12-48(-6,12),八

G在B方向上的投影向量为W'间=一万公L=(2'—外，D错误.

故选：AB

10.如图，NC为圆锥SO底面圆O的直径，点8是圆。上异于4,C的点，So=OC=2,

则下列结论正确的是()

A.圆锥5。的侧面积为8√Σ万

Q

B.三棱锥S-ABC体积的最大值为一

3

(Tr乃、

C.NSZB的取值范围是(I，5

D.⅛AB=BC,E为线段/8上的动点，则SE+CE的最小值为2(b+1)

【正确答案】BD

【分析】根据已知条件求出圆锥的侧面积，棱锥的体积判断AB,利用/8求得N"3后可

得其范围判断C,把棱锥的两个面ASZB和摊平，利用平面上的性质求SE+EC的

最小值判断D.

【详解】由已知SC=2j5,圆锥侧面积为S=万XOCXSC=乃x2x2j5=4j∑τ,A错：

11Q

8在圆周上，易得(S〜BC)IraX=]X4X2=4,Vmm=-×4×2=y.B正确；

ɪAB/7

cosΛSAB=—-ABr又一8C中，0<∕8<4,所以O<cosNS/8<注，

~SA~4422

7171

所以2<NS48<2.C错；

42

AB=BC^'∖,把ASNB和A∕3C摊平，如图，

SE+CE的最小值是SC,此时，AB=BC=26=SA=SB，ABJ.BC，NSBC=I56。，

SC=yjSB2+BC2-2SB-BCcosΛSBC=√8+8-2×2√2×2√2cosl50o=2(√3+1)，

D正确.

故选：BD.

11.将函数N=CoS+的图象向左平移7个单位长度得到函数/(x)图象，则()

A.N=Sinbx+巳是函数/(x)的一个解析式

\3)

B.直线X二五是函数/(x)图象的一条对称轴

C.函数/(X)是周期为万的奇函数

S^rr>τr

D.函数/(x)的递减区间为kπ--,kπ+-(AreZ)

【正确答案】BD

【分析】先求出/(x)的解析式，对四个选项一一验证:

对于A：直接利用解析式验证；

对于B：直接求出对称轴方程进行验证；

对于C：利用奇函数的定义进行否定；

对于D：直接求出函数/(x)的递减区间.

【详解】由函数N=COS[2x+gJ的图象向左平移5个单位长度得到函数/(x)图象，所

以

πcos[2x+-\

/(X)=COS∑fX÷—J÷

I6)

Cπ、π、5π故错误;

对于A：/(X)=cos2x+-+—=Cos2x+=-sin[2x+yj,A

4J3J~6

对于B：/(x)=-sinHx+yJ,要求y=∕'(x)的对称轴，只需令

2x+y=→^(Ar∈Z),当Ql时，解得：x=[∣,所以直线X=Il是函数/(x)图

象的一条对称轴，故B正确；

(51、

对于C:/(X)=cos2xH-----,因为

I6)

5π一包

/(-X)=cos-2x+=CoS2x≠-/(x),所以函数/(x)不是奇函数，故C

TI6

错误;

对于D：要求函数/(尤)的递减区间，只需2br42x+-≤乃+2左乃，解得:

6

ɔ"rrjrɔ-τr-jτ

—jɪ+ZTr≤X≤ɪɪ+ATT,即函数/(x)的递减区间为k4—,⅛ττ÷ɪ^-(左∈Z),故D

正确.

故选：BD

12.设SC的内角4氏C所对的边分别为α,b,c,6(αcosC+CCOSz)=2bsinβ,且

TT

NC48=—.若点。是外一点，OC=1,04=3,下列说法中，正确的命题是()

3

JT

A.的内角B=一

3

B.AZ8C一定是等边三角形

C.四边形ZBC。面积的最大值为些+3

2

D.四边形ZBC。面积无最大值

【正确答案】ABC

TT

【分析】由正弦定理边角关系及已知角的大小可得5=—,即可判断A、B；由余弦定理可

3

得〃=10—6cosO,结合S"co=S"8c+Sdoc，得到ZBC。面积关于角。的三角函数

式，利用正弦函数的性质及。的范围求最值，判断C、D.

【详解】由题设JJ(Sin∕cosC+SinCCOSZ)=JJSin(N+C)=2sin?8,又

/+8+C=4，

所以JJSinB=2sin?B，sin5>0,故SinJS=且，

2

712TT71TC

则8=—或8=——，又NCAB=—,故8=—,A正确；

3333

所以-8C是等边三角形，B正确；

D

由6=∕C,则/=OC2+zλ42-2oc.zλ4cosZ4Z>C=10-6cosO,巳0<D<ι,

而

SABCD=SdABC+SA.DC+1sinC=ɪ-(5-3cosZ>)+-|sinZ)=

+-∣(sinZ)-V3cosZ>)=+3sin(Z)-ɪ)，

所以当。=葛时有最大面积为SJBO=岁+3,故C正确，D错误.

故选：ABC

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.设a,B为单位向量，且∣ι+B∣=ι,则Il-BI=.

【正确答案】√3

【分析】整理已知可得：B+q=J(Z+B)-,再利用为单位向量即可求得2々/=

对〃—变形可得：,-BI=JW—2〃.5+国，问题得解.

【详解】因为Z3为单位向量，所以口=M=I

所以B+q=J(Z+B)2=对+诟上+同=1

解得：2a∙b=-∖

所印一B卜后司=Mm时=G

故百

本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

14.在锐角Δ∕<8C中，B>-,sin∣+ɪU-,cos∣B-^∖=^r,则

6I6j5<6)5

Sin(N+8)=.

【正确答案】—

【详解】Vsinfj+ɪj=∣,.∙.cosM+ɪj=+^-,因为

/,乃)41«π2πλπ...(λπ∖A

[6)52632I6)5

由cosf6-生]=±=>sinf8一三]=3,

I6)5I6)5,

.∙.sin(√4+5)=sin[(A+~)+{B--)]=Sin(Z+令CoS(B-ɪ)+cos(Z+令sin(B一勺

=-3X-41-4X—3=-24.

555525

15.已知/(x)=2SinXCoSx+2JJCoS与一6.则该函数的最小正周期为.

【正确答案】兀

【分析】由二倍角，辅助角，周期计算公式可得答案.

【详解】

/'(x)=2sinxcosx+2Λ∕3COS2X-G=Sin2x+6(COS2x+1)一百=Sin2x+VJcos2x.

由辅助角公式，/(x)=2sin[2x+∕J,则该函数的最小正周期为TE=π.

故兀

16.等腰直角三角形NBC斜边BC上的高/0=1,以ZO为折痕将AZBO与A∕CZ)折成

互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：

①3。_L/C；②NBZC=60°；③折叠后的立体图形中，8C与平面/80所成夹角为60。；

④折叠后连接各点可形成一个四面体，它的外接球半径为逅.其中正确结论的序号是

4

【正确答案】①②

【分析】①证明8。人平面ZC。即可判断选项；②通过说明AZ6C为等边三角形可判断选

项；③通过说明CO工平面/8。即可判断选项；④注意到折叠后连接各点形成的四面体

的外接球与以6。,。。,力。为长宽高的正方体的外接球相同

【详解】①由题，平面L平面/CO,BDVAD,因平面Z8O∩平面ZCD=NZ),8。U

平面/8。，则8。1平面/CO，又/Cu平面/C。，则8OJ./C,故①正确；

②由题可得8。=CD=1,结合ZD=I,BDlAD,CDVAD,则48=NC=√∑,

又由①可得8。J_CD,则8C=J5,即A∕8C为等边三角形，则N"C=60°,故②正

确；

③由①可得BDLCD,又CDL4D,因BDCAD=D,BD,ADU平面ABD,则CDJ.

平面48。，即NCB。为BC与平面NB。所成夹角，则NCBQ=45°，故③错误；

④注意到ZO±BD,AD±CD,BD1CD,则折叠后连接各点形成的四面体的外接

球与以3D,CD,/O为长宽高的正方体的外接球相同，则外接球半径为

R=IBDrS+AD?=B故④错误

22

故①②

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤)

17.已知平面向量2=(2,2)J=(X,-1).

⑴若3/质,求X的值；

⑵若伍—26),求Z与否的夹角的余弦值.

【正确答案】(I)X=-I(2)亚

.5

【分析】

(1)利用向量平行的坐标表示，列方程求解；

(2)根据平面向量垂直的坐标表示列方程求出X,再计算Z与否所成夹角的余弦值.

【详解】(1)平面向量a=(2,2),h=(x,-l),

若£/力测2X(-1)-2X=0,

解得尸一1；

⑵若a(a-26)厕a-(a-2⅛)=a2-2a∙b-G<

即(22+22)-2乂(2》-2)=0,解得彳=3,

∙∙∙B=(3,T),

__a-b2×3+2×(-l)√5

二α与b的夹角的余弦值为rɪɪ=/,,一/,,=—.

∖a∖∖b∖√22+22×√32+(-l)25

本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是基础题.

18.在直三棱柱ZBC-NMG中，Z0_L平面48C，其垂足。落在直线上.

(I)求证：BC1A1B；

(H)若ZQ=Jj,AB=BC=2,尸为NC的中点，求三棱锥尸一48C的体积.

【正确答案】(I)证明：见解析；(2)空.

【详解】试题分析：(I)根据线面垂直可得线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直，进而

得线线垂直.

(Il)根据垂直关系可求边的长度，进而根据等体积法求解三棱锥的体积./

(I)证明：因为三棱柱/8C-48C为直三棱柱，

\4月~平面Z8C,又BCu平面ZSC,∖A1A^BC

因为ZZ)_L平面48C,且8。匚平面43。，.∙.AD±BC

又44∣U平面NDU平面4力8,AiA∏AD=A,

二BC人平面4/8,又U平面4/8,

:.BCLAyB

(2)在直三棱柱ZBe-44G中，A1AIAB.因为平面Z/C,其垂足。落在

直线48上，.∙.4D,48.

在RtZ∖N3O中，AD=BAB=BC=2,SinNZ8。=9=且，,∙.ZABD=60

AB2

在Rt4Z84中，X4∣=ZB∙tan60'=26

由(1)知BCj,平面43匚平面448,从而BCI4B

S∆A,RocΓ=-2ABBC=-2×2×2=2

因为P为ZC的中点，SΔBCP=∣SΔJSC=1

v

P-AlBC=BCP=；SABCP•4/=；XIX2g=^γ-

19.在A48C中，A,B,C的对边分别是。，b,c,√iαcos8-6sinZ=0,

(1)求角B的大小；

(2)若b=√7,a+c=5,求NC边上的高；

【正确答案】(1)B=-(2)23

37

【分析】(1)由正弦定理将已知等式边化角，可得tan8的值，即可求出角8；

(2)根据余弦定理结合已知条件求出αc,进而求出AN8C的面积，即可求出NC边上的高.

【详解】(1)在ʌ/lBC中，因为GQCOS8-bsin∕=0，

由正弦定理得，ʌ/ɜsinAcos5-sin5sinA=0，

因为O<∕<τr,sin∕>O,所以ʌ/ɜcosB-sinB=0,

所以tanB=√L因为8∈(0∕),所以8=0.

(2)设/C边上的高为人，

因为B=§,b=y/l，。+c=5,

所以∕=。2+。2_2acCOSB=Q2+一QC，

即7=(Q+c)?-3αc,所以QC=6,

SsnB=史Jbh="h，.U*

△.22227

所以/C边上的高空L

7

本题考查正余弦定理、面积公式解三角形，考查运算求解、逻辑推理能力，属于中档题.

20.如图，4S是。。的直径，点C是。。上的动点，21垂直于。。所在的平面NBC

（1）证明：平面刃。，平面PBC；

（2）设尸Z=√J,ZC=I,求点Z到平面PBC的距离.

【正确答案】（1）证明见解析:

（2）—

2

【分析】（1）通过证明6C1AC,BCj.ZP可证明结论；（2）过Z作PC垂线，垂足为

D由（1）可得力。为点N到平面P8C的距离，即可得答案.

【小问1详解】

因/8是G）O的直径，则BC1AC.

因上4垂直于。。所在的平面/6C，6。匚平面/8。，则BCLZP.

因ZCCZP=A,AC,APU平面以C,则BC工平面以C

又BCU平面P5C,则平面PNC_L平面PBC；

【小问2详解】

如图，过Z作PC垂线，垂足为D

因平面R4CJL平面PBC,平面PNC∩平面P8C=PC,NOu平面以C，则ZOL平面

PBC,即AD为点A到平面PBC的距离.

Y,PA=区AC=I,E4垂直于。。所在的平面则

PA1AC≡>PC=JPN?+AC2=2.

则在ZVMC中，S…-PA-AC=-PC-AD=>ADPA.AC=—∙

ΔPAC22PC2

即点A到平面PBC的距离为且.

2

p

21.如图，在长方体48CO-∕∣8∣CιD∣中，AD=AA∖=∖,AB=I,点E在棱力8上移动.

(2)若砥=丫二，求二面角Ol-EC-。的大小.

3

【正确答案】(1)见解析(2)30。.

【分析】(1)以。为原点，DA,DC,所在直线分别为X,〃z轴，建立空间直角坐标

系，

设，E=t,(0<t≤2),证明屏万=0即得证；(2)利用向量法求二面角。LEC-。的大

小.

【详解】证明：(1)以。为原点，DA,D